Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Векторная…

Задачи на векторы, углы и произведения.

Задачи

Задача 1 (Деление отрезка на три равные части). Отрезок с концами в точках $A (2; - 5; 4)$ и $B (8; 1; - 2)$ разделён точками $M$ и $P$ на три равные части (при этом точка $P$ расположена ближе к $B$ , чем к $A$ ). Найдите координаты точки $P$ .

Решение.

Точки деления удобно искать через вектор $A B$ : если $M$ и $P$ делят отрезок на три равные части, то $A M = \frac{1}{3} A B$ , $A P = \frac{2}{3} A B$ .

Считаем сам вектор:

A B = B - A = (8 - 2; 1 - (- 5); - 2 - 4) = (6; 6; - 6) .

Точка $P$ ближе к $B$ , значит от $A$ до неё две трети:

P = A + \frac{2}{3} A B = (2; - 5; 4) + \frac{2}{3} (6; 6; - 6) = (2 + 4; - 5 + 4; 4 - 4) .

Проверка: $P B = (2; 2; - 2) = \frac{1}{3} A B$ — оставшаяся треть, как и должно быть.

Ответ: $P (6; - 1; 0)$ .

Задача 2 (Нахождение координат вершины треугольника). В треугольнике $A B C$ :

точка $M (4; 3; - 1)$ — середина стороны $A B$ ,
точка $P (1; 0; 5)$ — середина стороны $B C$ ,
точка $K (- 2; 6; - 3)$ — середина стороны $A C$ .

Найдите координаты вершины $C$ .

Решение.

Обозначим радиус-векторы вершин $A$ , $B$ , $C$ . Условие середин даёт систему

\frac{A + B}{2} = M, \frac{B + C}{2} = P, \frac{A + C}{2} = K .

Сложим все три равенства: слева получится $A + B + C$ , справа $M + P + K$ , то есть $A + B + C = M + P + K$ .

Вершина $C$ не входит в сторону $A B$ , серединой которой служит $M$ . Поэтому вычтем $A + B = 2 M$ : $C = (M + P + K) - 2 M = P + K - M$ .

Подставляем координаты:

C = (1; 0; 5) + (- 2; 6; - 3) - (4; 3; - 1) = (1 - 2 - 4; 0 + 6 - 3; 5 - 3 + 1) .

Проверка: тем же приёмом $A = M + K - P = (1; 9; - 9)$ и $B = M + P - K = (7; - 3; 7)$ . Тогда $\frac{B + C}{2} = (1; 0; 5) = P$ и $\frac{A + C}{2} = (- 2; 6; - 3) = K$ — обе середины сходятся.

Ответ: $C (- 5; 3; 3)$ .

Задача 3 (Вектор через базисные векторы). Шестиугольник $A B C D E F$ — правильный, $O$ — его центр, $M$ — середина стороны $B C$ . Векторы $O C = a$ , $O E = b$ .

Выразите вектор $O M$ через $a$ и $b$ .

Решение.

Ключевое свойство правильного шестиугольника: его противоположные вершины симметричны относительно центра. Вершины $B$ и $E$ разделены тремя сторонами, то есть противоположны, поэтому $O B = - O E = - b$ .

Точка $M$ — середина $B C$ , а середина отрезка выражается как полусумма радиус-векторов его концов:

O M = \frac{O B + O C}{2} .

Осталось подставить:

O M = \frac{- b + a}{2} = \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b .

Проверка на координатах: положив $O$ в начало и вершины на единичной окружности через $6 0^{\circ}$ , получаем $a = (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ , $b = (- \frac{1}{2}; - \frac{3}{2})$ , $O M = (0; \frac{3}{2})$ — ровно $\frac{1}{2} (a - b)$ .

Ответ: $O M = \frac{a - b}{2}$ .

Задача 4 (Угол между векторами). Векторы $a$ и $b$ заданы в прямоугольной системе координат. Известно, что $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 7$ , $∣2 a - b ∣ = 61$ .

Найдите угол между векторами $a$ и $b$ .

Решение.

Длина известна не у самих векторов, а у их комбинации, поэтому раскроем квадрат длины через скалярное произведение:

∣2 a - b ∣^{2} = (2 a - b) \cdot (2 a - b) = 4∣ a ∣^{2} - 4 (a \cdot b) + ∣ b ∣^{2} .

Подставляем данные $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 7$ , $∣2 a - b ∣^{2} = 61$ :

61 = 4 \cdot 9 - 4 (a \cdot b) + 49 = 85 - 4 (a \cdot b),

откуда $a \cdot b = 6$ .

Теперь косинус угла берётся по определению скалярного произведения:

cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣} = \frac{6}{3 \cdot 7} = \frac{2}{7} .

Ответ: $φ = arccos \frac{2}{7} \approx 73, 4^{\circ}$ .

Задача 5 (Угол между векторами в треугольнике). Известны координаты вершин треугольника: $A (4; - 2; - 5)$ , $B (- 2; 3; - 3)$ , $C (3; - 5; 4)$ .

Найдите угол между векторами $A B$ и $A C$ .

Решение.

Угол при вершине $A$ — это угол между векторами сторон, выходящих из $A$ . Сначала сами векторы:

A B = B - A = (- 2 - 4; 3 + 2; - 3 + 5) = (- 6; 5; 2),

A C = C - A = (3 - 4; - 5 + 2; 4 + 5) = (- 1; - 3; 9) .

Скалярное произведение:

A B \cdot A C = (- 6) (- 1) + 5 \cdot (- 3) + 2 \cdot 9 = 6 - 15 + 18 = 9.

Длины:

∣ A B ∣ = 36 + 25 + 4 = 65, ∣ A C ∣ = 1 + 9 + 81 = 91 .

Отсюда

cos φ = \frac{9}{65 \cdot 91} .

Подкоренное выражение раскладывается: $65 = 5 \cdot 13$ , $91 = 7 \cdot 13$ , значит $65 \cdot 91 = 1 3^{2} \cdot 35$ и $65 \cdot 91 = 1335$ . Тогда

cos φ = \frac{9}{13 35} = \frac{9 35}{455} \approx 0, 117.

Типичная ошибка здесь — считать вектор $B A$ вместо $A B$ или потерять знак в разности координат: угол получится тупым вместо острого.

Ответ: $φ = arccos \frac{9 35}{455} \approx 83, 3^{\circ}$ .

Задача 6 (Площадь параллелограмма). В прямоугольной системе координат $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол между $a$ и $b$ равен $12 0^{\circ}$ .

Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах $3 a + b$ и $a + 2 b$ .

Решение.

Площадь параллелограмма, построенного на двух векторах, равна модулю их векторного произведения. Раскроем произведение по билинейности:

[3 a + b, a + 2 b] = 3 [a, a] + 6 [a, b] + [b, a] + 2 [b, b] .

Векторное произведение вектора на себя равно нулю, а $[b, a] = - [a, b]$ , поэтому остаётся $6 [a, b] - [a, b] = 5 [a, b]$ .

Модуль исходного произведения:

[a, b] = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin 12 0^{\circ} = 3 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2} = 6.

Значит $S = 5 \cdot 6 = 30$ .

Здесь легко ошибиться дважды: забыть, что $[b, a]$ входит со знаком минус (тогда получится коэффициент $7$ и ответ $42$ ), и подставить косинус вместо синуса.

Ответ: $S = 30$ .

Задача 7 (Векторное произведение). В правом ортонормированном базисе $i, j, k$ даны векторы $a = (1; - 2; 2)$ и $b = (- 3; 4; 1)$ .

Найдите векторное произведение $[2 a - b, a + b]$ .

Решение.

Сначала упростим само выражение, не трогая координаты:

[2 a - b, a + b] = 2 [a, a] + 2 [a, b] - [b, a] - [b, b] = 3 [a, b] .

Осталось одно векторное произведение вместо разложения двух длинных сумм. Считаем его определителем:

[a, b] = i 1 - 3 j - 2 4 k 21 = i ((- 2) \cdot 1 - 2 \cdot 4) - j (1 \cdot 1 - 2 \cdot (- 3)) + k (1 \cdot 4 - (- 2) (- 3)) .

По компонентам: $- 2 - 8 = - 10$ ; $- (1 + 6) = - 7$ ; $4 - 6 = - 2$ . То есть $[a, b] = (- 10; - 7; - 2)$ .

Умножаем на 3: $3 [a, b] = (- 30; - 21; - 6)$ .

Проверка: результат обязан быть ортогонален обоим исходным векторам. $(- 30; - 21; - 6) \cdot (1; - 2; 2) = - 30 + 42 - 12 = 0$ и $(- 30; - 21; - 6) \cdot (- 3; 4; 1) = 90 - 84 - 6 = 0$ — сходится. Такая проверка ловит и потерянный минус во второй компоненте (её берут со знаком минус), и перепутанные строки определителя.

Ответ: $(- 30; - 21; - 6)$ .

Задача 8 (Смешанное произведение). Даны векторы

a = - i + j - 3 k, b = 2 i + j + 2 k, c = 3 i - 2 j - k .

Найдите смешанное произведение $⟨ a, b, c ⟩$ .

Решение.

Смешанное произведение равно определителю матрицы, составленной из координат векторов в строках:

⟨ a, b, c ⟩ = - 1 23 11 - 2 - 3 2 - 1 .

Раскрываем по первой строке:

- 1 \cdot 1 - 2 2 - 1 - 1 \cdot 23 2 - 1 + (- 3) \cdot 23 1 - 2 .

Считаем миноры: $1 \cdot (- 1) - 2 \cdot (- 2) = 3$ ; $2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 3 = - 8$ ; $2 \cdot (- 2) - 1 \cdot 3 = - 7$ .

Складываем:

- 1 \cdot 3 - 1 \cdot (- 8) + (- 3) \cdot (- 7) = - 3 + 8 + 21 = 26.

Знак положительный, значит тройка $a, b, c$ правая, а модуль $26$ — объём построенного на них параллелепипеда.

Чаще всего здесь теряют знак минус перед вторым минором: разложение по первой строке идёт с чередованием $+, -, +$ .

Ответ: $26$ .

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Векторная алгебра

Задачи

vectors.ipynb