Линейная алгебра, Листок 2. Аффинные пространства

Задача 2.1. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AD$, $BE$ и $CF$. Найдите сумму векторов

Задача 2.2. Дан пространственный четырёхугольник $ABCD$. Известны векторы $\overrightarrow{AB}=u$ и $\overrightarrow{CD}=v$.
Найдите вектор $\overrightarrow{EF}$, соединяющий середины диагоналей $AC$ и $BD$.

Задача 2.3. Выведите формулы замены координат в аффинном пространстве.

Задача 2.4. Найдите геометрическое место точек пересечения диагоналей параллелограммов, вписанных в данный четырёхугольник так, что стороны этих параллелограммов параллельны диагоналям четырёхугольника.

Задача 2.5. Даны уравнения двух сторон треугольника $2x-y=0$, $5x-y=0$ и уравнение $3x-y=0$ одной из его медиан. Составьте уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка $(3,9)$.

Задача 2.6. a) Согласно одной из аксиом Евклида, прямая делит плоскость на две полуплоскости, которые определяются условием: отрезок, соединяющий две точки из разных полуплоскостей, пересекает прямую, а отрезок, соединяющий две точки из одной полуплоскости, не пересекает прямую. Пусть прямая $\ell \subset {\mathbb{A}}^2$ задана уравнением $F=Ax+By+C=0$. Докажите, что подмножества

суть (открытые) полуплоскости относительно прямой.

b) Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка $(x_0,y_0)$ лежала внутри треугольника, образованного прямыми $A_{i}x+B_{i}y+C_i=0$, $i=1,2,3$.

Задача 2.7. Пусть даны две прямые в ${\mathbb{A}}^2$, заданные общими уравнениями $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$. Найдите необходимые и достаточные условия для того, чтобы эти прямые
a) пересекались в одной точке;
b) были параллельны;
c) совпадали.

Задача 2.8. Пусть даны две прямые $P+ut$ и $Q+vt$ в ${\mathbb{A}}^3$. Докажите, что эти прямые скрещиваются (т. е. не имеют общих точек и не параллельны) тогда и только тогда, когда векторы $\overrightarrow{PQ}$, $u$ и $v$ некомпланарны. Найдите необходимые и достаточные условия для того, чтобы эти прямые
a) пересекались в одной точке;
b) были параллельны;
c) совпадали.

Задача 2.9. Пусть прямые ${\ell }_1$ и ${\ell }_2$ в ${\mathbb{A}}^3$ заданы параметрически.
a) Когда существует плоскость, содержащая ${\ell }_1$ и параллельная ${\ell }_2$? Запишите её общее уравнение.

Задача 2.10. Пусть прямые ${\ell }_1$ и ${\ell }_2$ в ${\mathbb{A}}^3$ скрещиваются, а точка $P$ не лежит ни на одной из них.
a) Всегда ли существует прямая $\ell$, проходящая через $P$ и пересекающая каждую из прямых ${\ell }_1$ и ${\ell }_2$?
(Если да, приведите доказательство; если нет, укажите явный контрпример с числами.)
b) Найдите уравнения прямой $\ell$ (параметрические или как пересечение двух плоскостей), если прямые ${\ell }_1$ и ${\ell }_2$ заданы параметрически.

Задача 2.11. Составьте параметрическое уравнение прямой в ${\mathbb{A}}^3$, проходящей через точку $(2,3,1)$ параллельно плоскости $x-y-1=0$ и пересекающей ось $Oy$.

Задача 2.12. Найдите уравнения прямой, которая лежит в плоскости $x+z=0$, пересекает прямую

но не имеет общих точек с прямой

Задача 2.13. Даны три прямые

Найдите уравнения прямой, которая пересекает ${\ell }_1$, ${\ell }_2$ и параллельна ${\ell }_3$.

Задача 2.14. Найдите уравнения прямой, проходящей через точку $(1,2,3)$ и не пересекающей прямые

Задача 2.15. Покажите, что три плоскости

образуют призму, и напишите уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения первых двух плоскостей и параллельной третьей.

Задача 2.16. Собственным пучком плоскостей называется множество всех плоскостей в ${\mathbb{A}}^3$, проходящих через фиксированную прямую.
Несобственным пучком плоскостей — множество всех плоскостей, параллельных данной плоскости.

Докажите, что плоскость

принадлежит пучку, определённому двумя не совпадающими плоскостями

тогда и только тогда, когда

Задача 2.17. Собственной связкой плоскостей называется множество всех плоскостей в ${\mathbb{A}}^3$, проходящих через фиксированную точку.
Несобственной связкой плоскостей — множество плоскостей, параллельных данной прямой.

Докажите, что плоскость

принадлежит связке, определяемой тремя плоскостями

если и только если

или, эквивалентно,

Задача 2.18. Опишите все возможные способы взаимного расположения двух плоскостей в ${\mathbb{A}}^5$.

Задача 2.19. Пусть два аффинных подпространства заданы как

Запишите необходимое и достаточное условие того, чтобы $\mathcal{W}$ и $\mathcal{U}$ пересекались.

Задача 2.20. Пусть даны два аффинных подпространства

причём $\dim \mathcal{W}=5$ и $\dim \mathcal{U}=3$.
Используя ранги

запишите необходимые и достаточные условия, чтобы подпространства:

a) скрещивались и не имели общих точек;
б) пересекались в одной точке;
в) скрещивались по прямой;
г) пересекались по прямой;
д) скрещивались по двумерной плоскости;
е) пересекались по двумерной плоскости;
ж) были параллельны;
з) совпадали.