Векторное произведение

Ориентация тройки векторов

Definition. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $a, b, c$ называется правой, если с конца вектора $c$ кратчайший поворот от $a$ к $b$ виден против часовой стрелки, и левой — если по часовой стрелке.

TikZ diagram — Циклическая перестановка сохраняет ориентацию, перестановка двух векторов — меняет её.

Стандартный базис $i, j, k$ образует правую тройку.

Определение и геометрический смысл

Definition. Векторным произведением векторов $a$ и $b$ называется вектор $c = [a, b]$ (обозначается также $a \times b$ ), удовлетворяющий трём условиям:

$c ⊥ a$ и $c ⊥ b$ ;
$∣ c ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot sin φ$ , где $φ = (a, b)$ ;
тройка $a, b, c$ — правая.

Theorem (Геометрический смысл). $∣ [a, b] ∣$ равно площади параллелограмма, построенного на $a$ и $b$ , а площадь треугольника на этих векторах равна $\frac{1}{2} ∣ [a, b] ∣$ .

Proof. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Приняв за основание $∣ a ∣$ , получаем высоту $h = ∣ b ∣ sin φ$ , откуда $S = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ sin φ = ∣ [a, b] ∣$ . Треугольник составляет половину параллелограмма.

Например, $[i, j] = k$ : вектор $k$ перпендикулярен $i$ и $j$ , имеет длину $1 \cdot 1 \cdot sin \frac{π}{2} = 1$ , и тройка $i, j, k$ правая.

Свойства

Theorem.

$[a, b] = 0 ⟺ a ∥ b$ ;
$[a, b] = - [b, a]$ — антисимметричность;
$[λ a, b] = λ [a, b]$ ;
$[a, b + c] = [a, b] + [a, c]$ (без доказательства).

Proof.

$∣ [a, b] ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin φ = 0$ означает, что один из векторов нулевой или $sin φ = 0$ (то есть $φ = 0$ или $π$ ) — в обоих случаях $a ∥ b$ ; обратно очевидно.
Векторы $[a, b]$ и $[b, a]$ имеют одинаковую длину $∣ a ∣∣ b ∣ sin φ$ и оба перпендикулярны плоскости $a, b$ , значит коллинеарны. Но тройка $a, b, [a, b]$ правая, тогда как $b, a, [a, b]$ — левая; чтобы $b, a, [b, a]$ была правой, вектор $[b, a]$ обязан смотреть в противоположную сторону.
При $λ > 0$ вектор $λ a$ сонаправлен с $a$ , угол с $b$ не меняется, поэтому длина равна $λ ∣ a ∣∣ b ∣ sin φ$ и направление то же — это и есть $λ [a, b]$ . При $λ < 0$ угол становится $π - φ$ , но $sin (π - φ) = sin φ$ , так что длина равна $∣ λ ∣∣ a ∣∣ b ∣ sin φ$ , а направление меняется на противоположное — снова $λ [a, b]$ .

Вывод формулы в координатах

На ортах правого базиса векторное умножение задаётся таблицей

[i, i] = [j, j] = [k, k] = 0, [i, j] = k, [j, k] = i, [k, i] = j,

а в обратном порядке знак меняется: $[j, i] = - k$ , $[k, j] = - i$ , $[i, k] = - j$ .

Theorem. Если $a = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ и $b = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ , то

[a, b] = y_{1} y_{2} z_{1} z_{2} i - x_{1} x_{2} z_{1} z_{2} j + x_{1} x_{2} y_{1} y_{2} k = i x_{1} x_{2} j y_{1} y_{2} k z_{1} z_{2} .

Proof. Раскроем $[a, b]$ по линейности (свойства 2–4), записав девять слагаемых:

[a, b] = + + x_{1} x_{2} [i, i] + x_{1} y_{2} [i, j] + x_{1} z_{2} [i, k] y_{1} x_{2} [j, i] + y_{1} y_{2} [j, j] + y_{1} z_{2} [j, k] z_{1} x_{2} [k, i] + z_{1} y_{2} [k, j] + z_{1} z_{2} [k, k] .

Три слагаемых с одинаковыми ортами равны нулю; подставляя остальные по таблице,

[a, b] = x_{1} y_{2} k - x_{1} z_{2} j - y_{1} x_{2} k + y_{1} z_{2} i + z_{1} x_{2} j - z_{1} y_{2} i .

Группируя по ортам,

[a, b] = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) i + (z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2}) j + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) k,

что совпадает с указанными минорами (и с разложением определителя $3 \times 3$ по первой строке).

Example. Для $a = (1; 2; 0)$ , $b = (0; 1; 1)$ :

[a, b] = i 10 j 21 k 01 = (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) i - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) j + (1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) k = (2; - 1; 1) .

Площадь параллелограмма на $a, b$ равна $∣ [a, b] ∣ = 4 + 1 + 1 = 6$ , а площадь треугольника — $\frac{6}{2}$ .

Example. Площадь треугольника с вершинами $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 1; 0)$ , $C (0; 0; 1)$ . Берём $A B = (- 1; 1; 0)$ , $A C = (- 1; 0; 1)$ :

[A B, A C] = i - 1 - 1 j 10 k 01 = (1; 1; 1), S_{△} = \frac{1}{2} ∣ [A B, A C] ∣ = \frac{3}{2} .

Произведение трёх векторов, дающее объём, рассмотрено в статье Смешанное произведение.