Геометрия. Лекция 1

Литература и о чём этот курс

Предмет наш называется геометрия, и вот какие книжки про это стоит листать. Книжка номер один – Марсель Берже, «Геометрия»: там два тома, очень много информации, всё знать не надо, какие-то куски оттуда можно почитать. Вторая книжка написана, как я понимаю, по мотивам этого курса – книжка Сосинского; называется она немножко по-другому, «Геометрии». Есть ещё книжка, название которой я наизусть не помню, но она опознаётся по авторам: Прасолов, Тихомиров. Ну и есть записанные лекции этого курса за предыдущие годы; их можно периодически крутить на скорости два, и это тоже будет полезно.

Почему у Сосинского множественное число – «геометрии»? Потому что разные бывают. Какие вы знаете? Евклидова. Лобачевского – её часто называют гиперболической, но поскольку мы в России, мы называем её геометрией Лобачевского; кстати, в этом году двести лет со дня первого доклада: 1826 год, потом чуть позже была публикация, и говорят, что день рождения геометрии Лобачевского надо отсчитывать не от каких-то предыдущих работ по поводу пятого постулата, а именно от 1826 года. Сферическая. Абсолютная – это немного не та история: в абсолютной геометрии повыкидывали аксиомы, касающиеся пятого постулата, и доказывают теоремы, верные во всех геометриях сразу; это более узкая история. Проективная. Тропическая – интересная штука, раньше в этом курсе её не было; может быть, пару слов про неё скажем. Конечные геометрии – последняя глава книжки Сосинского. И многоточие.

Где-то к концу XIX – началу XX века люди накопили большой объём штуковин, которые надо называть геометрией, и стали на них смотреть и говорить: всё разное. А что у них общего? С аксиомами здесь хитро. Вот, например, в геометрии Евклида есть понятие порядка точек: есть две точки, есть точка между ними. В геометрии Лобачевского это тоже есть – я вам сегодня картиночку по этому поводу нарисую. А в сферической геометрии? Берёте сферу, берёте две точки, рисуете прямую, которая через них проходит, – и с какой стороны брать «между», с этой или с той? А на проективной плоскости ещё хуже. Так что какими-то аксиомами приходится жертвовать.

На самом деле у всех этих теорий, которые мы называем геометриями, есть одна общая черта, и сообразил о ней Феликс Клейн, которому тогда было всего-навсего 23 года. Он получал должность профессора, а в Германии для этого положена хитрая процедура, хабилитация: человек должен прочитать лекцию и рассказать, что он в математику привнесёт, программу будущих исследований. То, что он рассказал, известно сейчас под названием Эрлангенская программа. И общая черта такая: у геометрии есть очень большая группа симметрий.

В предыдущие годы в этом курсе делали так: сначала определим геометрию в смысле Клейна, потом что-то такое. Мы сделаем наоборот. Мы сначала разберёмся со всеми этими геометриями, поймём, что там происходит, и только потом сформулируем, что же мы понимаем под геометрией в смысле Клейна. Но уже сейчас ясно, что там будут какие-то пространства, какие-то расстояния и обязательно будет группа, которая это всё дело крутит.

Треугольник на трёх листочках

Когда вы в школе начинали изучать планиметрию, вы видали, наверное, такую штуку. Учитель говорит: «Дети, берём двойные листочки, записываем условие задачи». Все записывают, делают чертёж, рассуждения, вывод. Один школьник рисует треугольник и что-то в нём считает – в треугольнике много чего можно посчитать. Другой школьник рисует треугольник и тоже что-то считает. Третий, у него тоже двойной листочек, нарисовал на правой стороне: $3$ , $4$ , $5$ . И знаете, что удивительно? Они все решают задачу, каждый в своём листочке, сидят в разных местах класса – а ответ одинаковый. Почему? Треугольники нарисованы в разных местах пространства: тут, там, здесь. А ответ одинаковый.

Сейчас я нарисую странную вещь. Вы эллипсоид видели когда-нибудь? Вот такая штука. Вы можете в районе одной вершины нарисовать треугольник со сторонами $3$ , $4$ , $5$ и в районе другого места нарисовать треугольник со сторонами $3$ , $4$ , $5$ . Они будут кривые. И важно следующее: углы у них будут совершенно разные, потому что в этом месте и в том месте треугольники искривлены по-разному. Кривизна – неважно, как это строго определять – в этих геометриях, евклидовой, Лобачевского и сферической, разная. Так вот, фокус такой: на эллипсоиде вы не сможете взять кусок и передвинуть его в другое место, наложив без искажений. А листочек бумаги с плоской евклидовой геометрией вы берёте, прикладываете к другому – и они просто одинаковые. Когда мы его переносили, бумажку не рвали, не мяли, ничего такого с ней не делали – и высоты у треугольников одинаковые, и медианы, и всё, что хотите, просто совпадает.

Во всех трёх геометриях, которые здесь нарисованы, очень большая группа изометрий: на евклидовой плоскости любую точку можно передвинуть в любое место, любые два равных по длине отрезка можно совместить движением; на плоскости Лобачевского и в сферической геометрии то же самое.

Кубик и кирпич

Группа изометрий может быть и не очень большой. Вот два примера, обсудим их. Слева кубик, справа кирпичик – параллелепипед, у которого все стороны разной длины; скажем, $2$ , $3$ и $8$ . Насколько у этих фигурок разные группы симметрий? Очень разные, правда? Тут кубик можно покрутить, а кирпич так особо не покрутишь.

Что такое группа симметрий, мы сейчас проговорим, но я имею в виду следующее: вы берёте фигурку и делаете с ней преобразование, которое сохраняет расстояния и фигурку переводит в себя – не куда-нибудь туда убирает, а именно в себя. Кубик можно взять и так повернуть: он в себя перешёл, но точки сдвинулись. У кубика есть ещё одна интересная симметрия: повернуть на $12 0^{\circ}$ вокруг диагонали. Кирпич вы так не повернёте. Возьмём книжку потолще в качестве кирпича – она как раз $1$ , $2$ , $8$ – и её длинную диагональ, от этого угла корешка до противоположного. Попробуйте повернуть её вокруг диагонали так, чтобы она перешла в себя. Никак: придётся повернуть на $36 0^{\circ}$ , то есть это будет тождественное преобразование.

Но обе эти фигурки в каком-то смысле подходят на роль геометрии. Я повторю: здесь очень важная история, что любую точку можно перегнать в любую другую. Конечно, нельзя говорить, что вершину можно сдвинуть в середину ребра, – это скользковатый вопрос. Кубик определяется восемью точками, которые расположены в пространстве определённым образом, и вот почему это конечная геометрия: вы берёте восемь точек и преобразовываете их так, чтобы сохранялись расстояния и чтобы эти восемь точек переходили в те же восемь точек. А теперь вопрос: любую ли вершину можно перегнать в любую другую? Возьмём вот эту и вот эту. Симметрия относительно диагональной плоскости? Согласен, но это преобразование второго рода, мы их не любим. А можно повернуть: взяли две нижние вершины и поворачиваем кубик на $18 0^{\circ}$ вокруг оси через их середину – две половинки поменялись местами. Теперь нижнюю вершину в верхнюю: тоже поворотом. Понимаете, в чём дело? Поворотом вы можете перегнать вершину в любую соседнюю, а дальше соединяете вершины цепочкой рёбер и идёте по ней. Кубик имеет огромную группу симметрий, у него очень высокая степень симметричности.

Кирпич в этом смысле попроще. Вот эту вершину в эту одним поворотом не переведёшь – придётся, скорее всего, брать симметрию относительно вертикальной плоскости; а вот эту в эту – переворотом всё-таки можно; отсюда сюда – по всей видимости, нужна симметрия относительно центра. Но и здесь все вершины с точки зрения геометрии равноправны: конечная геометрия, сидящая на вершинах кирпичика, тоже такая, что любую вершину можно перегнать симметрией в любую другую. Если вы изучаете что-то вблизи этой вершины, то же самое можно изучать вблизи той. Это как с треугольниками на листочках: что-то узнали на одном листочке, описали это метрически, наложили листочки – всё совпало. И это не работает на эллипсоиде: там, где он сильно кривой, и там, где не сильно, никаким движением не совместишь.

Определения геометрии я специально не даю: когда накопим опыт, сами скажем, что это такое. Но в целом идея такая: мы изучаем какие-то фигурки, пространства, на них действует группа, и нас интересуют вещи, понятия, характеристики, которые под действием этой группы не меняются. Когда мы изучаем евклидову плоскость, на ней зафиксировано правило, по которому меряется расстояние, – по теореме Пифагора или линейкой; это евклидова геометрия. Если выписать другое правило вычисления расстояния между точками, может получиться какая-то другая геометрия. Давайте начнём писать формальные определения, а то я всё болтаю.

Метрическое пространство

Определение (Метрическое пространство). Метрическое пространство $(M, d)$ состоит из двух вещей: непустого множества $M$ – чтобы там были точки, – и функции $d : M \times M \to R_{\geq 0}$ , которая мерит расстояние между точками, с тремя свойствами: для любых $x, y, z \in M$

$d (x, y) \geq 0$ , причём $d (x, y) = 0$ тогда и только тогда, когда $x = y$ ;
$d (x, y) = d (y, x)$ (симметричность);
$d (x, y) \leq d (x, z) + d (z, y)$ (неравенство треугольника – самое главное свойство).

Первое свойство я написал немножко избыточно: что расстояние неотрицательно, уже сказано в записи $R_{\geq 0}$ , но важно, что не бывает такого, чтобы между двумя разными точками расстояние оказалось нулём: с метрической точки зрения это одна и та же точка. (Не знаю, как принято считать: можно ли рассматривать метрическое пространство, в котором нет точек, или лучше не надо. Лучше не надо.)

Группа

Раз мы произнесли слово «группа», надо вспомнить, что это такое. На алгебре это уже было, но мне сказали, что люди не обязаны ходить на все курсы, поэтому напишем.

Определение (Группа). Группа $(G, *)$ – множество $G$ с операцией $* : G \times G \to G$ , $(g_{1}, g_{2}) \mapsto g_{1} * g_{2}$ (по двум элементам строится третий, он называется их произведением), такой что

для любых $g_{1}, g_{2}, g_{3} \in G$ выполнено $(g_{1} * g_{2}) * g_{3} = g_{1} * (g_{2} * g_{3})$ (ассоциативность);
существует нейтральный элемент $e \in G$ такой, что для любого $g \in G$ выполнено $e * g = g * e = g$ ;
для любого $g \in G$ существует $h \in G$ такой, что $g * h = h * g = e$ ; этот $h$ обозначается $g^{- 1}$ и называется обратным элементом.

Иногда операцию умножения заменяют плюсиком – это когда группа коммутативная, вы об этом ещё узнаете; но это неважно, это операция, которая по двум элементам строит третий.

Замечание (Артикли). Давайте здесь остановимся, и вы меня поругаете. Что я написал плохо? Я сначала написал аксиомы без кванторов – « $g_{1} * (g_{2} * g_{3})$ », « $e * g = g$ » – и вы спросили: для какого $g$ ? И про $x, y, z$ в метрическом пространстве тоже было написано плохо. Поделюсь очень важной информацией: в математике у каждого существительного есть артикль, как в английском языке. Артиклей два: существует и для любого. Артикль должен обязательно стоять, иначе высказывание оказывается совершенно непонятным. Что написано в строке « $d (x, y) = d (y, x)$ » без кванторов? Может быть, я имел в виду, что найдутся два таких $x$ и $y$ , что так посчитаешь и так посчитаешь – одинаково? Если $x = y$ , это, конечно, верно. Поэтому: аксиомы метрики выполняются для любых $x, y, z \in M$ , ассоциативность – для любых $g_{1}, g_{2}, g_{3}$ , не абы каких, а из $G$ . А поскольку порядок кванторов важен, в аксиоме нейтрального элемента «существует $e$ » стоит перед «для любого $g$ », а в аксиоме обратного – наоборот. Я нарочно написал плохо, и, когда говорил, этого не сказал.

В аксиомах не написано, что нейтральный элемент один и что обратный элемент один. Их единственность доказывается – на алгебре вам это наверняка показали, поэтому я не буду, – но в список аксиом писать это не надо. Может ли $G$ быть пустым? Не может: в нём есть $e$ .

Группа биекций

Какие группы вы знаете? Какие-то представления о группах вы имеете, но к геометрии они вроде как не очень близки. Опишем самую простую группу – проще некуда.

Определение (Группа биекций). Пусть $M$ – множество. $Bij (M)$ – множество всех биекций $M \to M$ , то есть отображений, у которых есть обратное: разные точки переходят в разные, и всё такое прочее. Я бы написал «автоморфизмы», но непонятно, в какой категории, поэтому напишу «биекции».

Образуют ли они группу? Если взяли одну биекцию, потом вторую, то вроде опять биекция получается. Но как нам написать операцию композиции? Берём $f$ и $g$ , две биекции, и хотим определить $f * g$ . Естественно написать $(f * g) (x) = f (g (x))$ для любого $x \in M$ , то есть $f * g = f \circ g$ . Интересно, что в книжке Берже и в книжке Сосинского определение другое. Почему? Ассоциативность ведь проверяется: напишем $(f * g) * h$ и $f * (g * h)$ , применим к $x$ – получится, никаких проблем. (Никогда не верьте, мне нельзя верить никогда: я всё время пишу неправильные утверждения. Например, $f (x) \cdot g (x)$ – как умножить? На $M$ нет операции умножения, это просто множество, скажем, множество вершин куба; вы не можете точку куба умножить на точку куба.)

Идея на самом деле такая. Когда вы применяете отображения насквозь, сначала $f$ , потом $g$ , вы и пишете сначала $f$ , потом $g$ , а композиция при этом – $g \circ f$ . Мы привыкли рисовать стрелочки слева направо, и получается, что более привычно определить умножение в группе биекций так:

f * g := g \circ f, (f * g) (x) = g (f (x)) для любого x \in M :

берёте одну биекцию, вторую биекцию, сначала применяете первую, потом вторую. Умножение – не то же самое, что композиция: это композиция задом наперёд. Такова традиция, ничего не сделаешь; мы будем ей следовать, потому что я пользуюсь обозначениями Берже и Сосинского.

Все аксиомы выполнены: операция есть; ассоциативность есть, потому что композиция ассоциативна, как её ни считай; обратные есть, потому что это биекции. Что такое $e$ ? Тождественное отображение; обозначается $id$ или лучше $id_{M}$ : какое отображение к $x$ ни применяй, всегда $x$ и получается.

Действие группы на множестве

Группа есть, расстояние есть. Мы подходим к идее, что есть какое-то множество, на нём какая-то структура, расстояние, и какая-то группа действует. Надо договориться, что такое действие группы на множестве. Действия бывают с левой стороны и с правой.

Определение (Левое и правое действие). Пусть $G$ – группа, $M$ – множество. Левое действие $G$ на $M$ (обозначение $G ↷ M$ ) – это отображение $G \times M \to M$ , $(g, x) \mapsto g x$ , такое что

$(g * h) x = g (h x)$ для любых $g, h \in G$ и любого $x \in M$ ;
$e x = x$ для любого $x \in M$ .

Правое действие ( $M ↶ G$ ) – это отображение $M \times G \to M$ , $(x, g) \mapsto xg$ , такое что

$x (g * h) = (xg) h$ для любых $g, h \in G$ и любого $x \in M$ ;
$x e = x$ для любого $x \in M$ .

Обозначать результат можно как угодно: $g \cdot x$ , $g (x)$ , просто $g x$ – ленивые люди пишут $g x$ , потому что и так понятно, что $g$ подействовал на $x$ . Значок $↷$ – не функция и не стрелочка, а просто замена словосочетания «группа действует на множестве с такой-то стороны»; есть другие обозначения, но мне это нравится.

В чём разница между левым и правым? Это важная вещь, проговорим. В левом действии: если на $x$ подействовали сначала $h$ , а потом на то, что получилось, подействовали $g$ , то это то же самое, что перемножить $g$ и $h$ в группе и подействовать произведением $g * h$ ; элемент $h$ , который действовал первым, стоит в этом произведении справа. В правом действии: на $x$ подействовали $g$ , потом $h$ – и это действие произведения $g * h$ ; элемент $g$ , который действовал первым, стоит в произведении слева. Вся разница ровно в этом. Если группа коммутативна, разницы между левым и правым действием нет. В алгебре вам докажут, что левое действие на самом деле определяет и правое; это некий трюк, но реальные формулы всё равно будут какие-то написаны, и мы от них будем отталкиваться.

Пример (Биекции действуют на справа). Есть множество $M$ и группа $Bij (M)$ . Она, конечно, действует на $M$ : взяли биекцию, попереставляли ею элементы. С какой стороны? Надо посмотреть, как переходит элемент под действием двух биекций, взятых подряд, и как это распишется в буковках. Применяем сначала $f$ , потом $g$ : $x \mapsto f (x) \mapsto g (f (x))$ . Но $g (f (x)) = (f * g) (x)$ по нашему определению умножения. Биекция $f$ , применённая первой, оказалась в произведении на первом месте – это правое действие. Поэтому мы будем писать отображение справа от точки: $x \mapsto x f$ , и тогда $x (f * g) = (x f) g$ .

Здесь нет никакой глубокой идеи, это просто форма записи; к этому надо относиться как к некоторой игре с текстом – мы так поиграли, и пока ничего содержательного не произошло. Небольшую экзотику мы легко переживём.

Метрики на $R^{n}$

Что такое $R^{n}$ ? Не евклидово пространство, а просто множество наборов из $n$ вещественных чисел через запятую: написали подряд $n$ вещественных чисел – получили элемент $R^{n}$ . Потом можно договариваться, что с ними делать: складывать, умножать на числа – но векторное пространство нас сейчас мало интересует. Нас интересует, как между двумя точками посчитать расстояние. Если индекса не пишу, я имею в виду точку: $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ , $y = (y_{1}, \dots, y_{n})$ .

Пример (Три метрики на).

Сумма модулей разностей координат:
$d_{1} (x, y) = j = 1 \sum n ∣ x_{j} - y_{j} ∣.$
Чтобы это обнулилось, все слагаемые – модули – должны быть нулями, то есть все координаты одинаковые, точки совпадают. Неравенство треугольника выполнено, потому что для каждого отдельного $j$ пишется неравенство треугольника; это вы сами проверите, у вас будет задание.
Как в школе учили, по теореме Пифагора:
$d_{2} (x, y) = (j = 1 \sum n ∣ x_{j} - y_{j} ∣^{2})^{1/2} .$
Модуль я написал потому, что вместо двойки можно поставить любую степень $p$ : $d_{p} (x, y) = (\sum_{j} ∣ x_{j} - y_{j} ∣^{p})^{1/ p}$ ; с квадратом можно и круглые скобки, но если захочется написать куб, за знаком придётся следить, поэтому модуль, чтобы в будущем не ошибиться.
Максимум из разностей по координатам – формула, которая мне тоже очень нравится и, думаю, нам пригодится:
$d_{\infty} (x, y) = j max ∣ x_{j} - y_{j} ∣.$
Это $d_{p}$ при $p \to \infty$ , поэтому её называют $d_{\infty}$ .

Что это действительно метрики, можно проверить: симметричность и невырожденность более-менее очевидны, а неравенство треугольника – содержательная работа, её надо сделать. А минимум из разностей? Минимум метрикой не будет: если у пары координат совпала, минимум будет нулём, а точки разные.

Пример на плоскости: точки $x = (1, 1)$ и $y = (3, 2)$ . По горизонтали они разъезжаются на две клетки, по вертикали на одну. $d_{1} = 1 + 2 = 3$ . $d_{2} = 5$ – оказывается, $5$ можно нарисовать на клетчатой бумаге: две клетки сюда, одну сюда; попробуйте дома понять, можно ли нарисовать $3$ и $7$ . $d_{\infty} = max (2, 1) = 2$ .

Изометрии

Пусть $(M, d)$ – метрическое пространство. Внутри группы биекций $Bij (M)$ содержится подгруппа, которая называется группой изометрий метрики $d$ : $Iso (M, d) \subset Bij (M)$ .

Определение (Изометрия). Отображение $f : M \to M$ называется изометрией метрического пространства $(M, d)$ , если

$f$ – биекция;
$f$ сохраняет расстояние: $d (x f, y f) = d (x, y)$ для любых $x, y \in M$ .

Зачем условие, что это биекция? Я чувствую у вас вопрос. Возьмём полупрямую $M = [0, + \infty)$ с $d (x, y) = ∣ x - y ∣$ и $f : x \mapsto x + 1$ – сдвинем её на шажок в бесконечность. Расстояние оно сохраняет, условие 2 выполнено, но биекцией не является: у этого отображения нет обратного, и изометрией оно не является. (Определение опять было написано безграмотно – без «для любых $x, y \in M$ ». Молодцы, что заметили.)

Внутри группы есть подгруппа – давайте объясним, что такое подгруппа, у нас есть немного времени, мы не торопимся.

Определение (Подгруппа). Пусть $G$ – группа, $H \subset G$ – непустое подмножество. $H$ называется подгруппой, если

для любых $h_{1}, h_{2} \in H$ их произведение $h_{1} * h_{2}$ , посчитанное в $G$ , принадлежит $H$ ;
для любого $h \in H$ обратный $h^{- 1}$ , посчитанный в $G$ , принадлежит $H$ .

В $G$ есть операция умножения; элементы $H$ – тоже элементы $G$ , их можно перемножать, и хотелось бы, чтобы вы оставались внутри $H$ . Надо ли просить, чтобы $e \in H$ ? Следует из двух условий – но только если $H$ непусто. В этом определении есть маленькая лажа, и все люди обычно забывают о ней сказать: пустое множество этим двум свойствам, очевидно, удовлетворяет, и получилась бы подгруппа без нейтрального элемента. Группа из одного нейтрального элемента бывает, а так – дискомфортно. Поэтому: непустое.

Почему изометрии образуют в биекциях подгруппу? Взяли одно преобразование – расстояния сохранились, взяли второе – сохранились, ничего не перекосило; обратное к сохраняющему расстояния тоже сохраняет расстояния. В принципе, можно и формулу написать – сами напишите: будете сдавать листочки, ассистенты вас спросят.

Порядок элемента

В контексте изометрий сформулируем несколько определений, которые нам надо знать.

Определение (Порядок элемента). Порядок элемента $g$ группы $G$ – это

ord (g) = min {n \in N : g^{n} = e};

если такого $n$ нет, то есть $g^{n} \neq = e$ для любого $n \in N$ , полагаем $ord (g) = \infty$ .

Определение состоит из двух частей. Первая: вы хватаете натуральные числа и берёте композицию $g$ с собой $n$ раз; если однажды получился нейтральный элемент, вы берёте самое маленькое такое $n$ и говорите, что это порядок. Вторая: если, перепробовав все натуральные числа, нейтрального элемента вы не получили, естественно сказать, что порядок бесконечен. То есть порядок – это сколько раз элемент группы надо умножить на себя (или сложить с собой, если операция записана аддитивно), чтобы получился нейтральный элемент.

Пример (Порядки преобразований фигурок). Мы говорим про элементы группы, но думаем про преобразования фигурок.

Квадрат и поворот вокруг центра на $π /2$ : вершины переставляются в циклическом порядке; повернули четыре раза – как будто ничего не делали. Один, два, три раза – нетождественное преобразование. Порядок четыре.
Окружность и поворот на угол $1$ – радиан, а не градус. Порядок бесконечен: число $2 π$ , отвечающее за совмещение окружности с собой, и $1$ несоизмеримы. (А на $1^{\circ}$ – порядок $360$ .)
Прямая и сдвиг на единицу вправо: $1, 2, 3, \dots$ – тождественного не получится никогда. Порядок бесконечен.

Когда дойдём до геометрических фигурок, мы увидим, что это прямо всё.

Орбита и стабилизатор

Ещё два понятия, и здесь контекст меняется: теперь речь о множестве $M$ , на котором действует группа $G$ . Я буду писать действие с правой стороны, потому что пользуюсь обозначениями Берже и Сосинского; это уговор о том, в каком порядке писать буквы, и пока нам это неважно.

Определение (Орбита и стабилизатор). Пусть $M ↶ G$ и $x \in M$ .

Орбита точки $x$ – множество $Orb (x) = {xg : g \in G}$ : берём $x$ и начинаем действовать на него всеми элементами группы; $x$ начинает, скажу неформально, размазываться по пространству $M$ , размножаться. То, что получилось, – орбита.

Стабилизатор точки $x$ – множество $Stab (x) = {g \in G : xg = x}$ тех элементов группы, которые с $x$ ничего не делают.

Пример (Четыре поворота плоскости). $M = R^{2}$ , $G = {e, R_{π /2}, R_{π}, R_{3 π /2}}$ – тождественное преобразование и три поворота вокруг точки $A$ на $π /2$ , $π$ , $3 π /2$ (наш любимый поворот на $π /2$ и его степени). Раз я определяю орбиту, я должен сказать, какое множество и какая группа, иначе это будет жульничество.

Орбита точки $A$ : действуете, действуете, действуете – всё время получается $A$ . Орбита состоит из одного элемента. Возьмём точку $B \neq = A$ и будем её поворачивать: раз, два, три, и вернётесь назад. Орбита $B$ – четыре точки, расположенные в вершинах квадрата (сам квадрат не орбита, только вершины).

Стабилизатор точки $B$ – только тождественный элемент: все остальные начинают растаскивать её по плоскости. Стабилизатор точки $A$ – вся группа: $A$ вообще никуда не ездит.

TikZ diagram — Орбита точки $B$ под действием группы из четырёх поворотов вокруг $A$ : четыре точки в вершинах квадрата. Орбита самой $A$ – одна точка.

Если брать не $π /2$ , а, скажем, $π /12$ , поворотов будет $24$ штуки, и орбита будет из $24$ точек.

Лемма (Стабилизатор – подгруппа). $Stab (x)$ – подгруппа в $G$ .

Доказательство. Единичный элемент там точно есть. Если один элемент оставил $x$ на месте и другой оставил $x$ на месте, то их композиция в любом порядке оставит $x$ на месте. Обратный: пусть $xg = x$ ; верно ли, что $x g^{- 1} = x$ ? Фокус такой: кто его знает, а вдруг нет. Но $g$ – биекция, поэтому вместо того, чтобы сравнивать $x g^{- 1}$ и $x$ , сравним их образы под действием $g$ : $(x g^{- 1}) g = x (g^{- 1} * g) = x e = x$ и $xg = x$ . Совпали образы – совпали и точки, биекция совпадение сохраняет.

Обратный элемент – не обязательно сам к себе обратный: другие-то точки ещё как-то двигаются. И почему каждый элемент группы действует биекцией? Может ли быть, чтобы разные точки перешли в одну? Нет: подействовав обратным элементом, мы должны вернуться к исходным точкам.

Когда вы берёте большую группу, начинаете брать разные точки и смотреть, как у них устроены стабилизаторы и орбиты, – это очень красивая геометрия, но в контексте нашего предмета она будет немножко убрана, потому что нас будут интересовать транзитивные действия.

Определение (Транзитивное действие). Действие $M ↶ G$ называется транзитивным, если для любых двух точек $x, y \in M$ существует $g \in G$ такой, что $xg = y$ .

То есть любую точку $M$ можно передвинуть в любую другую точку $M$ ; орбита будет одна. Это и означает, что наша геометрическая фигурка обладает очень высокой степенью симметрии; с этого мы и начали: кубик – берём вот эту вершину и вот эту, и вот преобразование, которое одну передвигает в другую, и так для любой пары.

Ещё одно полезное свойство орбит. Бывает ли так, чтобы орбиты пересекались? Берём орбиту $x$ , берём орбиту $y$ , и вдруг их пересечение оказалось непустым. Отсюда следует, что орбита $x$ просто совпадает с орбитой $y$ : орбиты либо совпадают, либо не пересекаются вообще. Это нехитрое упражнение на ассоциативность действия; оставлю его вам. Если через неделю останутся вопросы, вернёмся, я покажу доказательство, но лучше проверьте сами.

Список геометрий

Пора приближаться к реальности. Поговорим о том списке геометрий, которые нас будут интересовать. Речь о том, что есть метрическое пространство $(M, d)$ и на нём с правой стороны действует изометриями интересная группа. Неинтересная тоже бывает: какая группа изометрий у треугольника со сторонами $3$ , $4$ , $5$ ? Тривиальная, его никак не покрутишь, поэтому с точки зрения геометрии Клейна это малоинтересный объект. А вот равносторонний треугольник – очень хороший: у него группа симметрий огромная, поворачивать можно, отражать можно, это высокосимметричный объект.

1. Евклидова плоскость

$M = R^{2}$ с евклидовым расстоянием $d_{2}$ – корень квадратный из суммы квадратов разностей координат. Группа изометрий – движения плоскости. В некоторых школах даже рассказывают их список: параллельный перенос, поворот, осевая симметрия и скользящая симметрия – композиция симметрии относительно прямой и сдвига вдоль этой прямой (не вбок, а вдоль). У нас, по всей видимости, будет упражнение доказать, что, как эти штуки ни перемножай, всё равно получится движение из того же списка, – но не в этот раз.

1′. $R^{n}$ с той же метрикой $d_{2}$ . Список движений там более хитрый, группа изометрий устроена похитрее, и словами это уже так не запишешь; здесь ничего писать не будем.

2. Правильный треугольник

Про треугольник можно думать по-разному: как про три точки, как про фигурку из вершин и рёбер, как про часть плоскости; метрика – евклидова, чтобы расстояния были одинаковые. Группа изометрий у всех трёх одна и та же – $S_{3}$ , группа перестановок трёх элементов. Почему? Треугольник всё-таки некоторую форму имеет: чтобы он перешёл в себя, вершина должна переходить в вершину, не получится повернуть так, чтобы вершина перешла куда-то в другое место (немножечко неформальное соображение). Раз всё определяется вершинами, надо следить только за тем, в каком порядке они переставляются. Если по циклу – это циклическая перестановка; если симметрия – транспозиция.

Выпишем для аккуратности список. Занумеруем вершины $A, B, C$ против часовой стрелки.

$e$ – нейтральный элемент;
$R_{1}$ – поворот вокруг центра на $2 π /3$ ( $12 0^{\circ}$ ), $A \mapsto B \mapsto C \mapsto A$ ;
$R_{2}$ – поворот в другую сторону на $2 π /3$ ; но это $R_{1}^{2}$ , потому что у поворота порядок три: повернуть два раза – это угол $4 π /3$ , а как поворот это то же самое, что $2 π /3$ в другую сторону;
$S_{A}$ , $S_{B}$ , $S_{C}$ – симметрии относительно осей, проходящих через вершину $A$ , $B$ , $C$ соответственно (и середину противоположной стороны).

Поворот здесь – вокруг центра, а не вокруг вершины: мы крутим так, чтобы вершины перешли в вершины; ось – через центр перпендикулярно плоскости. А почему других нет – заранее вскрою карты, у вас будет такой вопрос. (Правильный $n$ -угольник у вас есть в листочке.)

3. Куб

Наш любимый кубик. У него восемь вершин; перестановок восьми элементов $8! = 40320$ – очень много. Но симметрий куба, преобразований куба в себя, сохраняющих метрику, на самом деле не так много; количество совершенно обозримое. Опишем их словами.

Начнём с поворотов.

Вокруг оси, проходящей через центры противоположных граней: три нетривиальных поворота (нейтральный элемент пока не считаем), три оси – $9$ элементов.
Вокруг главной диагонали. Это потрясающее открытие, которое делает каждый школьник: если на куб посмотреть вдоль главной диагонали, он проектируется в правильный шестиугольник. Поворот на $2 π /3$ : два нетривиальных поворота на каждой оси; через каждую вершину верхнего основания проходит своя диагональ, так что осей четыре – $8$ элементов.
Вокруг оси через середины противолежащих рёбер, на угол $π$ : берёте кубик за серединки рёбер и переворачиваете. Осей шесть – $6$ элементов.

$9 + 8 + 6 = 23$ , и ещё нейтральный элемент: $24$ поворота. Я вас уверяю, что композиция поворотов – преобразование, сохраняющее ориентацию, то есть тоже поворот: компонируя эти штукенции друг с другом, вы за пределы списка не выскочите. Где взять оставшиеся $24$ (кто-то сказал $48$ )? Берёте преобразование второго рода, меняющее ориентацию, – симметрию относительно плоскости, параллельной грани, – и с помощью этих $24$ поворотов её размножаете. Ещё $24$ симметрии, всего $48$ элементов.

4–8. Остальной список

Дальше – дискретные геометрии, их два типа: 4. калейдоскопы и 5. геометрия Фёдорова. Потом недискретные: 6. плоскость Лобачевского, 7. проективная геометрия, 8. геометрия сферы. Треугольник заслужил отдельное место в списке методически: на нём я должен был показать, как устроены элементы группы; так-то он маленький.

Модель Пуанкаре в круге

Два слова про плоскость Лобачевского – покажу очень простую модель. Берём открытый круг – границу не берём. Граница называется абсолютом. В качестве прямых берём дуги окружностей, которые втыкаются в абсолют под углом $9 0^{\circ}$ (концы не берём), а также диаметры. Вот такие штуки в этой модели – модели Пуанкаре в круге – называются прямыми геометрии Лобачевского. В геометрии есть точки, прямые, правила измерения углов, правила измерения длин и список аксиом, которым это всё должно удовлетворять. Углы будем мерить по Евклиду: когда две окружности пересекаются, вы знаете, какой между ними угол. А длина отрезка считается по хитренькой формуле – сложная формула.

Фокус состоит в том, что в этой картинке все аксиомы, которые вы видели в школьной геометрии, выполняются, кроме последней: через точку вне прямой можно провести много прямых, которые данную не пересекают. Берём прямую и точку вне её. Есть две предельные прямые – окружности, которые касаются нашей прямой в её концах на абсолюте (и тоже пересекают абсолют под углом $9 0^{\circ}$ ). А между ними – целый пучок окружностей, проходящих через нашу точку: как будто поворачиваете, качаете, – и у вас возникает целая пачка прямых, которые исходную не пересекают. При этом в этой геометрии есть теорема синусов, теорема косинусов, признаки равенства треугольников, медианы, биссектрисы – всё, что вы видели в школьной геометрии, всё есть.

Фундаментальная область

Чтобы закончить, дам ещё два определения, которые присутствуют в листочке.

Определение (Фундаментальная область). Пусть на $M$ действует группа $G$ ; про $M$ надо думать, что это часть плоскости или пространства, иначе получится что-то странноватое. Фундаментальная область – это область $F \subset M$ (открытое связное подмножество; для простоты во всех наших примерах это будет внутренность многоугольника или многогранника, чтобы не думать, где граница) такая, что

$F g \cap F = \emptyset$ для любого $g \in G$ , $g \neq = e$ ;
$\overline{⋃_{g \in G} F g} = M$ .

То есть вы берёте часть фигуры, открытое множество, и применяете к ней все свои изометрии, полный список; при сдвиге на нетривиальный элемент получается что-то новенькое, не пересекающееся со стареньким (при $g = e$ пересечение, понятное дело, будет). А если рассмотреть все сдвиги по всей группе и замкнуть – добавить все границы, – должно получиться всё $M$ . Связность – любые две точки можно соединить ломаной; для областей на плоскости это одно и то же, что связность в общем смысле, – хитрая теорема, но одно и то же. Фундаментальная область определена не во всех ситуациях, но тем не менее.

Пример (Фундаментальная область треугольника). Берём настоящий плоский правильный треугольник; на нём действует группа его изометрий $S_{3}$ – я очень хотел написать $S_{6}$ , но она $S_{3}$ , конечно, из шести элементов. Какую часть треугольника взять, чтобы поворотами и симметриями замостить весь треугольник? Разбиваете его медианами на шесть кусочков; один маленький кусочек, рассматриваемый без границы, – фундаментальная область: симметрией – хоп сюда, симметрией – сюда, или поворотами его можно раскатать, способов много. Применив к нему все шесть элементов группы, вы получите все шесть кусков: пять нетривиальных и один исходный, отвечающий тривиальному элементу.

Подгеометрия

Определения геометрии в смысле Клейна мы пока не дали, но что такое подгеометрия, я уже хочу сказать. У вас есть метрическое пространство $M$ , на котором изометриями действует группа $G$ , и другое пространство $N$ , на котором действует другая группа $K$ (я выбрал $K$ , а не $H$ , потому что $H$ была какая-то подгруппа). Хочу договориться, что такое отображение из одного в другое: чтобы и множество переходило в множество, и действие сохранялось. Нужны два отображения: $f : M \to N$ и $φ : G \to K$ .

Определение (Морфизм действий и подгеометрия). Пара отображений $f : M \to N$ , $φ : G \to K$ сохраняет действие, если для любых $x \in M$ и $g \in G$

f (xg) = f (x) φ (g) :

к $x$ можно применить $g$ , а потом $f$ – попали в $N$ ; а можно сразу отправить $x$ в $N$ , $g$ отправить в $K$ и подействовать там. Результаты должны быть равны. $(M, G)$ – подгеометрия в $(N, K)$ , если, кроме того, $f$ – вложение множеств, а $φ$ – мономорфизм групп.

Гомоморфизм группы $(G, *)$ в группу $(K, ⊛)$ – это отображение $φ$ , согласованное с операциями: $φ (g_{1} * g_{2}) = φ (g_{1}) ⊛ φ (g_{2})$ (как гомоморфизм колец, только операция одна). Мономорфизм – гомоморфизм, у которого нет ядра: если $φ (g) = e_{K}$ , то $g = e_{G}$ . То есть если вы взяли какой-то элемент, применили $φ$ и попали в нейтральный элемент группы $K$ , значит, тот, с которого стартовали, тоже был нейтральным; так бывает не всегда. Мономорфизм – это вложение как множеств.

Пример (Квадрат в кубе). Геометрия квадрата реализуется как часть геометрии куба: квадрат можно засунуть в кубик изометрично на некоторое подмножество так, что группа симметрий квадрата будет реализована как подгруппа в группе симметрий куба. Где лежит этот квадратик? Не где угодно: если положить его как попало, то симметрия квадрата, меняющая местами эти две вершины и эти две, кубик куда-то выкинет. А надо положить квадратик на грань куба – такой вариант возможен. Здесь всё совершенно ясно: обе группы реализованы как подгруппы движений $R^{3}$ , и, как ни крути, всё получится.

Я и так перебрал несколько минут. Перерыв, а потом семинар.

Related works