Линейная алгебра, Листок 1. Линейные пространства

Задача 1.1. Можно ли задать структуру линейного пространства
a) над каким-либо полем на абелевой группе $Z$ целых чисел;
б) над $R$ на вещественных числах $R$ со следующей операцией умножения на скаляр: $λ \cdot u = λ^{2} u$ ;
в) над $R$ на вещественных числах $R$ со следующей операцией умножения на скаляр: $λ \cdot u = λ^{3} u$ ?

Задача 1.2. Рассмотрим $R$ как линейное пространство над $Q$ .
a) Докажите: векторы $1$ и $ξ$ линейно независимы тогда и только тогда, когда $ξ$ иррационально.
б) Принадлежит ли $2$ линейной оболочке векторов $1$ , $2$ и $5$ ?

Задача 1.3. Пусть $P_{0} (x)$ , $P_{1} (x)$ , … — многочлены с вещественными коэффициентами, причём $de g P_{n} (x) = n$ . При каких условиях на коэффициенты эта последовательность является базисом пространства $R [x]$ всех многочленов?

Задача 1.4. Докажите, что в пространстве $R^{N}$ всех бесконечных последовательностей вещественных чисел не существует счётного базиса.

Задача 1.5. Пусть $U$ , $V$ , $W$ — подпространства в $R^{n}$ , причём
$U \cap V = V \cap W = U \cap W = {0}$ .
Верно ли, что

dim (U + V + W) = dim U + dim V + dim W ?

Суммой нескольких подпространств $V_{1}, \dots, V_{n}$ линейного пространства $V$ называется линейная оболочка их объединения:

V_{1} + \dots + V_{n} = ⟨ V_{1} \cup \dots \cup V_{n} ⟩ .

Задача 1.6. прямая сумма двух подпространств. Сумма двух подпространств $V_{1} + V_{2}$ называется прямой (обозначение $V_{1} \oplus V_{2}$ ), если для любого вектора $v \in V_{1} + V_{2}$ представление

v = v_{1} + v_{2}, v_{1} \in V_{1}, v_{2} \in V_{2}

единственно. Докажите эквивалентность следующих условий:
a) сумма $V_{1} + V_{2}$ прямая;
b) $V_{1} \cap V_{2} = {0}$ ;
c) $v_{1} + v_{2} = 0$ , где $v_{1} \in V_{1}$ , $v_{2} \in V_{2} ⟹ v_{1} = v_{2} = 0$ ;
d) $dim V_{1} + dim V_{2} = dim (V_{1} + V_{2})$ .

Задача 1.7. прямая сумма нескольких подпространств. Сумма подпространств $V_{1} + \dots + V_{n}$ называется прямой, если для любого вектора $v \in V_{1} + \dots + V_{n}$ представление

v = v_{1} + \dots + v_{n}, v_{i} \in V_{i}

единственно.

Убедитесь, что условия $V_{i} \cap V_{j} = {0}$ при $1 \leq i < j \leq n$ не являются достаточными для того, чтобы сумма $V_{1} + \dots + V_{n}$ была прямой. Докажите эквивалентность следующих условий:
a) сумма $V_{1} + \dots + V_{n}$ прямая;
b) $V_{i} \cap ⟨ V_{1} + \dots + V_{i - 1} + V_{i + 1} + \dots + V_{n} ⟩ = {0}$ для любого $i = 1, \dots, n$ ;
c) $V_{i} \cap (V_{1} + \dots + V_{i} + \dots + V_{n}) = {0}$ для любого $i$ ;
d) если $0 = v_{1} + \dots + v_{n}$ , где $v_{i} \in V_{i}$ , то $v_{1} = \dots = v_{n} = 0$ ;
e) $dim V_{1} + \dots + dim V_{n} = dim (V_{1} + \dots + V_{n})$ .

Задача 1.8. Составьте систему линейных уравнений, задающую линейную оболочку системы векторов в координатном пространстве:
$(1, 1, 1)$ , $(1, 2, 1)$ , $(1, 2, 2)$ , $(1, 1, 3)$ , $(1, 1, 1, 3)$ , $(3, - 5, 7, 2)$ , $(1, - 7, 5, - 2)$ .

Задача 1.9. Найдите размерности и базисы суммы и пересечения подпространств $L_{1}$ и $L_{2}$ :
a)
$L_{1} : ⟨(1, 2, 3, 4), (2, 3, 1, - 5)⟩$ ,
$L_{2} : ⟨(1, 1, 1, 3), (2, 3, 1), (2, - 3, 1)⟩$ ;

b)
$L_{1} : x_{1} + x_{2} - x_{3} + x_{4} - x_{5} = 0, q u a d L_{2} : b e g in c a ses x_{1} = 0, x_{2} = 0, x_{3} = x_{4} e n d c a ses$ ;

c)
$L_{1} : b e g in c a ses x_{1} + x_{3} + x_{4} = 0, x_{2} + x_{5} = 0 e n d c a ses, q q u a d L_{2} : b e g in c a ses x_{1} = 1, x_{2} = - x_{5} = 0 e n d c a ses$ .

Задача 1.10. Докажите, что базисы $e$ и $e^{'}$ линейного пространства над $R$ одинаково ориентированы тогда и только тогда, когда существует деформация $e (t)$ базиса $e$ , для которой $e (1) = e^{'}$ .