Векторный анализ. Формула Стокса. Циркуляция

Формулировка

Циркуляция поля по замкнутому контуру равна потоку его ротора через любую натянутую на этот контур поверхность:

Γ \oint a \cdot d r = S \iint rot a \cdot d S,

где

rot a = \nabla \times a = i \frac{\partial}{\partial x} P j \frac{\partial}{\partial y} Q k \frac{\partial}{\partial z} R .

Ориентации контура и поверхности должны быть согласованы: обход $Γ$ виден против часовой стрелки с конца нормали (правило правого винта). Рассогласование даёт ответ с противоположным знаком.

Формула Грина — частный случай: плоская область, поле без $z$ -компоненты, нормаль вдоль $O z$ .

Поверхность выбирается любая — этим и пользуются. Контур из трёх отрезков даёт три интеграла II рода; натянутый на него плоский треугольник даёт один поверхностный интеграл, часто вообще от константы. Обратный ход тоже бывает выгоден: если ротор сложен, а контур — окружность, проще посчитать циркуляцию напрямую.

Порядок действий

Найти $rot a$ по определителю.
Выбрать поверхность, натянутую на контур, — обычно плоскую.
Выписать нормаль согласованно с направлением обхода.
Посчитать поток ротора.

Если задача просит «двумя способами», оба ответа обязаны совпасть; это и есть встроенная проверка.

Где ошибаются

Знак в средней компоненте ротора. В определителе она берётся со знаком минус: $(\partial P / \partial z - \partial R / \partial x)$ , а не наоборот.
Нормаль не согласована с обходом — ответ верен по модулю и неверен по знаку.
Забывают, что нормаль к наклонной плоскости не единичная. Если берётся $N = (A, B, C)$ , то интегрирование идёт по проекции с $d x d y$ ; если берётся $\hat{n}$ , то по площади с $d S$ . Смешивать эти два способа нельзя.

Задачи

Задача 1 (Циркуляция по окружности двумя способами). Дано векторное поле $a = z i + x^{2} j + y k$ и замкнутый контур $Γ$ : $x = 2 cos t$ , $y = 2 sin t$ , $z = 0$ , $t \in [0; 2 π]$ .

Найдите циркуляцию поля $a$ вдоль $Γ$ двумя способами: непосредственно и по формуле Стокса.

Решение.

Способ 1: криволинейный интеграл II рода

Циркуляция — это

Γ \oint a \cdot d r = Γ \oint P d x + Q d y + R d z,

где $P = z$ , $Q = x^{2}$ , $R = y$ .

Из параметризации: $d x = - 2 sin t d t$ , $d y = 2 cos t d t$ , $d z = 0$ .

На контуре $z \equiv 0$ , поэтому член $P d x$ обращается в ноль; член $R d z$ исчезает вместе с $d z$ . Остаётся только $Q d y$ :

Γ \oint a \cdot d r = \int_{0}^{2 π} (2 cos t)^{2} \cdot 2 cos t d t = 8 \int_{0}^{2 π} cos^{3} t d t .

Интеграл от нечётной степени косинуса по полному периоду равен нулю. Формально: $cos^{3} t = \frac{3 cos t + cos 3 t}{4}$ , и оба слагаемых интегрируются в ноль на $[0; 2 π]$ .

Γ \oint a \cdot d r = 0.

Способ 2: формула Стокса

Ротор.

rot a = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) i + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}) j + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) k .

Считаем: $\partial R / \partial y = 1$ , $\partial Q / \partial z = 0$ ; $\partial P / \partial z = 1$ , $\partial R / \partial x = 0$ ; $\partial Q / \partial x = 2 x$ , $\partial P / \partial y = 0$ . Значит $rot a = i + j + 2 x k$ .

Средняя компонента здесь ненулевая, и это тот случай, где её легко потерять: в определителе она берётся со знаком минус, то есть равна $\partial P / \partial z - \partial R / \partial x$ , а не наоборот.

Поверхность. Натянем на $Γ$ круг $S$ радиуса $2$ в плоскости $z = 0$ . Обход $t$ от $0$ до $2 π$ идёт против часовой стрелки, значит согласованная нормаль — это $n = k$ .

Поток ротора. Скалярное произведение отбирает только третью компоненту: $rot a \cdot n = 2 x$ .

S \iint 2 x d S = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} 2 r cos θ \cdot r d r d θ = 2 \int_{0}^{2} r^{2} d r \int_{0}^{2 π} cos θ d θ = 0,

потому что $\int_{0}^{2 π} cos θ d θ = 0$ . Тот же вывод без вычислений: круг симметричен относительно оси $O y$ , а функция $2 x$ нечётна по $x$ .

Оба способа дали одно и то же, что и служит проверкой.

Ответ: циркуляция равна $0$ .

Задача 2 (Циркуляция по треугольному контуру). Дано векторное поле $a = y i + z j + x k$ .

Контур $Γ$ — треугольник, вырезанный плоскостью $x + y + z = 1$ из первого октанта, с вершинами $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 1; 0)$ , $C (0; 0; 1)$ , обходимый в порядке $A \to B \to C \to A$ .

Найдите циркуляцию поля $a$ вдоль $Γ$ .

Решение.

Прямой счёт потребовал бы трёх интегралов по трём сторонам. Формула Стокса сводит задачу к одному потоку по треугольнику $S$ , натянутому на контур, — и здесь ротор оказывается постоянным, так что интеграл берётся устно.

Ротор. Для $P = y$ , $Q = z$ , $R = x$ :

rot a = (\frac{\partial x}{\partial y} - \frac{\partial z}{\partial z}) i + (\frac{\partial y}{\partial z} - \frac{\partial x}{\partial x}) j + (\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y}) k = - i - j - k .

Ориентация. Обход $A \to B \to C \to A$ виден против часовой стрелки со стороны положительных координат, то есть согласованная нормаль направлена «наружу» от начала координат:

\hat{n} = \frac{( 1 ; 1 ; 1 )}{3} .

Проверить это можно правилом правого винта: пройдя от $A$ к $B$ , затем к $C$ , большой палец правой руки смотрит в сторону $(1; 1; 1)$ .

Поток ротора.

rot a \cdot \hat{n} = \frac{- 1 - 1 - 1}{3} = - 3 .

Величина постоянна, поэтому поток равен произведению на площадь:

Γ \oint a \cdot d r = - 3 \cdot S (△ A B C) .

Треугольник равносторонний со стороной $∣ A B ∣ = 2$ , значит

S = \frac{3}{4} \cdot (2)^{2} = \frac{3}{2} .

Γ \oint a \cdot d r = - 3 \cdot \frac{3}{2} = - \frac{3}{2} .

Проверка прямым счётом. На стороне $A B$ : $r (t) = (1 - t; t; 0)$ , $d r = (- 1; 1; 0) d t$ , поле $a = (t; 0; 1 - t)$ , скалярное произведение равно $- t$ , интеграл $- 1/2$ . По симметрии поля относительно циклической замены $x \to y \to z \to x$ две другие стороны дают то же самое, итого $- 3/2$ . Сходится.

Ответ: $- \frac{3}{2}$ .

Задача 3 (Циркуляция по треугольному контуру (вариант)). Дано векторное поле $a = y i + z j + x k$ .

Контур $Γ$ — треугольник, вырезанный плоскостью $x + y + z = 2$ из первого октанта, с вершинами $A (2; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ , $C (0; 0; 2)$ , обходимый в порядке $A \to B \to C \to A$ .

Найдите циркуляцию поля $a$ вдоль $Γ$ .

Решение.

Поле и направление нормали те же, что в предыдущей задаче, изменился только размер треугольника. Ротор от этого не зависит:

rot a = - i - j - k, \hat{n} = \frac{( 1 ; 1 ; 1 )}{3}, rot a \cdot \hat{n} = - 3 .

Меняется площадь. Сторона теперь $∣ A B ∣ = 22$ , значит

S = \frac{3}{4} \cdot (22)^{2} = \frac{3}{4} \cdot 8 = 23 .

Γ \oint a \cdot d r = - 3 \cdot 23 = - 6.

Ответ вырос вчетверо, а не вдвое: контур растянулся в два раза по каждой оси, а площадь — квадратичная величина. Здесь ротор постоянен, поэтому масштабирование предсказуемо; при переменном роторе такой прикидке доверять нельзя, и интеграл нужно считать заново.

Проверка прямым счётом. На стороне $A B$ : $r (t) = (2 - 2 t; 2 t; 0)$ , $d r = (- 2; 2; 0) d t$ , поле $a = (2 t; 0; 2 - 2 t)$ , скалярное произведение равно $- 4 t$ , интеграл $- 2$ . Три стороны по симметрии дают $- 6$ .

Ответ: $- 6$ .

Векторный анализ. Формула Стокса. Циркуляция

Формулировка

Зачем она нужна

Порядок действий

Где ошибаются

Задачи

stokes.ipynb