Алгебра-1. Лекция 2

Смотреть на YouTube

Вопрос перед началом: какую литературу порекомендовать? Винберг, «Курс алгебры»; он же указан на страничке курса как самая базовая.

Напоминание: группа $G$ – множество с одной операцией, обычно обозначаемой умножением, которая ассоциативна, имеет нейтральный элемент и обратный к каждому элементу; всё это для элементов из $G$ , и я больше не буду писать это каждый раз. Львиную долю прошлого занятия мы потратили на один из самых базовых примеров – симметрическую группу $S_{n}$ . Надеюсь, не зря: пример очень важный, часто встречается в задачах, и сегодня мы увидим, что в каком-то смысле эти группы описывают вообще всю теорию конечных групп – немножко странная теоремка, но чуть позже. Сначала – несколько определений и изучение групп в целом.

Порядок

Определение (Порядок элемента и порядок группы). Порядок элемента $g \in G$ – наименьшее натуральное $n$ , для которого $g^{n} = e$ ; обозначается $ord (g)$ (от order). Если такого $n$ не существует, элемент имеет бесконечный порядок. Порядок группы $∣ G ∣$ – количество её элементов; если их бесконечно много, порядок группы бесконечен.

Пример (порядки).

Группа остатков по модулю $n$ по сложению, $Z / n Z$ (скоро мы увидим, что у этого обозначения есть глубокий смысл). В ней есть элемент, соответствующий остатку $1$ ; его порядок по сложению равен $n$ , и группа тоже порядка $n$ . Если складывать остаток $1$ сам с собой, получатся все остатки: единица порождает группу.
Группа $S_{n}$ : её порядок – $n!$ , потому что единица может перейти в один из $n$ элементов, двойка – в один из $n - 1$ и так далее, по правилам комбинаторики перемножаем. Порядки элементов бывают самые разные, и есть простой общий способ их считать – см. ниже.
Группа $Z$ : единица имеет бесконечный порядок: складывая единицу с собой, нуль в целых числах никогда не получишь.

Лемма (степени элемента конечного порядка). Пусть $ord (g) = k$ . Тогда $g^{m} = e$ в том и только в том случае, когда $m$ делится на $k$ .

Доказательство. Разделим $m$ на $k$ с остатком: $m = q k + r$ , $0 \leq r < k$ . Тогда $g^{m} = (g^{k})^{q} \cdot g^{r} = g^{r}$ , поскольку $g^{k} = e$ . Если $g^{m} = e$ , то $g^{r} = e$ ; но если бы $r$ было натуральным, это противоречило бы определению: мы взяли $k$ наименьшим, а $r$ ещё меньше. Значит, $r = 0$ : $m$ делится на $k$ нацело. Обратно, если $m$ делится на $k$ , то $g^{m} = (g^{k})^{m / k} = e$ .

Порядок подстановки. Разложим подстановку в произведение независимых циклов $σ = σ_{1} σ_{2} \dots σ_{s}$ : какой-то цикл из $n_{1}$ элементов, другой из $n_{2}$ , и так далее (как их обозвать, неважно; главное, что они независимы). Нужно найти степень, в которой $σ$ становится тождественной. Независимые циклы коммутируют, поэтому возводить в степень их можно по отдельности, и нужна степень, которая обнуляет все циклы сразу. Порядок одного цикла $σ_{1}$ равен просто его длине $n_{1}$ : сдвинув $n_{1}$ элементов по циклу $n_{1}$ раз, вы вернётесь в исходное положение, и это, очевидно, наименьшее такое число. По лемме степень, обнуляющая цикл, делится на его длину. Число, делящееся на все длины, – их наименьшее общее кратное:

ord (σ) = НОК (n_{1}, n_{2}, \dots, n_{s}) .

Порождающие и циклические группы

Определение (Порождающее множество, циклическая группа). Группа $G$ порождается множеством своих элементов $Ω \subset G$ , если любой элемент $G$ представим в виде произведения элементов из $Ω$ и обратных к ним; пишут $G = ⟨ Ω ⟩$ . Группа циклическая, если она порождается одним элементом: $G = ⟨ g ⟩$ – все элементы являются положительными или отрицательными степенями $g$ (отрицательная степень – это обратный, возведённый в степень).

Пример (порождающие). В прошлый раз мы доказали, что $S_{n}$ порождается всеми транспозициями. В листочке есть куда более приятные, маленькие множества порождающих: достаточно транспозиций соседних элементов, вида $(i, i + 1)$ , и, более того, вся эта гигантская группа порождается всего двумя элементами: транспозицией $(1, n)$ и циклом $(1, 2, \dots, n)$ , переставляющим все элементы по кругу. Об этом сейчас говорить не будем, это задача из листочка. Группы $Z / n Z$ и $Z$ порождаются одним элементом – они циклические.

Гомоморфизмы и изоморфизмы

Определим отображения между группами. Слово «гомоморфизм» настолько общее во всей этой науке, что его можно объяснить одним способом для всех объектов на свете: это отображение, которое уважает структуру, то есть операции и их свойства. В группе одна операция, умножение, и именно её гомоморфизм должен сохранять.

Определение (Гомоморфизм). Пусть $G$ , $H$ – группы. Отображение $f : G \to H$ называется гомоморфизмом, если

f (g_{1} g_{2}) = f (g_{1}) f (g_{2}) для любых g_{1}, g_{2} \in G :

произведение двух элементов переходит в произведение их образов.

Замечание (единица и обратный сохраняются автоматически). Казалось бы, можно отдельно потребовать $f (e_{G}) = e_{H}$ , где $e_{G}$ и $e_{H}$ – нейтральные элементы в $G$ и в $H$ (называю их по-разному, чтобы не путать). Но это следует из определения: напишем равенство для $g_{1} = g_{2} = e_{G}$ : $f (e_{G} e_{G}) = f (e_{G}) f (e_{G})$ , а слева $e_{G} e_{G} = e_{G}$ , так что $f (e_{G}) = f (e_{G}) f (e_{G})$ ; в группе можно сокращать – сократим $f (e_{G})$ и получим $e_{H} = f (e_{G})$ . Аналогично, рассмотрев равенство для $g$ и $g^{- 1}$ , получаем $f (g^{- 1}) = f (g)^{- 1}$ . Сохранения умножения хватает, чтобы уважались и единица, и операция взятия обратного.

Определение (Изоморфизм). Гомоморфизм $f : G \to H$ называется изоморфизмом, если существует гомоморфизм $l : H \to G$ такой, что $f \circ l = id_{H}$ и $l \circ f = id_{G}$ . Тогда пишут $G ≅ H$ .

Требовать всего этого не обязательно: достаточно, чтобы $f$ был взаимно однозначным. Изоморфизм – это биекция между элементами двух групп, уважающая операцию хотя бы в одну сторону. (Гомоморфизм же никакой биективностью не обязан обладать; он просто уважает операцию, а сюръективен он, инъективен или какой-нибудь ещё – неважно.)

Лемма (биективный гомоморфизм – изоморфизм). Если гомоморфизм $f : G \to H$ взаимно однозначен, то обратное отображение $f^{- 1} : H \to G$ – тоже гомоморфизм.

Доказательство. Надо показать, что $f^{- 1} (h_{1} h_{2}) = f^{- 1} (h_{1}) f^{- 1} (h_{2})$ . Поскольку $f$ – биекция, элементы $G$ совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их образы в $H$ ; значит, достаточно проверить

f (f^{- 1} (h_{1} h_{2})) = f (f^{- 1} (h_{1}) f^{- 1} (h_{2})) .

Слева стоит $h_{1} h_{2}$ . Справа по правилу гомоморфизма получаем $f (f^{- 1} (h_{1})) f (f^{- 1} (h_{2})) = h_{1} h_{2}$ , потому что $f$ и $f^{- 1}$ взаимно обратны. Получили то, что надо.

Теорема (Классификация циклических групп). Всякая циклическая группа изоморфна либо $Z$ , либо $Z / n Z$ для некоторого $n$ .

Доказательство. Пусть $G = ⟨ g ⟩$ . Все элементы имеют вид степеней $g$ : $e, g, g^{2}, \dots$ и $g^{- 1}, g^{- 2}, \dots$ (обратный к $g^{2}$ – это $g^{- 2}$ , и так далее).

Случай 1: $g$ бесконечного порядка. Тогда все эти степени различны: если $g^{n} = g^{m}$ при $n \neq = m$ , то, сократив, получим $g^{n - m} = e$ , то есть конечный порядок, противоречие. Устроим отображение $Z \to G$ , $n \mapsto g^{n}$ . Это гомоморфизм: в $Z$ операция – сложение, и $n + m \mapsto g^{n + m} = g^{n} g^{m}$ по законам возведения в степень (напоминаю, операция не всегда обозначается значком умножения). Оно биективно по сказанному выше.

Случай 2: $g$ порядка $n$ . Рассмотрим элементы $e, g, g^{2}, \dots, g^{n - 1}$ . Утверждаю, что они различны, а других нет. $g^{n} = e$ уже написан; любая степень выше $n$ тоже: поделим показатель на $n$ с остатком, $g^{k} = g^{r}$ , где $r$ – остаток; обратные тоже не нужны: $g^{n - 1}$ – это и есть $g^{- 1}$ , его произведение с $g$ даёт $e$ , и так же остальные отрицательные степени. Устроим отображение $Z / n Z \to G$ : остатку – множеству всех чисел, сравнимых по модулю $n$ , – сопоставим $g$ в этой степени. Это не зависит от выбора представителя: если $n_{1} \equiv n_{2} (mod n)$ , то $g^{n_{1}}$ и $g^{n_{2}}$ отличаются на $g$ в степени, кратной $n$ , то есть на единицу. Отображение корректно определено, по тем же причинам это гомоморфизм, и оно биективно по сказанному выше.

Так что циклические группы, может, и не выглядят прямо так, но им изоморфны.

Пример (гомоморфизмы).

Знак. Чётность даёт гомоморфизм $sgn : S_{n} \to Z /2 Z$ : чётные подстановки переходят в $0$ , нечётные – в $1$ (остатки по модулю $2$ ). Что это гомоморфизм, следует из утверждения, доказанного в конце прошлой лекции: произведение двух чётных чётно – равенство $f (g_{1} g_{2}) = f (g_{1}) + f (g_{2})$ читается как $0 = 0 + 0$ (в $Z /2 Z$ операция – сложение); чётной и нечётной – нечётно, и так далее: чётность произведения согласована со сложением чётных и нечётных чисел.
Обращение. Отображение $G \to G$ , $g \mapsto g^{- 1}$ . Когда это гомоморфизм? Для абелевых групп; и тогда это даже автоморфизм, изоморфизм группы на себя, поскольку оно очевидно биективно. Почему нужна абелевость: элемент $g h$ должен перейти в $(g h)^{- 1}$ , а в прошлый раз мы видели, что $(g h)^{- 1} = h^{- 1} g^{- 1}$ : порядок букв поменялся. Именно так всё сходится: в $g h \cdot h^{- 1} g^{- 1}$ элементы $h$ и $h^{- 1}$ стоят рядом и благополучно сокращаются, потом $g$ и $g^{- 1}$ ; а в $g h \cdot g^{- 1} h^{- 1}$ между $g$ и $g^{- 1}$ затесался $h$ , и сократить ничего нельзя, потому что свойство $g g^{- 1} = e$ можно использовать только для стоящих рядом элементов.
Экспонента. $(R, +) \to (R_{> 0}, \cdot)$ , $x \mapsto e^{x}$ ; положительные вещественные числа образуют группу по умножению, там можно смело делить. По свойству экспоненты $e^{x + y} = e^{x} e^{y}$ : операция уважается: слева сложение, справа умножение. Это очевидная биекция, так что $(R, +) ≅ (R_{> 0}, \cdot)$ ; вместо $e$ подойдёт любое положительное основание.
Для знатоков есть множество примеров из линейной алгебры, например взятие определителя $det : GL_{n} (R) \to R^{*}$ . Гомоморфизмы – вездесущая вещь.
$S_{3} ≅ D_{3}$ . Здесь $D_{n}$ – группа симметрий правильного $n$ -угольника (в прошлый раз я забыл дать это обозначение; есть расхождения: иногда пишут $D_{n}$ по числу вершин, иногда $D_{2 n}$ по числу элементов; будем писать $D_{n}$ ). Подстановки трёх элементов – то же, что симметрии правильного треугольника: симметрия однозначно определяется тем, как она переставляет вершины, и переставлять их можно как угодно – любая перестановка даёт движение, сохраняющее треугольник. А вот $S_{4}$ и $D_{4}$ совершенно не изоморфны: в квадрате нельзя две вершины оставить на месте, а две другие переставить – так его не перекрутить. $D_{4}$ меньше.

Подгруппы, ядро и образ

Определение (Подгруппа). Подмножество $H \subset G$ называется подгруппой, если оно само является группой относительно той же самой операции.

Это важно. $(Z, +)$ – подгруппа в $(Q, +)$ , $(Q, +)$ – подгруппа в $(R, +)$ . Антипример: $(Q^{*}, \cdot)$ , рациональные числа без нуля по умножению, не подгруппа в $(Q, +)$ : как подмножество оно там лежит, мы просто выкинули нуль, но операции совершенно разные.

Чтобы проверить, что подмножество – подгруппа, нужно проверить замкнутость относительно операции (что операция вообще определена) и наличие нейтрального элемента и обратных. Ассоциативность проверять не нужно: она выполняется во всей большой группе, а значит, и в малой.

Определение (Ядро и образ). Пусть $f : G \to H$ – гомоморфизм. Его ядро (kernel) и образ (image) –

Ker f = {g \in G ∣ f (g) = e_{H}}, Im f = {h \in H ∣ \exists g \in G : f (g) = h} :

ядро – всё, что переходит в нейтральный элемент; образ – те элементы $H$ , в которые хоть что-то переходит.

Теорема (Ядро и образ – подгруппы). $Ker f$ – подгруппа в $G$ , $Im f$ – подгруппа в $H$ .

Доказательство. Ядро. Возьмём $g_{1}, g_{2} \in Ker f$ и проверим, что $g_{1} g_{2}^{- 1} \in Ker f$ ; сейчас будет видно, почему проверять именно это немножко быстрее. Применим $f$ : $f (g_{1} g_{2}^{- 1}) = f (g_{1}) f (g_{2})^{- 1}$ : произведение разложили, обратный вынесли по доказанному свойству; оба множителя – единичные элементы, значит, и произведение единичное. Из этого одного свойства следует всё остальное. Ядро непусто: нейтральный элемент переходит в нейтральный. Подставим $g_{1} = e$ , $g_{2}$ произвольный: $e g_{2}^{- 1} = g_{2}^{- 1}$ лежит в ядре, так что обратные есть. Теперь подставим вместо $g_{2}$ элемент $g_{2}^{- 1}$ , который, как мы только что поняли, в ядре лежит: $g_{1} (g_{2}^{- 1})^{- 1} = g_{1} g_{2}$ (дважды взять обратный всё равно что ничего не брать); произведения есть. Не проверяйте отдельно произведение и обратный: одного свойства $g_{1} g_{2}^{- 1} \in H$ хватает, два других из него следуют.

Образ. Плюс-минус то же самое: если $h_{1} = f (g_{1})$ и $h_{2} = f (g_{2})$ , то $h_{1} h_{2}^{- 1} = f (g_{1} g_{2}^{- 1})$ тоже в образе.

Пример (ядра).

Из любой группы в любую можно все элементы отобразить в нейтральный. Это гомоморфизм (произведение переходит в произведение), но, конечно, не изоморфизм. Ядро – вся группа.
$Z \to Z / n Z$ , целому числу сопоставляем его остаток: в нуль переходят все числа, делящиеся на $n$ ; ядро бесконечно, это $n Z$ . Ядра бывают самые разные и, скорее всего, нетривиальные.
Знак $sgn : S_{n} \to Z /2 Z$ при $n \geq 2$ : образ – всё (чётные и нечётные подстановки есть), ядро – группа всех чётных подстановок; она обозначается $A_{n}$ и является очень-очень важной подгруппой в $S_{n}$ .
Возведение в квадрат $R^{*} \to R^{*}$ , $x \mapsto x^{2}$ : гомоморфизм, потому что умножение коммутативно, $(x y)^{2} = x^{2} y^{2}$ . Ядро – ${1, - 1}$ (нуля тут вообще нет), образ – положительные числа: они и есть квадраты вещественных.

Теорема (Критерий инъективности). Гомоморфизм $f : G \to H$ инъективен тогда и только тогда, когда его ядро тривиально: $Ker f = {e}$ .

Пустым ядро быть не может: нейтральный элемент в нём лежит всегда; но бывает, что больше ничего и нет, и это равносильно тому, что разные элементы переходят в разные.

Доказательство. Пусть два элемента перешли в одно и то же: $f (g_{1}) = f (g_{2})$ . Не будем пропускать шаги: это равносильно $f (g_{1}) f (g_{2})^{- 1} = e_{H}$ , что по закону гомоморфизма схлопывается в $f (g_{1} g_{2}^{- 1}) = e_{H}$ , что по определению равносильно $g_{1} g_{2}^{- 1} \in Ker f$ . Если ядро тривиально, этот элемент единичный и $g_{1} = g_{2}$ . И наоборот: если в ядре есть нетривиальный элемент, не равный единичному, то найдутся $g_{1} \neq = g_{2}$ , переходящие в одно и то же.

Поэтому инъективность проверять очень просто: не надо думать, могут ли какие-нибудь два элемента склеиться; достаточно посмотреть, что в единичный элемент переходит только единица.

Классы смежности

Определение (Классы смежности). Пусть $H \subset G$ – произвольная подгруппа, $g \in G$ . Левый класс смежности –

g H = {g h ∣ h \in H},

все элементы подгруппы, домноженные слева на один и тот же $g$ . Аналогично правый класс смежности $H g = {h g ∣ h \in H}$ . Множество левых классов смежности обозначается $G / H$ .

Будет ли $g H$ подгруппой? Почти никогда: только если $g \in H$ , и тогда $g H = H$ : если все элементы подгруппы домножить на элемент этой же подгруппы, получится подмножество $H$ (замкнутость), причём всё $H$ (есть обратные). Иначе никакой структуры на классе смежности нет – это просто множество.

Теорема (Классы смежности либо не пересекаются, либо совпадают). Два левых класса смежности либо не пересекаются, либо совпадают; при этом

g_{1} H = g_{2} H ⟺ g_{1}^{- 1} g_{2} \in H .

То же верно для правых классов (с условием $g_{2} g_{1}^{- 1} \in H$ ).

Сразу выбираем, левые или правые: только левые между собой либо не пересекаются, либо совпадают, и только правые между собой; левый и правый классы могут пересекаться очень даже нетривиально. Разным элементам могут соответствовать одинаковые классы: например, любым двум элементам $H$ соответствует сам $H$ .

Доказательство. Пусть классы пересеклись: найдётся элемент, лежащий и в $g_{1} H$ , и в $g_{2} H$ . По определению это значит $g_{1} h_{1} = g_{2} h_{2}$ для некоторых $h_{1}, h_{2} \in H$ . Домножим слева на $g_{1}^{- 1}$ : $h_{1} = g_{1}^{- 1} g_{2} h_{2}$ ; затем справа на $h_{2}^{- 1}$ :

h_{1} h_{2}^{- 1} = g_{1}^{- 1} g_{2} .

Слева стоит элемент $H$ (это подгруппа), так что $g_{1}^{- 1} g_{2} \in H$ ; назовём его $h_{3}$ . Теперь распишем класс $g_{1} H$ и покажем, что он совпадает с $g_{2} H$ : вставим $h_{3} h_{3}^{- 1}$ ,

g_{1} H = {g_{1} h ∣ h \in H} = {g_{1} h_{3} \cdot h_{3}^{- 1} h ∣ h \in H} = {g_{2} \cdot h_{3}^{- 1} h ∣ h \in H} = {g_{2} h^{'} ∣ h^{'} \in H} = g_{2} H :

подставили $h_{3} = g_{1}^{- 1} g_{2}$ , $g_{1}$ сократилось и остался $g_{2}$ ; а $h_{3}^{- 1} h$ пробегает все элементы $H$ , когда $h$ пробегает все: если все элементы группы домножить на фиксированный элемент, получатся все элементы группы. Итак, если классы пересеклись, они совпали, и заодно $g_{1}^{- 1} g_{2} \in H$ . Обратно, если $g_{1}^{- 1} g_{2} \in H$ , то же вычисление показывает, что классы совпадают.

Значит, вся группа $G$ разбивается на непересекающиеся левые классы смежности: какой-то класс $g_{1} H$ , какой-то $g_{2} H$ , и так далее.

TikZ diagram — Группа $G$ разбита на левые классы смежности по подгруппе $H$ ; в каждом классе $∣ H ∣$ элементов, классов – $(G : H)$ .

Нормальные подгруппы

Суперважная ситуация.

Определение (Нормальная подгруппа). Подгруппа $H \subset G$ называется нормальной, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

$g H = H g$ для любого $g \in G$ , то есть левый класс смежности совпадает с правым;
$g H g^{- 1} = H$ для любого $g \in G$ ;
$g H g^{- 1} \subset H$ для любого $g \in G$ .

Операция $h \mapsto g h g^{- 1}$ при фиксированном $g$ называется сопряжением; второе условие говорит, что при сопряжении любым элементом подгруппа $H$ сохраняется. Третье условие слабее, но его достаточно: обратное включение следует автоматически (несложное упражнение). Эквивалентность 1 и 2: если $g H = H g$ как множества, домножим оба справа на $g^{- 1}$ – равные множества останутся равными: $g H g^{- 1} = H$ . Обратно, домножаем $g H g^{- 1} = H$ справа на $g$ .

Пример (нормальные и ненормальные подгруппы).

В абелевой группе любая подгруппа нормальна: $g h = h g$ поэлементно, не только как множества.
В $S_{3}$ есть и нормальные, и ненормальные подгруппы. Подгруппа ${e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}$ из трёх элементов нормальна; это следствие более общего утверждения ниже. Подгруппа ${e, (1, 2)}$ ненормальна: сопрягите $(1, 2)$ транспозицией $(2, 3)$ и увидите, что получится не то, что было, просто потому что они не коммутируют.

Определение (Индекс). Индекс подгруппы $H \subset G$ – число $(G : H)$ элементов в множестве левых классов смежности $G / H$ .

Теорема (Теорема Лагранжа). Если $H \subset G$ – конечные группы, то

∣ G ∣ = ∣ H ∣ \cdot (G : H) .

Доказательство. Простейшая комбинаторика: группа разбивается на непересекающиеся классы смежности, их $(G : H)$ штук, и в каждом $∣ H ∣$ элементов: если все элементы подгруппы домножить на фиксированный элемент, получится столько же элементов.

Подгруппа ${e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} \subset S_{3}$ – индекса $2$ : в ней три элемента, в $S_{3}$ шесть.

Теорема (Подгруппа индекса 2 нормальна). Любая подгруппа индекса $2$ нормальна, и неважно, конечна группа или нет: если всего два левых класса смежности, подгруппа нормальна.

Доказательство. Пусть $(G : H) = 2$ ; возьмём $g \in G$ . Если $g \in H$ , то левый класс $g H$ – это просто $H$ , и по той же причине правый класс $H g = H$ : совпали. Если $g \in / H$ , то вся группа разбита на два левых класса, один из них $H$ , а другой – всё, что осталось: $g H = G ∖ H$ , дополнение. Правый класс – ровно такое же дополнение. Левым и правым классам просто деваться некуда, кроме как совпасть: $H$ – одновременно левый и правый класс, и дополнение – тоже, причём для одних и тех же элементов.

Факторгруппа

Зачем нужна нормальность? Для очень важного понятия.

Теорема (Факторгруппа). Пусть $H \subset G$ – нормальная подгруппа. Тогда на множестве $G / H$ есть структура группы:

(g_{1} H) \cdot (g_{2} H) = g_{1} g_{2} H .

Эта группа называется факторгруппой $G$ по $H$ .

Доказательство. Введём умножение на классах: есть класс с элементом $g_{1}$ и класс с элементом $g_{2}$ ; элемент $g_{1} g_{2}$ тоже лежит в каком-то классе, и мы хотим назвать этот класс произведением. Так написать можно всегда; проблема в том, что класс определяется своим элементом неоднозначно – любой элемент класса его определяет, – и надо проверить корректность: какой бы представитель ни был взят, получится один и тот же класс. То есть надо показать, что попарные произведения всех элементов первого класса на все элементы второго дают в точности элементы одного фиксированного класса:

g_{1} H \cdot g_{2} H = g_{1} g_{2} H,

где слева – множество всех произведений. Подгруппа нормальна, поэтому правый класс $H g_{2}$ равен левому $g_{2} H$ :

g_{1} H \cdot g_{2} H = g_{1} (H g_{2}) H = g_{1} (g_{2} H) H = g_{1} g_{2} \cdot H H = g_{1} g_{2} H,

потому что всевозможные произведения элементов подгруппы на элементы подгруппы – это все элементы подгруппы. Всё доказано: умножение корректно определено, а групповые аксиомы наследуются от $G$ .

Классы смежности не являются подмножествами группы $H$ или элементами $G$ ; их воспринимают как элементы нового множества; это частое заблуждение. Более того, факторгруппа далеко не всегда как-то естественно вкладывается хотя бы в исходную группу.

Пример (факторгруппы).

В $Z$ есть подгруппа $n Z$ чисел, делящихся на $n$ . Что будет, если отфакторизовать? Левый класс смежности здесь: взять число и прибавить все числа, делящиеся на $n$ : это в точности класс вычетов по модулю $n$ , и операция на классах – та же, что на остатках, просто по построению. Так что $Z / n Z$ – это факторгруппа $Z$ по $n Z$ , и обозначение с прошлой лекции возникло неспроста: это фактор.
$S_{n} / A_{n}$ : подгруппа нормальна как подгруппа индекса $2$ , фактор – группа из двух элементов, а такая единственная: $Z /2 Z$ .

Теорема о гомоморфизме

Теорема (Теорема о гомоморфизме). Пусть $f : G \to H$ – гомоморфизм. Тогда:

$Ker f$ – нормальная подгруппа в $G$ ;
$G / Ker f ≅ Im f$ , причём канонически.

«Канонически» – плохо определяемое слово; в целом оно значит «естественно, не зависит ни от каких выборов»: мы построим отображение, и будет видно, что оно естественное. (Знак изоморфизма, с двумя чёрточками или с одной, значения не имеет.)

Доказательство. Пункт 1. Проверим третье условие нормальности: $g Ker f g^{- 1} \subset Ker f$ для любого $g$ . Возьмём $k \in Ker f$ и применим $f$ к $g k g^{- 1}$ ; $f$ – гомоморфизм, раскроем скобки:

f (g k g^{- 1}) = f (g) f (k) f (g)^{- 1} = f (g) e_{H} f (g)^{- 1} = e_{H},

потому что $k$ лежит в ядре, а $f (g^{- 1}) = f (g)^{- 1}$ . Включение есть, подгруппа нормальна.

Пункт 2. Возьмём класс смежности $g Ker f$ . Все его элементы переходят при $f$ в одно и то же: для $k \in Ker f$ имеем $f (g k) = f (g) f (k) = f (g)$ . Нам нужно отображение из классов смежности в $H$ ; логично сопоставить классу этот общий образ:

\tilde{f} : G / Ker f \to Im f, \tilde{f} (g Ker f) := f (g) .

Корректность мы только что увидели. Гомоморфизм: класс $g_{1} g_{2} Ker f$ переходит в $f (g_{1} g_{2}) = f (g_{1}) f (g_{2})$ , а это по определению $\tilde{f} (g_{1} Ker f) \tilde{f} (g_{2} Ker f)$ , одно и то же; $\tilde{f}$ уважает операцию из-за того, как построен, и из-за того, что $f$ был гомоморфизмом. Биективность: сюръективность: образ $\tilde{f}$ по определению совпадает с образом $f$ , а отображение на образ всегда сюръективно; инъективность: в нейтральный элемент переходит только тривиальный класс, само ядро, просто по определению ядра. Инъективность и сюръективность – непосредственные следствия определений ядра и образа, и всё.

Пример (теорема о гомоморфизме).

$Z \to Z / n Z$ , взятие числа по модулю: ядро $n Z$ , и теорема говорит, что $Z / n Z$ – фактор по $n Z$ , как мы и видели.
$sgn : S_{n} \to Z /2 Z$ сюръективен, ядро – $A_{n}$ : ещё раз получаем $S_{n} / A_{n} ≅ Z /2 Z$ .
В $D_{n}$ , группе симметрий правильного $n$ -угольника, есть циклическая подгруппа $Z_{n}$ из всех поворотов. Она нормальна как подгруппа индекса $2$ : есть $n$ поворотов и $n$ осевых симметрий, повороты составляют ровно половину; или потому, что повороты сохраняют ориентацию, а симметрии нет, и сопряжение сохраняет сохранение ориентации. Фактор $D_{n} / Z_{n} ≅ Z /2 Z$ .

Сопряжённость, центр, действие

Время более-менее кончилось; напоследок ещё пара определений, в том числе чтобы можно было решать последние задачи из листочка.

Определение (Сопряжённые элементы). Элементы $g_{1}, g_{2} \in G$ сопряжены, если существует $g \in G$ такой, что $g_{1} = g g_{2} g^{- 1}$ .

Это отношение эквивалентности: если $g_{1}$ сопряжён $g_{2}$ , то $g_{2}$ сопряжён $g_{1}$ ; если $g_{1}$ сопряжён $g_{2}$ , а $g_{2}$ – $g_{3}$ , то $g_{1}$ сопряжён $g_{3}$ . Группа разбивается на непересекающиеся классы сопряжённых элементов, в каждом из которых все элементы сопряжены друг другу. Какой класс у единичного элемента? Только он сам: подставляя единицу, $g$ и $g^{- 1}$ благополучно сокращаются. Когда класс элемента $g_{2}$ состоит только из него самого? Когда он коммутирует со всеми: тогда в $g g_{2} g^{- 1}$ можно переставить $g$ и $g_{2}$ местами, и остаётся $g_{2}$ . Например, в абелевой группе любой элемент коммутирует со всеми.

Определение (Центр). Центр группы $Z (G)$ – множество элементов, коммутирующих со всеми элементами группы.

Определение (Действие группы на множестве). Пусть $G$ – группа, $M$ – произвольное множество. $G$ действует на $M$ , если задано отображение $φ : G \to S (M)$ в группу взаимно однозначных отображений $M$ в себя такое, что

φ (g h) = φ (g) \circ φ (h), φ (e) = id_{M} .

Здесь $S (M)$ – группа биекций множества $M$ на себя, по аналогии с подстановками, только множество абсолютно произвольное. Из определения автоматически получается, что обратный элемент действует обратным отображением. Каждый элемент группы как-то преобразует $M$ , причём нейтральный элемент действует тождественно, а произведение – композицией. (Вопрос из зала о порядке множителей в композиции – обсудим потом.)

Зачем нужны действия на множествах? Чтобы изучать, например, группы автоморфизмов каких-нибудь объектов. Задача: доказать, что группа вращений куба – это $S_{4}$ . Найдите те четыре объекта, которые группа вращений куба переставляет, и докажите, что это даёт изоморфизм.

Related works