Алгебра 2, Листок 1

Задача 1. $a^{\circ}$ ) Классифицируйте все полупрямые произведения $Z_{n}$ и $Z_{k}$ с точностью до изоморфизма.
$б^{\circ}$ ) Докажите, что $S_{n} ≃ A_{n} ⋊ Z_{2}$ и явно предъявите соответствующий гомоморфизм групп.
$в^{\circ}$ ) Пусть $V$ - векторное пространство над полем k . Пусть $A f f (V) = {φ ∣ φ (x) = A x + b, A \in G L (V), b \in V}$ - группа аффинных преобразований. Докажите, что $A f f (V) ≃ V \times G L (V)$ и явно предъявите соответствующий гомоморфизм групп.
г) Рассмотрим группу Гейзенберга $H_{p}$ строго верхнетреугольных матриц $3 \times 3$ над полем $F_{p}$ и для $p = \infty$ над кольцом $Z$ . Задайте $H_{p}$ образующими и соотношениями.
д) Докажите, что если $p \neq = \infty$ , то $H_{p} ≃ (F_{p})^{2} ⋊ (F_{p})$ и явно предъявите соответствующий гомоморфизм групп.
e) Верно ли, что $H_{\infty} ≃ Z^{2} ⋊ Z$ ? Если да, то явно предъявите соответствующий гомоморфизм групп.
ж) Рассмотрим группу $G$ и гомоморфизм $φ : G \to Aut (G), g \to Ad_{g}$ . Докажите, что $G ⋊_{φ} G ≃ G \times G$ .

3*) Пусть $Q_{8}$ - группа единичных кватернионов, $Z / n Z$ - группа вычетов порядка $n$ по сложению.
При каких $n$ существует единственное (с точностью до изоморфизма) полупрямое произведение $Q_{8} ⋊ Z / n Z ?$

Задача 2. $a^{\circ}$ ) Докажите, что любая группа порядка $p^{2}$ ( $p$ - простое) - абелева.
$σ^{\circ}$ ) Докажите, что любая группа порядка $pq$ ( $p, q$ - простые) - разрешима, причём не нильпотентна, если $p \neq = q$ .
$в^{\circ}$ ) Опишите с точностью до изоморфизма все группы порядка $pq (p, q$ - простые).
г) Для каких $n$ группа $D_{n}$ разрешима? нильпотентна?

Задача 3. Покажите, что следующие утверждения эквивалентны:
(1) Любая конечная группа нечётного порядка разрешима.
(2) Любая неабелева конечная простая группа имеет чётный порядок.

Задача 4. Докажите, что группы $P S L (2, F_{2})$ и $P S L (2, F_{3})$ - не являются простыми.

Related works