Алгебра-1. Семинар 2

Задача 1. а) Пусть $A$ и $B$ – абелевы группы. Рассмотрим множество гомоморфизмов $\mathrm{Hom}(A,B)$. Определим на этом множестве операцию $(\alpha +\beta )(x)=\alpha (x)+\beta (x)$. Докажите, что множество гомоморфизмов является группой относительно этой операции. б) Найдите группу $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ для $m,n\ge 0$.

Задача 2. Пусть дана цепочка подгрупп $F\subset H\subset G$ (необязательно нормальных). Покажите, что $(G:F)=(G:H)(H:F)$.

Задача 3. а) Пусть теперь $F\subset H\subset G$, причём $F$ и $H$ нормальны в $G$. Докажите, что $G/H\simeq (G/F)/(H/F)$ (в частности, все факторы имеют смысл). б) Можно ли ограничиться требованием того, что $F$ нормальна в $H$?

Задача 4. а) Придумайте группу $G$ и такие две её изоморфные подгруппы $G_1$ и $G_2$, что $G/G_1\not\simeq G/G_2$. б) Придумайте две неизоморфные группы, в которых есть изоморфные подгруппы с изоморфными факторами.

Задача 5. Докажите, что подстановки в $S_n$ сопряжены тогда и только тогда, когда у них одинаковый тип разложения в независимые циклы (т. е. длины циклов одинаковые).

Задача 6. Найдите классы сопряжённых элементов в группе $A_5$ (достаточно указать по одному представителю из класса).

Задача 7. Докажите, что при $n>2$, $n\ne 6$ имеется изоморфизм $\mathrm{Aut}(S_n)\simeq S_n$, и все автоморфизмы внутренние (указание: при автоморфизме классы сопряжённости переходят в классы сопряжённости. Куда может перейти класс транспозиций?).

Задача 8. Докажите, что группа вращений куба изоморфна $S_4$ (указание: рассмотреть действие на некоторых элементах куба), а группа симметрий куба изоморфна $S_4\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Задача 9. Постройте сюръективный гомоморфизм $S_4\to S_3$ и найдите его ядро.

Задача 10. Найдите порядок группы симметрий икосаэдра.

Задача 11. Найдите порядок группы автоморфизмов графа

Задача 12. Покажите, что этот граф можно построить таким образом: вершинами являются подмножества в $\{1,2,3,4,5\}$ из трёх элементов, а соединены ребром они тогда и только тогда, когда у них ровно один общий элемент. Пользуясь этим, найдите группу симметрий этого графа.