Квадратичные формы

Квадратичной формой от переменных $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ называется однородный многочлен второй степени — функция, не содержащая членов первой степени и свободного члена:

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = i = 1 \sum n a_{ii} x_{i}^{2} + 2 i < j \sum a_{ij} x_{i} x_{j} = a_{11} x_{1}^{2} + \dots + a_{nn} x_{n}^{2} + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + 2 a_{13} x_{1} x_{3} + \dots

Матрица квадратичной формы

Форме сопоставляется симметрическая матрица $A = (a_{ij})$ , $a_{ij} = a_{j i}$ : на диагонали стоят коэффициенты при квадратах, а коэффициент при $x_{i} x_{j}$ делится поровну между симметричными позициями $a_{ij}$ и $a_{j i}$ (поэтому в форме стоит множитель $2$ ). Тогда

f (X) = X^{T} A X, X = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T} .

Например, форме $f = 5 x_{1}^{2} + 6 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} + 2 x_{1} x_{3} - x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}$ отвечает матрица

A = 531 32 - \frac{1}{2} 1 - \frac{1}{2} 1

(коэффициент $6$ при $x_{1} x_{2}$ даёт $a_{12} = a_{21} = 3$ ; коэффициент $- 1$ при $x_{2} x_{3}$ даёт $a_{23} = a_{32} = - \frac{1}{2}$ ).

Знакоопределённость

Квадратичная форма (и её матрица) называется:

положительно определённой, если $f (X) > 0$ для всех $X \neq = 0$ ;
отрицательно определённой, если $f (X) < 0$ для всех $X \neq = 0$ ;
положительно (отрицательно) полуопределённой, если $f (X) \geq 0$ (соответственно $f (X) \leq 0$ ) для всех $X$ ;
неопределённой, если $f$ принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Критерий Сильвестра

Введём угловые (главные) миноры матрицы $A$ :

D_{1} = a_{11}, D_{2} = a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}, \dots, D_{n} = det A .

Теорема (Критерий Сильвестра).

Форма положительно определена $⟺$ все угловые миноры положительны:

D_{1} > 0, D_{2} > 0, \dots, D_{n} > 0.

Форма отрицательно определена $⟺$ знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса:

D_{1} < 0, D_{2} > 0, D_{3} < 0, D_{4} > 0, \dots ((- 1)^{k} D_{k} > 0) .

Пример (положительно определённая)

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2}, A = 210120003 .

Угловые миноры:

D_{1} = 2 > 0, D_{2} = 2112 = 3 > 0, D_{3} = det A = 3 \cdot 3 = 9 > 0.

Все положительны $\Rightarrow$ форма положительно определена. (Действительно, $f = (x_{1} + x_{2})^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} \geq 0$ , причём $= 0$ лишь в нуле.)

Пример (неопределённая)

f (x, y) = x^{2} + 4 x y + y^{2}, A = (1221) .

Здесь $D_{1} = 1 > 0$ , но $D_{2} = 1 - 4 = - 3 < 0$ , поэтому форма не является ни положительно, ни отрицательно определённой — она неопределённая. Это видно и напрямую: $f (1, 1) = 6 > 0$ , а $f (1, - 1) = - 2 < 0$ .

Связь с собственными значениями

Любую квадратичную форму ортогональным преобразованием координат (в базисе из собственных векторов симметрической матрицы $A$ ) можно привести к каноническому виду без смешанных произведений:

f = λ_{1} y_{1}^{2} + λ_{2} y_{2}^{2} + \dots + λ_{n} y_{n}^{2},

где $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ — собственные значения матрицы $A$ (все вещественные, так как $A$ симметрична). Отсюда второй критерий знакоопределённости:

форма положительно определена $⟺$ все $λ_{i} > 0$ ;
отрицательно определена $⟺$ все $λ_{i} < 0$ ;
неопределённа $⟺$ есть собственные значения разных знаков.

Применения

Квадратичные формы возникают повсюду: исследование знака второго дифференциала (матрица Гессе) при поиске экстремумов функций многих переменных; классификация кривых и поверхностей второго порядка; потенциальная энергия и энергия малых колебаний в физике; ковариационные матрицы в статистике.