Переход к новому базису

Координаты одного и того же вектора зависят от выбора базиса. Переход к новому базису — это правило пересчёта координат из одного базиса в другой; он часто упрощает вычисления (например, приводит матрицу оператора к диагональному виду).

Матрица перехода

Пусть в $n$ -мерном пространстве заданы два базиса:

«старый» $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ ,
«новый» $e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{n}^{'}$ .

Разложим каждый новый базисный вектор по старому базису:

e_{j}^{'} = c_{1 j} e_{1} + c_{2 j} e_{2} + \dots + c_{nj} e_{n}, j = 1, \dots, n .

Координаты новых векторов, записанные по столбцам, образуют матрицу перехода $C$ от старого базиса к новому:

C = c_{11} c_{21} ⋮ c_{n 1} c_{12} c_{22} ⋮ c_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots c_{1 n} c_{2 n} ⋮ c_{nn}, (e_{1}^{'} e_{2}^{'} \dots e_{n}^{'}) = (e_{1} e_{2} \dots e_{n}) C .

Так как новые базисные векторы линейно независимы, $det C \neq = 0$ , то есть матрица перехода обратима.

Преобразование координат

Пусть вектор $x$ имеет координаты $X = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}$ в старом базисе и $X^{'} = (x_{1}^{'}, \dots, x_{n}^{'})^{T}$ в новом. Тогда

X = C X^{'}, X^{'} = C^{- 1} X .

Вывод. Распишем $x$ через новый базис и подставим выражения $e_{j}^{'} = \sum_{i} c_{ij} e_{i}$ :

x = j \sum x_{j}^{'} e_{j}^{'} = j \sum x_{j}^{'} i \sum c_{ij} e_{i} = i \sum (j \sum c_{ij} x_{j}^{'}) e_{i} .

С другой стороны $x = \sum_{i} x_{i} e_{i}$ . В силу единственности разложения по базису координаты совпадают: $x_{i} = \sum_{j} c_{ij} x_{j}^{'}$ , то есть $X = C X^{'}$ . Умножая слева на $C^{- 1}$ , получаем $X^{'} = C^{- 1} X$ . $■$

Обратите внимание: столбцы матрицы $C$ — координаты новых векторов в старом базисе, но при этом она переводит новые координаты вектора в старые ( $X = C X^{'}$ ).

Пример

Старый базис — $\overset{ˉ}{i}, \overset{ˉ}{j}, \overset{ˉ}{k}$ . Новый базис задан векторами

\overset{a}{ˉ} = (5; 1; 3), \overset{ˉ}{b} = (0; 1; 2), \overset{c}{ˉ} = (- 1; 1; 1) .

Найдём координаты вектора $\overset{x}{ˉ} = (8; - 4; 12)$ в новом базисе.

Матрица перехода (новые векторы по столбцам) и её определитель:

C = 513012 - 1 11, det C = 5 (1 - 2) - 0 + (- 1) (2 - 3) = - 4 \neq = 0,

значит $\overset{a}{ˉ}, \overset{ˉ}{b}, \overset{c}{ˉ}$ действительно образуют базис. Вычислив обратную матрицу,

C^{- 1} = - \frac{1}{4} - 1 2 - 1 - 2 8 - 10 1 - 6 5,

находим новые координаты:

X^{'} = C^{- 1} X = - \frac{1}{4} - 1 2 - 1 - 2 8 - 10 1 - 6 5 8 - 4 12 = - \frac{1}{4} 12 - 88 92 = - 3 22 - 23 .

Ответ: $\overset{x}{ˉ} = - 3 \overset{a}{ˉ} + 22 \overset{ˉ}{b} - 23 \overset{c}{ˉ}$ (проверка: $- 3 \overset{a}{ˉ} + 22 \overset{ˉ}{b} - 23 \overset{c}{ˉ} = (8; - 4; 12)$ ).

Связь с матрицей линейного оператора

Та же матрица перехода $C$ связывает матрицы одного линейного оператора в двух базисах: если $A$ — матрица оператора в старом базисе, а $B$ — в новом, то

B = C^{- 1} A C

(см. Линейный оператор). Если оба базиса ортонормированы, матрица перехода $C$ ортогональна ( $C^{- 1} = C^{T}$ ).

Матрица перехода

Преобразование координат

Пример

Связь с матрицей линейного оператора

Related works