Линейный оператор

Определение. Отображение $φ : L \to L$ линейного пространства в себя называется линейным оператором, если для всех $\overline{x}, \overline{y} \in L$ и всех $λ \in R$ выполняются два условия:

аддитивность: $φ (\overline{x} + \overline{y}) = φ (\overline{x}) + φ (\overline{y})$ ;
однородность: $φ (λ \overline{x}) = λ φ (\overline{x})$ .

Вектор $φ (\overline{x})$ называют образом вектора $\overline{x}$ , а $\overline{x}$ — прообразом.

Замечание. Оба условия существенны. Само по себе «соответствие, сопоставляющее каждому вектору $\overline{x}$ некоторый вектор $φ (\overline{x})$ » задаёт произвольное отображение; линейным его делают именно аддитивность и однородность. Их можно объединить в одно условие: $φ (λ \overline{x} + μ \overline{y}) = λ φ (\overline{x}) + μ φ (\overline{y})$ .

Примеры: тождественный оператор $φ (\overline{x}) = \overline{x}$ ; нулевой оператор $φ (\overline{x}) = \overline{0}$ ; растяжение $φ (\overline{x}) = k \overline{x}$ ; поворот плоскости вокруг начала координат.

Матрица линейного оператора

Пусть $L$ — $n$ -мерное пространство с базисом $\overline{e}_{1}, \dots, \overline{e}_{n}$ . Разложим образы базисных векторов по этому же базису:

φ (\overline{e}_{j}) = a_{1 j} \overline{e}_{1} + a_{2 j} \overline{e}_{2} + \dots + a_{nj} \overline{e}_{n}, j = 1, \dots, n .

Коэффициенты этих разложений, записанные по столбцам, образуют матрицу линейного оператора в данном базисе:

A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} .

( $j$ -й столбец — координаты образа $φ (\overline{e}_{j})$ .)

Если $\overline{x} = x_{1} \overline{e}_{1} + \dots + x_{n} \overline{e}_{n}$ , то по линейности $φ (\overline{x}) = \sum_{j} x_{j} φ (\overline{e}_{j})$ ; приравнивая координаты, получаем, что в координатах оператор действует умножением на матрицу:

x_{1}^{'} ⋮ x_{n}^{'} = A x_{1} ⋮ x_{n}, где φ (\overline{x}) = x_{1}^{'} \overline{e}_{1} + \dots + x_{n}^{'} \overline{e}_{n} .

Замечание. Верно и обратное: если в $L_{n}$ зафиксирован базис, то любая квадратная матрица порядка $n$ является матрицей некоторого линейного оператора. Оператор $φ$ невырожден $⟺ det A \neq = 0$ .

Пример

Пусть $\overline{e}_{1}, \overline{e}_{2}, \overline{e}_{3}, \overline{e}_{4}$ — базис, и оператор задан образами:

φ (\overline{e}_{1}) = \overline{e}_{1} - \overline{e}_{2} + \overline{e}_{4}, φ (\overline{e}_{2}) = \overline{e}_{2} + 2 \overline{e}_{3}, φ (\overline{e}_{3}) = 2 \overline{e}_{1} - \overline{e}_{4}, φ (\overline{e}_{4}) = - \overline{e}_{1} - \overline{e}_{2} .

Записывая координаты образов по столбцам, получаем матрицу

A = 1 - 1 01 0120 200 - 1 - 1 - 1 00 .

Проверим невырожденность, разложив по третьей строке $(0, 2, 0, 0)$ :

det A = 2 \cdot (- 1)^{3 + 2} 1 - 1 1 20 - 1 - 1 - 1 0 = 2 \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 8 \neq = 0,

значит оператор $φ$ невырожден.

Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису

Теорема. Пусть $A$ и $B$ — матрицы одного и того же линейного оператора $φ$ в «старом» базисе $\overline{e}_{1}, \dots, \overline{e}_{n}$ и «новом» базисе $\overline{e}_{1}^{'}, \dots, \overline{e}_{n}^{'}$ , а $C$ — матрица перехода от старого базиса к новому. Тогда

B = C^{- 1} A C .

Доказательство. Координаты любого вектора в старом и новом базисах связаны равенством $\overline{x} = C \overline{x}^{'}$ . Пусть $\overline{y} = φ (\overline{x})$ ; тогда в старом базисе $\overline{y} = A \overline{x}$ , в новом $\overline{y}^{'} = B \overline{x}^{'}$ , и так же $\overline{y} = C \overline{y}^{'}$ . Подставим $\overline{x} = C \overline{x}^{'}$ , $\overline{y} = C \overline{y}^{'}$ в $\overline{y} = A \overline{x}$ :

C \overline{y}^{'} = A C \overline{x}^{'} \cdot C^{- 1} слева \overline{y}^{'} = C^{- 1} A C \overline{x}^{'} .

Сравнивая с $\overline{y}^{'} = B \overline{x}^{'}$ , получаем $B = C^{- 1} A C$ .

Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса:

det B = det (C^{- 1} A C) = \frac{1}{det C} \cdot det A \cdot det C = det A .

(Матрицы $A$ и $B = C^{- 1} A C$ называются подобными.)

Дальше

Для линейного оператора важны инвариантные направления — векторы, которые он лишь растягивает. Это собственные векторы и собственные значения, к которым переходим в следующей статье.

Матрица линейного оператора

Пример

Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису

Дальше

Related works