Базис, размерность, линейная оболочка

Эта статья продолжает Линейное (векторное) пространство: здесь вводятся линейная зависимость векторов, размерность, базис, координаты, подпространства и линейные оболочки.

Линейная зависимость векторов

Определение. Векторы $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ линейного пространства $L$ называются линейно зависимыми, если существуют числа $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ , не все равные нулю, такие что

λ_{1} a_{1} + λ_{2} a_{2} + \dots + λ_{k} a_{k} = 0 .

Если же это равенство возможно только при $λ_{1} = \dots = λ_{k} = 0$ , векторы линейно независимы.

Эквивалентно: векторы линейно зависимы $⟺$ хотя бы один из них есть линейная комбинация остальных (подробнее — в Линейная зависимость и независимость строк). В частности, любая система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Размерность

Определение. Линейное пространство $L$ называется $n$ -мерным, если в нём существует $n$ линейно независимых векторов, а любые $n + 1$ векторов уже линейно зависимы. Число $n$ называется размерностью и обозначается $dim L = n$ .

Примеры: $dim R^{n} = n$ ; пространство многочленов $dim P_{n} = n + 1$ ; пространство непрерывных функций $dim C [a; b] = \infty$ (бесконечномерно).

Базис и координаты

Определение. Базисом $n$ -мерного пространства $L$ называется любая упорядоченная система из $n$ линейно независимых векторов $e_{1}, \dots, e_{n}$ .

Теорема. Каждый вектор $x \in L$ единственным образом разлагается по базису:

x = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + \dots + x_{n} e_{n} .

Числа $x_{1}, \dots, x_{n}$ называются координатами вектора $x$ в базисе ${e_{i}}$ .

Доказательство. (единственность) Пусть $x = \sum x_{i} e_{i} = \sum x_{i}^{'} e_{i}$ . Вычитая, получаем $\sum (x_{i} - x_{i}^{'}) e_{i} = 0$ ; в силу линейной независимости базиса все $x_{i} - x_{i}^{'} = 0$ , то есть $x_{i} = x_{i}^{'}$ .

Теорема (критерий базиса). Если $e_{1}, \dots, e_{n}$ линейно независимы и любой вектор пространства есть их линейная комбинация, то это базис.

Примеры базисов: стандартный базис $e_{i} = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ в $R^{n}$ ; одночлены $1, x, x^{2}, \dots, x^{n}$ в $P_{n}$ . Переход между базисами описывается матрицей перехода.

Подпространство

Определение. Непустое подмножество $L_{1} \subseteq L$ называется подпространством, если оно замкнуто относительно операций:

$\forall x, y \in L_{1} : x + y \in L_{1}$ ;
$\forall x \in L_{1}, \forall λ \in R : λ x \in L_{1}$ .

Теорема. Этих двух условий достаточно: остальные аксиомы линейного пространства выполняются автоматически. В частности, $0 = 0 \cdot x \in L_{1}$ и $- x = (- 1) \cdot x \in L_{1}$ . При этом $dim L_{1} \leq dim L$ .

Примеры подпространств: нулевое подпространство ${0}$ ; множество решений однородной СЛАУ; любая плоскость или прямая, проходящая через начало координат, в $R^{3}$ .

Линейная оболочка

Определение. Линейной оболочкой системы векторов $a_{1}, \dots, a_{k}$ называется множество всех их линейных комбинаций:

V = span (a_{1}, \dots, a_{k}) = {λ_{1} a_{1} + \dots + λ_{k} a_{k} ∣ λ_{i} \in R} .

Теорема. Линейная оболочка $V$ — подпространство пространства $L$ .

Доказательство. Если $x = \sum α_{i} a_{i}$ и $y = \sum β_{i} a_{i}$ принадлежат $V$ , то $x + y = \sum (α_{i} + β_{i}) a_{i} \in V$ и $λ x = \sum (λ α_{i}) a_{i} \in V$ . Оба условия замкнутости выполнены.

Говорят, что $V$ порождено (натянуто на) векторами $a_{1}, \dots, a_{k}$ . Само пространство есть линейная оболочка своего базиса. Размерность линейной оболочки равна рангу системы порождающих векторов — максимальному числу линейно независимых среди них.

Пример

В $L = R^{4}$ найдём $dim V$ и базис оболочки $V$ , натянутой на

a_{1} = (0; - 1; 2; 0), a_{2} = (1; 0; 2; - 1), a_{3} = (1; - 2; 6; - 1) .

Запишем векторы строками и приведём к ступенчатому виду:

011 - 1 0 - 2 226 0 - 1 - 1 R_{1} \leftrightarrow R_{2} 101 0 - 1 - 2 226 - 1 0 - 1 R_{3} - R_{1} R_{3} - 2 R_{2} 100 0 - 1 0 220 - 1 00 .

Осталось 2 ненулевые строки, значит ранг системы равен $2$ .

Ответ: $dim V = 2$ ; базис оболочки — например, ${(1, 0, 2, - 1), (0, - 1, 2, 0)}$ . Третий вектор оказался лишним: $a_{3} = 2 a_{1} + a_{2}$ .