Линейное (векторное) пространство

Определение. Пусть множество $L$ , элементы которого $x_{1}, x_{2}, \dots$ имеют произвольную природу, снабжено двумя операциями:

сложением: $x + y \in L$ при $x, y \in L$ ,
умножением на скаляр: $λ x \in L$ при $x \in L, λ \in K$ ,

и эти операции удовлетворяют следующим аксиомам линейного (векторного) пространства над полем $K$ :

А. Замкнутость

$\forall x, y \in L : x + y \in L$
$\forall x \in L, \forall λ \in K : λ x \in L$

B. Линейные аксиомы

Коммутативность сложения: $x + y = y + x$
Ассоциативность сложения: $(x + y) + z = x + (y + z)$
Нулевой элемент: $\exists 0 \in L : x + 0 = x$
Противоположный элемент: $\forall x \in L \exists (- x) \in L : x + (- x) = 0$
Дистрибутивность по векторам: $λ (x + y) = λ x + λ y$
Дистрибутивность по скалярам: $(λ + μ) x = λ x + μx$
Ассоциативность умножения на скаляр: $λ (μx) = (λ μ) x$
Множитель $1$ не изменяет вектор: $1 \cdot x = x$

Замечания

Элементы $x, y, z \in L$ называются векторами (какова бы ни была их природа).
Поле $K$ определяет тип пространства: $K = R$ — действительное векторное пространство, $K = C$ — комплексное. В общем случае говорят: векторное пространство над $K$ .

Свойства

1. Нулевой элемент единственен. Пусть $0_{1}, 0_{2} \in L$ — два «нулевых» элемента. Тогда

0_{1} = 0_{1} + 0_{2} = 0_{2}

(первое равенство — потому что $0_{2}$ нуль, второе — потому что $0_{1}$ нуль). Значит, $0_{1} = 0_{2}$ .

2. Противоположный элемент единственен, причём $(- 1) \cdot x = - x$ .

Примеры линейных пространств

$V_{1}$ — геометрические векторы на плоскости; $V_{2}$ — геометрические векторы в пространстве.
$R^{n}$ — упорядоченные наборы из $n$ действительных чисел $(x_{1}, \dots, x_{n})$ с покоординатными операциями:

x + y = (x_{1} + y_{1}, \dots, x_{n} + y_{n}), λ x = (λ x_{1}, \dots, λ x_{n}) .

Это $n$ -мерное линейное пространство над $R$ (аналогично $C^{n}$ над $C$ ). 3. $P_{n} (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}$ — многочлены степени не выше $n$ . Коэффициенты $(a_{0}, \dots, a_{n})$ ведут себя как векторы $R^{n + 1}$ , поэтому $dim P_{n} = n + 1$ . 4. Множество всех решений однородной СЛАУ $A X = O$ . Если $X_{1}, X_{2}$ — решения и $λ \in R$ , то $A (X_{1} + X_{2}) = O$ и $A (λ X_{1}) = O$ , то есть сумма и скалярное кратное снова решения; остальные аксиомы наследуются из $R^{n}$ . 5. Множество всех матриц фиксированного размера $m \times n$ (с поэлементными операциями). 6. Множество всех непрерывных функций на отрезке $C [a; b]$ : сумма непрерывных функций и произведение на число снова непрерывны. Это бесконечномерное пространство.

Множества, которые не являются линейными пространствами

Множество многочленов степени ровно $n$ ( $n \geq 1$ ) линейным пространством не является: в нём нет нулевого элемента, и оно не замкнуто относительно сложения — сумма двух многочленов степени $n$ может иметь меньшую степень. Например, при $n = 3$ :

P (x) = x^{3} + 2 x, Q (x) = - x^{3} + 4, P (x) + Q (x) = 2 x + 4

— многочлен 1-й степени. Аксиома замкнутости (1) нарушена.

Аналогично не являются линейными пространствами множества, не содержащие нулевого вектора или не замкнутые относительно операций (например, векторы в $R^{2}$ с неотрицательными координатами — нет противоположных элементов).

Дальше

Понятия линейной зависимости векторов, базиса, размерности и линейной оболочки в произвольном линейном пространстве разобраны в статье Базис, размерность, линейная оболочка.