Системы линейных уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) размера $m \times n$ называется система вида

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \dots a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{m}

где $a_{ij}$ — коэффициенты, $x_{j}$ — неизвестные ( $j = \overline{1, n}$ ), $b_{i}$ — свободные члены ( $i = \overline{1, m}$ ).

В матричной форме система записывается как

A X = B, A = a_{11} ⋮ a_{m 1} \dots ⋱ \dots a_{1 n} ⋮ a_{mn}, X = x_{1} ⋮ x_{n}, B = b_{1} ⋮ b_{m},

где $A$ — основная матрица системы. Приписав к ней столбец свободных членов, получим расширенную матрицу $\overline{A} = (A ∣ B)$ .

Совместность и определённость

Определение. Решением системы называется набор $x_{1} = β_{1}, \dots, x_{n} = β_{n}$ , обращающий все уравнения в верные равенства.

Определение. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной — если решений нет. Совместная система называется определённой, если решение единственно, и неопределённой, если решений больше одного (тогда их бесконечно много).

Критерий совместности (теорема Кронекера–Капелли)

Теорема (Кронекера–Капелли). СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной:

r (A) = r (\overline{A}) .

Идея: если при приведении расширенной матрицы к ступенчатому виду появляется строка $(00 \dots 0 ∣ β)$ с $β \neq = 0$ , то $r (\overline{A}) > r (A)$ — система несовместна (получили уравнение $0 = β$ ).

Если система совместна, обозначим $r = r (A) = r (\overline{A})$ . Выделим базисный минор порядка $r$ ; соответствующие $r$ неизвестных назовём базисными, а остальные $k = n - r$ — свободными. Возможны два случая:

$r = n$ — свободных неизвестных нет, решение единственно: система определённая.
$r < n$ — свободным неизвестным можно придавать любые значения, выражая через них базисные: система неопределённая (бесконечно много решений с $k = n - r$ свободными параметрами).

Схема исследования СЛАУ

r (A) \neq = r (\overline{A}) \Rightarrow несовместна; r (A) = r (\overline{A}) = n \Rightarrow совместна, определённая (единственное решение); r (A) = r (\overline{A}) < n \Rightarrow совместна, неопределённая (\infty решений).

Практические способы решения — метод Крамера и метод Гаусса. В частности, при $m = n$ и $det A \neq = 0$ система определённая и $X = A^{- 1} B$ .

Однородные системы (ОСЛАУ)

Определение. СЛАУ называется однородной, если все свободные члены равны нулю: $A X = O$ .

Однородная система всегда совместна — у неё есть тривиальное (нулевое) решение $x_{1} = \dots = x_{n} = 0$ . Вопрос лишь в том, есть ли ненулевые решения.

Теорема. ОСЛАУ имеет ненулевое решение $⟺ r (A) < n$ . В частности, если уравнений меньше, чем неизвестных ( $m < n$ ), то $r \leq m < n$ — ненулевые решения есть всегда.

Следствие. Для квадратной системы $n \times n$ : ОСЛАУ имеет ненулевое решение $⟺ det A = 0$ .

Пример. Имеет ли ненулевые решения система

⎩ ⎨ ⎧ 2 x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0 x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} = 0 x_{2} + x_{3} = 0 ?

Δ = 210 - 1 11 1 - 3 1 = 10 \neq = 0,

значит $r (A) = 3 = n$ , и система имеет только тривиальное решение.

Структура решений и ФСР

Множество всех решений однородной системы $A X = O$ образует линейное пространство размерности $k = n - r$ .

Определение. Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется любой набор из $k = n - r$ линейно независимых её решений. Через ФСР $E_{1}, \dots, E_{k}$ выражается любое решение:

X = C_{1} E_{1} + C_{2} E_{2} + \dots + C_{k} E_{k}, C_{i} \in R .

Связь с неоднородной системой. Общее решение совместной неоднородной системы $A X = B$ есть сумма какого-либо её частного решения $X_{0}$ и общего решения соответствующей однородной системы:

X = X_{0} + (C_{1} E_{1} + \dots + C_{k} E_{k}) .

Совместность и определённость

Критерий совместности (теорема Кронекера–Капелли)

Схема исследования СЛАУ

Однородные системы (ОСЛАУ)

Структура решений и ФСР

Related works