Линейная зависимость и независимость строк

Пусть $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{p}$ — строки матрицы $A_{m \times n}$ (их можно складывать и умножать на число как обычные векторы-строки).

Определение. Говорят, что строка $α_{p}$ линейно выражается через строки $α_{1}, \dots, α_{p - 1}$ (является их линейной комбинацией), если существуют числа $c_{1}, \dots, c_{p - 1} \in R$ такие, что

α_{p} = c_{1} α_{1} + c_{2} α_{2} + \dots + c_{p - 1} α_{p - 1} .

Определение. Строки $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{p}$ называются линейно зависимыми, если существуют коэффициенты $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{p}$ , не все равные нулю (т.е. $k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + \dots + k_{p}^{2} \neq = 0$ ), такие что

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{p} α_{p} = 0, (1)

где $0$ — нулевая строка. Если же равенство (1) возможно только при $k_{1} = k_{2} = \dots = k_{p} = 0$ , строки называются линейно независимыми.

Эквивалентность двух понятий

Теорема. Строки линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них линейно выражается через остальные.

Доказательство. ( $\Leftarrow$ ) Пусть $α_{p} = c_{1} α_{1} + \dots + c_{p - 1} α_{p - 1}$ . Перенесём всё в одну часть:

c_{1} α_{1} + \dots + c_{p - 1} α_{p - 1} - α_{p} = 0.

Это соотношение вида (1) с коэффициентами $k_{1} = c_{1}, \dots, k_{p - 1} = c_{p - 1}, k_{p} = - 1 \neq = 0$ — не все нули. Значит, строки линейно зависимы.

( $\Rightarrow$ ) Пусть выполнено (1) и, например, $k_{p} \neq = 0$ . Тогда

α_{p} = - \frac{k _{1}}{k _{p}} α_{1} - \frac{k _{2}}{k _{p}} α_{2} - \dots - \frac{k _{p - 1}}{k _{p}} α_{p - 1},

то есть $α_{p}$ выражается через остальные.

Простейшие свойства

Система, содержащая нулевую строку, линейно зависима (возьмём при нулевой строке коэффициент $1$ , остальные $0$ ).
Система, содержащая две равные или пропорциональные строки, линейно зависима.
Если часть строк линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Связь с рангом

Теорема. Если $r (A) = k$ , то в матрице $A$ найдётся $k$ линейно независимых строк, через которые линейно выражаются все остальные строки.

Иначе говоря, ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк (и, в силу инвариантности ранга при транспонировании, столбцов). В частности, для квадратной матрицы порядка $n$ строки линейно независимы $⟺ r (A) = n ⟺ det A \neq = 0$ (см. Ранг матрицы и Свойства определителей).

Пример

Выясним, линейно ли зависимы строки (векторы)

α_{1} = (2, - 1, 1), α_{2} = (1, 2, - 1), α_{3} = (3, - 4, 3) .

Составим линейную комбинацию и приравняем нулевой строке: $λ_{1} α_{1} + λ_{2} α_{2} + λ_{3} α_{3} = 0$ . Покоординатно это однородная система

⎩ ⎨ ⎧ 2 λ_{1} + λ_{2} + 3 λ_{3} = 0, - λ_{1} + 2 λ_{2} - 4 λ_{3} = 0, λ_{1} - λ_{2} + 3 λ_{3} = 0.

Метод Гаусса приводит её к виду

100010 2 - 1 0 ∣ ∣ ∣ 000 \Rightarrow λ_{1} λ_{2} λ_{3} = C - 2 11, C \in R .

Есть ненулевые решения, значит строки линейно зависимы. Взяв $C = 1$ , получаем соотношение $- 2 α_{1} + α_{2} + α_{3} = 0$ , то есть $α_{3} = 2 α_{1} - α_{2}$ .

То же видно по определителю матрицы из этих строк:

213 - 1 2 - 4 1 - 1 3 = 0,

а равенство определителя нулю как раз означает линейную зависимость строк (ранг меньше $3$ ).

Эквивалентность двух понятий

Простейшие свойства

Связь с рангом

Пример

Related works