Ранг матрицы

Миноры и ранг

Рассмотрим матрицу $A_{m \times n}$ . Выберем в ней произвольные $k$ строк и $k$ столбцов ( $1 \leq k \leq min (m, n)$ ). Элементы, стоящие на пересечении, образуют квадратную матрицу порядка $k$ .

Определение. Минором $k$ -го порядка матрицы $A$ называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выбранных $k$ строк и $k$ столбцов.

Например, для матрицы $3 \times 3$ миноры 2-го порядка получаются вычёркиванием одной строки и одного столбца:

a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}, a_{12} a_{22} a_{13} a_{23}, \dots

Определение. Рангом матрицы $A$ называется наибольший порядок её минора, отличного от нуля. Обозначения: $r (A)$ , $rang A$ , $r$ .

Замечания

$r (A) = 0 ⟺ A = O$ (нулевая матрица).
$r (A) = k$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:
- (a) существует минор порядка $k$ , отличный от нуля ( $\exists M_{k} \neq = 0$ );
- (b) все миноры порядка $k + 1$ равны нулю (или не существуют).

Ранг ступенчатой матрицы

Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк (числу «ступенек»).

Доказательство. Пусть в ступенчатой матрице $k$ ненулевых строк с ведущими элементами $a_{i_{1} j_{1}}, a_{i_{2} j_{2}}, \dots, a_{i_{k} j_{k}}$ . Минор, составленный из этих строк и столбцов $j_{1}, \dots, j_{k}$ , треугольный, и его определитель

a_{i_{1} j_{1}} 0 ⋮ 0 * a_{i_{2} j_{2}} 0 \dots \dots ⋱ \dots * * ⋮ a_{i_{k} j_{k}} = a_{i_{1} j_{1}} a_{i_{2} j_{2}} \dots a_{i_{k} j_{k}} \neq = 0.

Любой минор большего порядка содержит нулевую строку, поэтому равен нулю. Значит $r (A) = k$ .

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Теорема. При элементарных преобразованиях строк (и столбцов) ранг матрицы не меняется.

Напомним элементарные преобразования строк: (1) умножение строки на число $λ \neq = 0$ ; (2) перестановка двух строк; (3) прибавление к одной строке другой, умноженной на число.

Доказательство. Для преобразования 3-го типа; для 1-го и 2-го — из свойств определителя. Пусть $B$ получена из $A$ прибавлением к $i$ -й строке $j$ -й, умноженной на $λ$ , и пусть $r (A) = k$ . Возьмём в $B$ произвольный минор $D$ порядка выше $k$ и покажем, что $D = 0$ . Возможны три случая:

$D$ не содержит изменённую $i$ -ю строку — тогда $D$ совпадает с минором матрицы $A$ , значит $D = 0$ .
$D$ содержит и $i$ -ю, и $j$ -ю строки — по линейности определителя добавка $λ \cdot (j - я строка)$ даёт минор с двумя пропорциональными строками, поэтому $D$ равен соответствующему минору $A$ , то есть $D = 0$ .
$D$ содержит $i$ -ю строку, но не $j$ -ю — тогда $D = D_{1} + λ D_{2}$ , где $D_{1}$ — минор $A$ , а $D_{2}$ — тоже минор $A$ (порядка выше $k$ ); оба равны нулю, значит $D = 0$ .

Итак, $r (B) \leq r (A)$ . Поскольку преобразование обратимо (можно вернуться из $B$ в $A$ ), аналогично $r (A) \leq r (B)$ . Следовательно, $r (A) = r (B)$ .

Замечание. То же верно и для преобразований столбцов: ранг сохраняется при элементарных преобразованиях как строк, так и столбцов.

Практическое вычисление ранга

Две предыдущие теоремы дают удобный способ: привести матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду и сосчитать число ненулевых строк.

Пример. Найдём ранг

A = 121241361 .

Преобразования $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ и $R_{3} \to R_{3} - R_{1}$ :

\to 100 20 - 1 30 - 2 R_{2} \leftrightarrow R_{3} 100 2 - 1 0 3 - 2 0 .

Две ненулевые строки $\Rightarrow r (A) = 2$ . (Вторая строка исходной матрицы пропорциональна первой, поэтому «обнулилась».)

Связь с линейной зависимостью и невырожденностью

Ранг равен максимальному числу линейно независимых строк (а также столбцов) матрицы — см. Линейная зависимость и независимость строк. В частности, для квадратной матрицы $A$ порядка $n$ :

r (A) = n ⟺ det A \neq = 0 ⟺ A невырождена (обратима).

Если же $r (A) < n$ , то строки линейно зависимы и $det A = 0$ .