Обратные матрицы

Определение. Квадратная матрица $A$ называется невырожденной, если $det A \neq = 0$ , и вырожденной (иногда сингулярной), если $det A = 0$ .

Обратная матрица

Определение. Матрица $A^{- 1}$ называется обратной к квадратной матрице $A$ , если

A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = E .

Матрицу $A$ , для которой существует $A^{- 1}$ , называют обратимой. Обратная матрица имеет тот же порядок, что и $A$ .

Теорема (единственность). Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство. Пусть $A$ имеет две обратные $A_{1}^{- 1}$ и $A_{2}^{- 1}$ . Тогда

A_{1}^{- 1} = A_{1}^{- 1} E = A_{1}^{- 1} (A A_{2}^{- 1}) = (A_{1}^{- 1} A) A_{2}^{- 1} = E A_{2}^{- 1} = A_{2}^{- 1} .

Критерий обратимости

Теорема (Критерий обратимости). Матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда она невырождена:

\exists A^{- 1} ⟺ det A \neq = 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть $A$ обратима. Из $A A^{- 1} = E$ получаем $det A \cdot det A^{- 1} = det E = 1$ , откуда $det A \neq = 0$ (и попутно $det A^{- 1} = \frac{1}{d e t A}$ ).

Достаточность. Если $det A \neq = 0$ , обратную матрицу даёт явная формула через присоединённую матрицу (ниже).

Присоединённая матрица и формула обратной

Определение. Присоединённой (союзной) матрицей $A$ называется транспонированная матрица из алгебраических дополнений элементов $A$ :

A = (A_{ij})^{T} = A_{11} A_{12} ⋮ A_{1 n} A_{21} A_{22} ⋮ A_{2 n} \dots \dots ⋱ \dots A_{n 1} A_{n 2} ⋮ A_{nn}

(обратите внимание на транспонирование: в позиции $(i, j)$ стоит $A_{j i}$ ).

Перемножив $A$ и $A$ и пользуясь теоремами 11 и 12 (разложение определителя и обнуление «чужих» дополнений), получаем

A \cdot A = A \cdot A = det A \cdot E .

Отсюда при $det A \neq = 0$ :

A^{- 1} = \frac{1}{det A} A .

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Вычислить $det A$ . Если $det A = 0$ — обратной матрицы нет; если $det A \neq = 0$ — она существует.
Найти все алгебраические дополнения $A_{ij}$ .
Составить матрицу из дополнений $B = (A_{ij})$ .
Транспонировать: присоединённая матрица $A = B^{T}$ .
Вычислить $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A$ .

Оценка трудоёмкости. Для матрицы $n \times n$ нужно вычислить $n^{2}$ алгебраических дополнений — миноров порядка $(n - 1)$ . Поэтому при больших $n$ этот способ дорог, и на практике обратную матрицу чаще ищут методом элементарных преобразований (ниже).

Формула для матрицы $2 \times 2$

Для $A = (a c b d)$ с $det A = a d - b c \neq = 0$ :

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a) .

Пример: $A = (2111)$ , $det A = 1$ , поэтому $A^{- 1} = (1 - 1 - 1 2)$ (проверка: $A A^{- 1} = E$ ).

Свойства обратной матрицы

$E^{- 1} = E$ (так как $E \cdot E = E$ ).
$det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A}$ .
$(A^{- 1})^{- 1} = A$ (из $A A^{- 1} = A^{- 1} A = E$ ).
$(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$ . Доказательство. $(A^{- 1})^{T} A^{T} = (A A^{- 1})^{T} = E^{T} = E$ и $A^{T} (A^{- 1})^{T} = (A^{- 1} A)^{T} = E$ .
$(A \cdot B)^{- 1} = B^{- 1} \cdot A^{- 1}$ (порядок меняется!). Доказательство. $(B^{- 1} A^{- 1}) (A B) = B^{- 1} (A^{- 1} A) B = B^{- 1} E B = E$ , и аналогично $(A B) (B^{- 1} A^{- 1}) = E$ .
$(λ A)^{- 1} = \frac{1}{λ} A^{- 1}$ при $λ \neq = 0$ .

Применение: матричные уравнения

Обратная матрица позволяет решать матричные уравнения. Пусть $det A \neq = 0$ .

Тип I: $A X = B$ — умножаем слева на $A^{- 1}$ :

A^{- 1} (A X) = A^{- 1} B \Rightarrow E X = A^{- 1} B \Rightarrow X = A^{- 1} B .

Тип II: $X A = B$ — умножаем справа на $A^{- 1}$ :

(X A) A^{- 1} = B A^{- 1} \Rightarrow X E = B A^{- 1} \Rightarrow X = B A^{- 1} .

Порядок умножения важен из-за некоммутативности: в типе I множитель слева, в типе II — справа.

Метод элементарных преобразований (Гаусса–Жордана)

Элементарными преобразованиями строк называются: (I) умножение строки на число $λ \neq = 0$ ; (II) перестановка двух строк; (III) прибавление к строке другой строки, умноженной на число. Каждое такое преобразование равносильно умножению слева на соответствующую матрицу элементарного преобразования.

Теорема. Любую невырожденную матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к единичной: $T_{k} \dots T_{2} T_{1} \cdot A = E$ . Обозначив $T = T_{k} \dots T_{1}$ , имеем $T A = E$ , то есть $T = A^{- 1}$ . Значит, те же преобразования, применённые к $E$ , дают $A^{- 1}$ .

На практике записывают расширенную матрицу $(A ∣ E)$ и преобразованиями строк приводят левую половину к $E$ :

(A ∣ E) элементарные преобразования строк (E ∣ A^{- 1}) .

Пример

A = 210 0 - 1 0 101, det A = 1 \cdot (- 1)^{3 + 3} 21 0 - 1 = - 2 \neq = 0 \Rightarrow \exists A^{- 1} .

210 0 - 1 0 101100010001 R_{1} \leftrightarrow R_{2} 120 - 1 00 011010100001 R_{2} - 2 R_{1} 100 - 1 20 011010 1 - 2 0 001

R_{2} \cdot \frac{1}{2} 100 - 1 10 0 \frac{1}{2} 1 0 \frac{1}{2} 0 1 - 1 0 001 R_{2} - \frac{1}{2} R_{3} R_{1} + R_{2} 100010001 \frac{1}{2} \frac{1}{2} 0 0 - 1 0 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} 1

\Rightarrow A^{- 1} = \frac{1}{2} \frac{1}{2} 0 0 - 1 0 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} 1 .

(Проверка: $A \cdot A^{- 1} = E$ .)

Related works