Свойства определителей

Здесь собраны основные свойства определителей с краткими обоснованиями. Они используются для упрощения вычислений (см. методы в статье Определитель) и в теории. Понятия минора и алгебраического дополнения, на которые мы опираемся, определены в статье Определитель.

Всюду $A$ — квадратная матрица порядка $n$ .

1. Определитель треугольной (диагональной) матрицы

Определитель треугольной или диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:

a_{11} 0 ⋮ 0 a_{12} a_{22} 0 \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} = a_{11} a_{22} \dots a_{nn} .

В частности, для единичной матрицы $det E = 1$ .

(Доказывается последовательным разложением по первому столбцу.)

2. Инвариантность при транспонировании

det (A^{T}) = det A .

Поэтому любое свойство, верное для строк определителя, верно и для столбцов (и наоборот). Ниже мы формулируем свойства для строк, подразумевая столбцы.

3. Перестановка двух строк

Если поменять местами две строки (столбца), определитель меняет знак:

det A^{'} = - det A .

4. Две одинаковые строки

Если у определителя есть две одинаковые строки (столбца), то $det A = 0$ .

Доказательство. Поменяем эти строки местами. С одной стороны, по свойству 3 определитель станет $- det A$ ; с другой — матрица не изменилась, значит он равен $det A$ . Из $det A = - det A$ следует $det A = 0$ .

5. Вынесение общего множителя

Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя:

λ a_{11} a_{21} ⋮ λ a_{12} a_{22} \dots \dots = λ a_{11} a_{21} ⋮ a_{12} a_{22} \dots \dots .

Следствие. При умножении всей матрицы на скаляр $λ$ множитель выносится из каждой из $n$ строк:

det (λ A) = λ^{n} det A .

6. Пропорциональные строки

Если две строки (столбца) пропорциональны, то $det A = 0$ (вынеся коэффициент пропорциональности по свойству 5, получаем две одинаковые строки — свойство 4).

7. Нулевая строка

Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то $det A = 0$ (это случай $λ = 0$ в свойстве 5; либо разложение по этой строке).

8. Линейность по строке

Если каждый элемент некоторой строки представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых в этой строке стоят соответственно первые и вторые слагаемые, а остальные строки те же:

a_{11} + b_{11} a_{21} a_{12} + b_{12} a_{22} = a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} + b_{11} a_{21} b_{12} a_{22} .

9. Прибавление к строке другой строки

Если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, определитель не изменится.

Доказательство. По свойству 8 новый определитель разбивается на исходный плюс определитель с двумя пропорциональными строками, который равен нулю (свойство 6).

Именно это свойство лежит в основе вычисления определителей методами понижения порядка и приведения к треугольному виду.

10. Определитель произведения

det (A \cdot B) = det A \cdot det B (A, B — квадратные одного порядка) .

Следствие. Для невырожденной матрицы $det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A}$ (так как $det (A^{- 1}) det A = det E = 1$ ).

11. Линейно зависимые строки

Если одна из строк (столбцов) является линейной комбинацией остальных, то $det A = 0$ . Это обобщение свойств 6 и 7; равносильно тому, что определитель равен нулю тогда и только тогда, когда строки матрицы линейно зависимы (то есть матрица вырождена) — см. Линейная зависимость и независимость строк.

Related works