Определитель через перестановки

В статье Определитель определитель задан рекуррентно — через разложение по строке. Здесь приводится равносильное прямое определение через перестановки, которое объясняет, откуда берутся знаки слагаемых и почему определитель порядка $n$ состоит из $n!$ членов.

Перестановки и инверсии

Рассмотрим $n$ различных чисел $1, 2, \dots, n$ . Любое их упорядочение $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ называется перестановкой. Всего перестановок $n!$ .

Определение. Пара элементов $α_{i}, α_{j}$ перестановки образует инверсию (беспорядок), если больший элемент стоит раньше меньшего, то есть

i < j, но α_{i} > α_{j} .

Число инверсий перестановки $σ$ обозначим $∣ σ ∣$ .

Пример. В перестановке $3, 1, 5, 7, 4, 2, 6$ инверсии образуют пары:

(3, 1), (3, 2); (5, 4), (5, 2); (7, 4), (7, 2), (7, 6); (4, 2),

итого $∣ σ ∣ = 2 + 2 + 3 + 1 = 8$ . В «естественной» перестановке $1, 2, \dots, n$ инверсий нет: $∣ σ ∣ = 0$ .

Определение. Перестановка называется чётной, если число инверсий $∣ σ ∣$ чётно, и нечётной, если оно нечётно. Знак перестановки определяют как $(- 1)^{∣ σ ∣}$ .

Транспозиция

Определение. Транспозицией называется операция, меняющая местами два элемента перестановки (остальные остаются на местах).

Теорема. Одна транспозиция меняет чётность перестановки на противоположную.

Доказательство. Сначала рассмотрим транспозицию соседних элементов $\dots α β \dots \to \dots β α \dots$ . Все пары, кроме самой пары $(α, β)$ , сохраняют взаимный порядок, а у этой пары наличие/отсутствие инверсии меняется на противоположное. Значит, число инверсий меняется на $\pm 1$ , и чётность переворачивается.

Транспозиция произвольных элементов, между которыми стоит $k$ других, сводится к нечётному числу соседних транспозиций: сдвигаем $α$ вправо на место $β$ ( $k + 1$ шаг), затем $β$ влево на исходное место $α$ ( $k$ шагов) — всего $2 k + 1$ соседних транспозиций. Каждая меняет чётность, а нечётное их число меняет итоговую чётность на противоположную.

Подстановкой $n$ -й степени называют взаимно однозначное отображение множества ${1, \dots, n}$ на себя; её записывают двустрочно $σ = (1 α_{1} 2 α_{2} \dots \dots n α_{n})$ , и её чётность совпадает с чётностью нижней перестановки.

Определение определителя

Определение. Определителем квадратной матрицы $A = (a_{ij})$ порядка $n$ называется алгебраическая сумма $n!$ слагаемых

det A = σ \sum (- 1)^{∣ σ ∣} a_{1 α_{1}} a_{2 α_{2}} \dots a_{n α_{n}},

где суммирование ведётся по всем перестановкам $σ = (α_{1}, \dots, α_{n})$ чисел $1, \dots, n$ . В каждом слагаемом берётся ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца; знак « $+$ » ставится для чётной перестановки, « $-$ » — для нечётной.

Согласование с малыми порядками

$n = 1$ : одна перестановка $(1)$ , $∣ σ ∣ = 0$ : $det = a_{11}$ .
$n = 2$ : перестановки $(1, 2)$ и $(2, 1)$ с $∣ σ ∣ = 0, 1$ :

det A = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} .

$n = 3$ : $3! = 6$ перестановок дают

det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}

— это в точности правило треугольников. Здесь чётным перестановкам $(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)$ отвечает знак « $+$ », нечётным $(2, 1, 3), (1, 3, 2), (3, 2, 1)$ — знак « $-$ ».

Пример: определение знака слагаемого

С каким знаком в определитель 7-го порядка входит произведение

a_{14} a_{26} a_{35} a_{41} a_{53} a_{67} a_{72} ?

Здесь по строкам $1, \dots, 7$ выбраны столбцы $4, 6, 5, 1, 3, 7, 2$ , то есть перестановка

σ = (14263541536772) .

Подсчёт инверсий нижней строки даёт $∣ σ ∣ = 12$ — чётное число, поэтому слагаемое входит со знаком « $+$ ».

Связь с рекуррентным определением

Прямое (через перестановки) и рекуррентное (через разложение по строке) определения равносильны: из формулы с перестановками выводятся и разложение Лапласа, и все свойства определителей. Прямое определение удобно для доказательств (например, свойства о смене знака при перестановке строк — это транспозиция, меняющая чётность), а рекуррентное — для вычислений.