Определитель

Определитель — это числовая характеристика квадратной матрицы, которая позволяет решать многие задачи линейной алгебры (обратимость матрицы, разрешимость систем, площади и объёмы). Геометрически определитель можно понимать как «коэффициент масштабирования», на который линейное преобразование изменяет площадь (объём).

Определитель матрицы $A$ обозначается $det A$ или $∣ A ∣$ .

Замечание. Строгое определение определителя порядка $n$ даётся через перестановки (как алгебраическая сумма $n!$ произведений со знаками) — см. статью Определитель через перестановки. Здесь мы пользуемся равносильным рекуррентным определением: определитель порядка $n$ выражается через определители порядка $n - 1$ (разложение по строке или столбцу).

Определители малых порядков

Порядок 1. $det (a_{11}) = a_{11}$ .

Порядок 2:

det A = a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} .

Пример: $3214 = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 10.$

Минор и алгебраическое дополнение

Эти понятия нужны для разложения определителя.

Определение. Минором $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ называется определитель порядка $n - 1$ , полученный из матрицы $A$ вычёркиванием $i$ -й строки и $j$ -го столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ называется его минор, взятый со знаком $(- 1)^{i + j}$ :

A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij} .

То есть $A_{ij} = M_{ij}$ , если $i + j$ чётно, и $A_{ij} = - M_{ij}$ , если $i + j$ нечётно.

Пример. Для

102 - 2 43 3 - 1 1

минор элемента $a_{23} = - 1$ есть $M_{23} = 12 - 2 3 = 3 - (- 4) = 7$ , а алгебраическое дополнение $A_{23} = (- 1)^{2 + 3} M_{23} = - 7$ .

Определитель 3-го порядка

Правило треугольников. Определитель $3 \times 3$ есть алгебраическая сумма шести произведений: три со знаком « $+$ » (главная диагональ и два «треугольника», параллельных ей) и три со знаком « $-$ » (побочная диагональ и два «треугольника», параллельных ей):

a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} .

Разложение по строке (столбцу). Тот же определитель можно вычислить, разложив его по первой строке (по алгебраическим дополнениям):

det A = a_{11} a_{22} a_{32} a_{23} a_{33} - a_{12} a_{21} a_{31} a_{23} a_{33} + a_{13} a_{21} a_{31} a_{22} a_{32} .

Пример вычисления

A = 247358169 .

Разложим по первой строке:

det A = 25869 - 34769 + 14758 .

5869 = - 3, 4769 = - 6, 4758 = - 3.

det A = 2 \cdot (- 3) - 3 \cdot (- 6) + 1 \cdot (- 3) = - 6 + 18 - 3 = 9.

Разложение определителя произвольного порядка

Теорема (11 (разложение Лапласа)). Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, разложение по $i$ -й строке:

det A = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{in} A_{in} = j = 1 \sum n a_{ij} A_{ij},

а разложение по $j$ -му столбцу:

det A = i = 1 \sum n a_{ij} A_{ij} .

Разложение удобно вести по той строке (столбцу), где больше нулей. Крайний случай:

Следствие. Если в строке (столбце) все элементы, кроме одного $a_{ij}$ , равны нулю, то

det A = a_{ij} A_{ij} .

Теорема 12. Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:

a_{i 1} A_{k 1} + a_{i 2} A_{k 2} + \dots + a_{in} A_{k n} = 0 (i \neq = k) .

(Теоремы 11 и 12 вместе равносильны равенству $A \cdot \tilde{A} = det A \cdot E$ , лежащему в основе формулы обратной матрицы.)

Методы вычисления определителей

Для матриц порядка выше $3$ прямые формулы громоздки, поэтому используют два приёма.

I. Метод понижения порядка

С помощью элементарных преобразований (прибавление к строке другой строки, умноженной на число — определитель при этом не меняется) обнуляют все элементы некоторого столбца, кроме одного, а затем раскладывают по этому столбцу.

Пример. В определителе

102 - 2 43 3 - 1 1

обнулим первый столбец, вычтя из третьей строки удвоенную первую ( $R_{3} \to R_{3} - 2 R_{1}$ ):

= 100 - 2 47 3 - 1 - 5 = 1 \cdot A_{11} = 1 \cdot 47 - 1 - 5 = 1 \cdot (4 \cdot (- 5) - (- 1) \cdot 7) = - 13.

II. Метод приведения к треугольному виду

Определитель приводят элементарными преобразованиями к треугольному виду; тогда он равен произведению диагональных элементов (с учётом знака от перестановок строк и вынесенных множителей).

Пример:

21 - 3 052 - 3 11 = R_{1} \leftrightarrow R_{2} - 12 - 3 502 1 - 3 1 = R_{2} - 2 R_{1} R_{3} + 3 R_{1} - 100 5 - 10 17 1 - 5 4 .

Далее $R_{3} \to R_{3} + \frac{17}{10} R_{2}$ даёт $a_{33} = 4 - \frac{17}{2} = - \frac{9}{2}$ :

= - 100 5 - 10 0 1 - 5 - \frac{9}{2} = - (1 \cdot (- 10) \cdot (- \frac{9}{2})) = - 45.

Свойства определителей

Определители обладают рядом свойств (определитель единичной и треугольной матрицы, поведение при транспонировании, перестановке строк, умножении на число, $det (A B) = det A \cdot det B$ и др.), которые систематически разобраны в отдельной статье Свойства определителей.

Related works