Свойства операций над матрицами

Пусть матрицы $A$ , $B$ , $C$ согласованы по размеру (там, где это требуется операцией), а $λ$ , $μ$ — произвольные числа (скаляры; в общем случае могут быть и комплексными). Ниже собраны основные свойства операций сложения, умножения на число, транспонирования и умножения матриц.

Сложение матриц

Для матриц одного размера:

Коммутативность: $A + B = B + A$
Ассоциативность: $A + (B + C) = (A + B) + C$
Нулевая матрица: $A + O = A$ , где $O$ — нулевая матрица той же размерности, что и $A$ .
Противоположная матрица: $A + (- A) = O$

Умножение на число

Единичный множитель: $1 \cdot A = A$
Ассоциативность: $λ (μ A) = (λ μ) A$
Дистрибутивность по скаляру: $(λ + μ) A = λ A + μ A$
Дистрибутивность по матрицам: $λ (A + B) = λ A + λ B$

Свойства 1–8 означают, что множество матриц фиксированного размера $m \times n$ образует линейное (векторное) пространство.

Транспонирование

Двойное транспонирование: $(A^{T})^{T} = A$
Транспонирование суммы: $(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$
Вынесение множителя: $(λ A)^{T} = λ A^{T}$
Транспонирование произведения (порядок меняется!): $(A \cdot B)^{T} = B^{T} \cdot A^{T}$

Умножение матриц

Ассоциативность: $A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$
Дистрибутивность слева: $A (B + C) = A B + A C$
Дистрибутивность справа: $(A + B) C = A C + B C$
Вынесение скаляра: $λ (A B) = (λ A) B = A (λ B)$ (если произведение $A B$ определено)
Единичная матрица — нейтральный элемент: $A E = A$ , $E A = A$ . В частности, для квадратной матрицы $A E = E A = A$ .

Замечание (некоммутативность). В общем случае $A \cdot B \neq = B \cdot A$ . Если же $A B = B A$ , то матрицы $A$ и $B$ называются перестановочными (коммутирующими). Например, любая квадратная матрица перестановочна с единичной и с самой собой.

Доказательство ассоциативности умножения (свойство 13)

Пусть $A = (a_{ij})_{m \times n}$ , $B = (b_{j k})_{n \times p}$ , $C = (c_{k l})_{p \times q}$ . Обозначим $F = (A B) C$ и $G = A (B C)$ .

1. Размеры совпадают.

(A_{m \times n} B_{n \times p}) C_{p \times q} = (A B)_{m \times p} C_{p \times q} = F_{m \times q},

A_{m \times n} (B_{n \times p} C_{p \times q}) = A_{m \times n} (B C)_{n \times q} = G_{m \times q} .

Обе матрицы имеют размер $m \times q$ .

2. Соответствующие элементы совпадают. По определению произведения,

F_{i l} = k = 1 \sum p (A B)_{ik} c_{k l} = k = 1 \sum p (j = 1 \sum n a_{ij} b_{j k}) c_{k l} = k = 1 \sum p j = 1 \sum n a_{ij} b_{j k} c_{k l} .

G_{i l} = j = 1 \sum n a_{ij} (B C)_{j l} = j = 1 \sum n a_{ij} (k = 1 \sum p b_{j k} c_{k l}) = j = 1 \sum n k = 1 \sum p a_{ij} b_{j k} c_{k l} .

Это одна и та же двойная сумма (порядок суммирования можно менять), поэтому $F_{i l} = G_{i l}$ для всех $i, l$ . Следовательно, $(A B) C = A (B C)$ . $■$

О связи определителя с операциями

Определитель согласован с умножением и транспонированием (доказательства см. в статье Свойства определителей):

det (A \cdot B) = det A \cdot det B, det (A^{T}) = det A .

В то же время с суммой определитель в общем случае не согласован: $det (A + B) \neq = det A + det B$ .