Основные операции над матрицами

Над матрицами определены операции сложения, умножения на число, транспонирования и умножения матриц. К ним примыкают производные операции — вычитание, возведение в степень и след матрицы.

Сложение матриц

Определение. Складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой матриц $A = (a_{ij})$ и $B = (b_{ij})$ размера $m \times n$ называется матрица $C = A + B$ того же размера, элементы которой

c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} .

Пример:

(1324) + (05 - 1 2) = (1816) .

Умножение матрицы на число

Определение. Произведением матрицы $A = (a_{ij})$ на число (скаляр) $λ$ называется матрица $λ A$ , у которой каждый элемент умножен на $λ$ :

λ \cdot A = λ a_{11} λ a_{21} ⋮ λ a_{m 1} λ a_{12} λ a_{22} ⋮ λ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots λ a_{1 n} λ a_{2 n} ⋮ λ a_{mn} .

Пример:

3 \cdot (10 - 2 4) = (30 - 6 12) .

Вычитание матриц

Вычитание определяется через сложение с противоположной матрицей:

A - B = A + (- 1) \cdot B, (A - B)_{ij} = a_{ij} - b_{ij} .

В сочетании со сложением и умножением на число это даёт линейную комбинацию матриц $λ A + μ B$ (одного размера).

Транспонирование матрицы

Определение. Транспонированием матрицы $A$ называется операция замены строк столбцами; результат обозначается $A^{T}$ . Если $A = (a_{ij})$ размера $m \times n$ , то $A^{T} = (a_{j i})$ размера $n \times m$ .

Пример:

A = (132405), A^{T} = 120345 .

(Свойства транспонирования см. в статье Свойства операций над матрицами.)

Умножение матриц

Определение. Произведение $A \cdot B$ определено, только если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (матрицы согласованы). Если $A$ — матрица $m \times n$ , а $B$ — матрица $n \times p$ , то результат $C = A \cdot B$ — матрица $m \times p$ , элемент которой есть «строка на столбец»: скалярное произведение $i$ -й строки матрицы $A$ и $j$ -го столбца матрицы $B$ :

c_{ij} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{k j} .

m \times n A \cdot n \times p B = m \times p C (внутренние размеры n должны совпасть) .

Общий вид для $2 \times 2$ :

A = (a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}), B = (b_{11} b_{21} b_{12} b_{22}),

C = A \cdot B = (a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22}) .

Числовой пример:

(1324) (5768) = (1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8) = (19432250) .

Пример с изменением размера ( $2 \times 3$ на $3 \times 2$ даёт $2 \times 2$ ):

(1 - 1 0321) 401120 = (6 - 3 15) .

Замечание. Умножение матриц некоммутативно: в общем случае $A \cdot B \neq = B \cdot A$ (более того, одно из произведений может быть не определено). Подробнее — в статье Свойства операций над матрицами.

Возведение в степень

Для квадратной матрицы $A$ определены целые неотрицательные степени:

A^{0} = E, A^{k} = k раз A \cdot A \dots A (k \in N) .

След матрицы

Определение. Следом квадратной матрицы $A_{n \times n}$ называется сумма элементов её главной диагонали:

tr A = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} = i = 1 \sum n a_{ii} .

Пример:

A = (2175), tr A = 2 + 5 = 7.

След линеен ( $tr (λ A + μ B) = λ tr A + μ tr B$ ) и обладает свойством цикличности $tr (A B) = tr (B A)$ . След пригодится при изучении собственных значений: он равен их сумме.

Сложение матриц

Умножение матрицы на число

Вычитание матриц

Транспонирование матрицы

Умножение матриц

Возведение в степень

След матрицы

Related works