Матрицы

Определение. Матрицей размера $m \times n$ называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов. Матрицы обозначают заглавными буквами латинского алфавита, при необходимости подписывая размерность: $A_{m \times n}$ . Элементы матрицы обозначают $a_{ij}$ , где $i$ — номер строки (пробегает значения от $1$ до $m$ ), а $j$ — номер столбца (пробегает значения от $1$ до $n$ ).

A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn}

Кратко пишут $A = (a_{ij})$ , $i = \overline{1, m}$ , $j = \overline{1, n}$ .

Пример матрицы размера $2 \times 3$ :

A = (1305 - 2 4), a_{11} = 1, a_{13} = - 2, a_{23} = 4.

Определение. Две матрицы $A = (a_{ij})$ и $B = (b_{ij})$ называются равными ( $A = B$ ), если они имеют одинаковый размер и все их соответствующие элементы совпадают: $a_{ij} = b_{ij}$ для всех $i, j$ .

Матрица-строка и матрица-столбец

Определение. Матрица размера $1 \times n$ называется матрицей-строкой (или просто строкой), а матрица размера $m \times 1$ — матрицей-столбцом (или просто столбцом).

(a_{1} a_{2} \dots a_{n}), b_{1} b_{2} ⋮ b_{m} .

Именно столбцы и строки в линейной алгебре играют роль векторов: одно получается из другого транспонированием.

Ступенчатая матрица

Определение. Матрица называется ступенчатой (имеющей ступенчатый, или «лестничный», вид), если выполнены два условия:

все нулевые строки (если они есть) расположены ниже всех ненулевых;
первый ненулевой элемент каждой ненулевой строки, начиная со второй, расположен строго правее первого ненулевого элемента предыдущей строки.

Первый ненулевой элемент строки называют ведущим (или угловым) элементом.

Пример ступенчатой матрицы (ведущие элементы выделены):

20001500 0 - 1 00 3470

Ступенчатый вид играет ключевую роль при вычислении ранга матрицы и решении систем линейных уравнений методом Гаусса.

Квадратная матрица

Определение. Матрица размера $n \times n$ называется квадратной матрицей $n$ -го порядка. Элементы $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ (с равными индексами) образуют главную диагональ, а элементы $a_{1 n}, a_{2, n - 1}, \dots, a_{n 1}$ — побочную диагональ.

A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn}

Треугольная матрица

Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все её элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Различают:

верхнюю треугольную матрицу — нулю равны все элементы под главной диагональю ( $a_{ij} = 0$ при $i > j$ );
нижнюю треугольную матрицу — нулю равны все элементы над главной диагональю ( $a_{ij} = 0$ при $i < j$ ).

(Сами элементы на главной диагонали и по нужную сторону от неё могут быть любыми — не обязательно ненулевыми.)

200140 - 3 57 (верхняя), 21 - 3 045007 (нижняя) .

Свойство. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали (см. Свойства определителей).

Диагональная матрица

Определение. Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю:

D = d_{1} 0 ⋮ 0 0 d_{2} ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ d_{n} = diag (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}) .

Диагональная матрица одновременно является и верхней, и нижней треугольной.

Единичная матрица

Определение. Единичная матрица $E_{n}$ — это диагональная матрица размера $n \times n$ , у которой все элементы главной диагонали равны $1$ :

E_{n} = 10 ⋮ 0 01 ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ 1 = diag (1, 1, \dots, 1) .

Обозначения: $E$ , $E_{n}$ , $I$ , $I_{n}$ . Единичная матрица играет роль нейтрального элемента при умножении матриц: $A \cdot E = A$ и $E \cdot A = A$ (при согласованных размерах).

Нулевая матрица

Определение. Нулевая матрица $O$ — это матрица, все элементы которой равны нулю.

O = 00 ⋮ 0 00 ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ 0

Нулевая матрица — нейтральный элемент при сложении: $A + O = A$ .

Симметрическая и кососимметрическая матрицы

Определение. Квадратная матрица $A$ называется симметрической, если $a_{ij} = a_{j i}$ для всех $i, j$ (то есть $A^{T} = A$ — матрица симметрична относительно главной диагонали).

A = 120 23 - 1 0 - 1 5, a_{ij} = a_{j i} .

Определение. Квадратная матрица $A$ называется кососимметрической (антисимметрической), если $a_{ij} = - a_{j i}$ для всех $i, j$ (то есть $A^{T} = - A$ ). В частности, все элементы её главной диагонали равны нулю.

A = 0 - 2 3 20 - 1 - 3 10, a_{ij} = - a_{j i} .

Симметрические матрицы особенно важны: к ним приводят квадратичные формы, и их собственные значения всегда вещественны.

Related works