Artem Avilov

Задачи семинара 2 курса «Алгебра-1» (А. А. Авилов, НМУ, осень 2026) от 14 сентября 2026 г. — гомоморфизмы групп, теорема о гомоморфизме, сопряжённые элементы, действия групп. Группа $\operatorname{Hom}(A, B)$ абелевых групп; мультипликативность индекса; третья теорема об изоморфизме; изоморфные подгруппы с неизоморфными факторами; сопряжённость в $S_n$ и тип разложения в циклы; классы сопряжённости $A_5$; $\operatorname{Aut}(S_n) = S_n$ при $n \ne 6$; группы вращений и симметрий куба; гомоморфизм $S_4 \to S_3$; группа симметрий икосаэдра; группа автоморфизмов графа Петерсена.

Задачи семинара 1 курса «Алгебра-1» (А. А. Авилов, НМУ, осень 2026) от 7 сентября 2026 г. — группы, нормальные подгруппы и факторы, симметрическая группа. Классификация групп порядка 3, 4, 6, 10; группы, в которых каждый элемент порядка 2; образующие и соотношения для $D_n$; конечная порождённость $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}^*$; центр, подгруппы и нормальные подгруппы $D_n$; прямые суммы; китайская теорема об остатках; циклы и типы разложения в $S_6$, порядки элементов $S_{10}$; порождающие $S_n$; внутренние автоморфизмы; группы автоморфизмов Z, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, $S_3$, $S_4$.

Порядок элемента и порядок группы, порядок подстановки как НОК длин циклов; порождающие и циклические группы; гомоморфизмы и изоморфизмы групп, классификация циклических групп; примеры — знак подстановки, обращение в абелевой группе, экспонента, определитель, $S_3$ и $D_3$; подгруппы, ядро и образ, критерий инъективности; левые и правые классы смежности, их разбиение; нормальные подгруппы и сопряжение, индекс, теорема Лагранжа, подгруппы индекса 2; факторгруппа; теорема о гомоморфизме с примерами; сопряжённые элементы, центр, действие группы на множестве.

Что изучает алгебра — алгебраические структуры. Группы (определение, примеры, аддитивная запись, единственность нейтрального и обратного), кольца (варианты аксиоматики, кольца с единицей и без), поля и тела, векторные пространства и модули, алгебры над полем. Симметрическая группа $S_n$ — подстановки, некоммутативность, табличная запись, циклы и транспозиции, разложение в произведение транспозиций, независимые подстановки коммутируют, разложение в произведение независимых циклов и его единственность, возведение в степень, инверсии, чётность и знак подстановки, умножение на транспозицию меняет знак.