Топология-2. Лекция 3

Смотреть на YouTube

Симплициальные гомологии мы ещё не раз вспомним, а сейчас наконец изучим то, что принято понимать под гомологиями: сингулярные гомологии топологических пространств. Это общепринятое понятие: они сопоставляются любому топологическому пространству, особенно хорошо ведут себя для клеточных комплексов и пространств, гомотопически эквивалентных им. Мы потихоньку начинаем изучать их теорию: будем доказывать про них теоремы, строго докажем гомотопическую инвариантность, поймём, как их вычислять.

Сингулярные цепи

Понадобятся некоторые конструкции со стандартными симплексами. Зафиксируем: $Δ^{n}$ есть самый стандартный симплекс, выпуклая оболочка совершенно конкретных точек $e_{0}, \dots, e_{n}$ в $R^{n + 1}$ , стандартном векторном пространстве с этими векторами в качестве базиса. Его вершины пронумерованы от $0$ до $n$ , поэтому для любого поднабора вершин есть выделенное вложение стандартного симплекса меньшей размерности в $Δ^{n}$ в качестве грани. Зафиксируем такие вложения для гиперграней.

Определение (Стандартное вложение гиперграни). Для $0 \leq i \leq n$ вложение $i$ -й гиперграни $δ_{i} : Δ^{n - 1} \to Δ^{n}$ – линейное отображение, переводящее $e_{0}, \dots, e_{n - 1}$ по порядку в $e_{0}, \dots, e_{i}, \dots, e_{n}$ :

e_{j} ⟼ {e_{j}, e_{j + 1}, j < i, j \geq i .

Его образ – выпуклая оболочка всех базисных векторов, кроме $e_{i}$ : гипергрань, стоящая напротив вершины $i$ .

Общее: если $I \subset {0, \dots, n}$ – подмножество мощности $k + 1$ , то, пронумеровав его элементы по возрастанию, получаем линейное отображение $Δ^{k} \to Δ^{n}$ , $e_{j} \mapsto e_{i_{j}}$ , гомеоморфизм $Δ^{k}$ на $k$ -мерную грань $Δ_{I}$ . Вложение гиперграни есть случай $I = {0, \dots, n} ∖ {i}$ : напротив вершины стоят все остальные, я упорядочиваю их по возрастанию и беру биекцию с вершинами $Δ^{n - 1}$ , сохраняющую порядок.

TikZ diagram — $Δ^{2}$ и его три гиперграни. Стрелка показывает, как вкладывается стандартный отрезок $Δ^{1}$ : от образа $e_{0}$ к образу $e_{1}$ . $δ_{0}$ – грань напротив вершины $0$ , $δ_{1}$ – напротив $1$ , $δ_{2}$ – напротив $2$ .

Определение (Сингулярный симплекс, сингулярные цепи). Сингулярный $n$ -мерный симплекс пространства $X$ – непрерывное отображение $σ : Δ^{n} \to X$ . Группа $n$ -мерных сингулярных цепей $C_{n} (X)$ – свободная абелева группа, порождённая множеством всех сингулярных $n$ -симплексов $X$ ; при $n < 0$ полагаем $C_{n} (X) = 0$ . Дифференциал $d : C_{n} (X) \to C_{n - 1} (X)$ задаётся на базисе:

d σ = i = 0 \sum n (- 1)^{i} σ \circ δ_{i} .

Гомологии комплекса $C_{∙} (X)$ называются сингулярными гомологиями пространства $X$ : $H_{n} (X) = H_{n} (C_{∙} (X))$ .

Слово «сингулярный» означает, что отображение может иметь особенности: оно не обязано быть гладким, может самопересекаться, отображается как угодно. Композиция $σ \circ δ_{i}$ – сингулярный симплекс размерности на один меньше, поэтому формула осмысленна. Иногда пишут подробнее, $σ ∣_{[e_{0}, \dots, e_{i}, \dots, e_{n}]}$ : ограничили $σ$ на гипергрань, натянутую на все вершины, кроме $i$ -й. Это надо понимать как неформальное обозначение: ограничение $σ$ на гипергрань – отображение из гиперграни в $X$ , а нужно отображение из стандартного симплекса $Δ^{n - 1}$ ; гипергрань стандартного $n$ -мерного симплекса – не то же самое, что стандартный $(n - 1)$ -мерный, и нужна ещё композиция со стандартным гомеоморфизмом между этими двумя выпуклыми множествами. Строгое определение – через $δ_{i}$ .

Как обычно, надо проверить, что получился цепной комплекс, но проверка такая же, как в прошлый раз, и я её замну. $d^{2} = 0$ следует из симплициальных тождеств: если взять вложение гиперграни, а потом ещё раз вложение гиперграни, получится то же, что если вытянуть сначала $i$ -ю вершину, а потом из того, что осталось, $j$ -ю с поправкой на сдвиг индекса; знаки меняются так, что всё сокращается. И так понятно: если знаки игнорировать и применить дифференциал дважды, получится сумма по всем граням коразмерности два, где каждая грань посчитана дважды; знаки подобраны так, чтобы эти пары сократились.

Замечание (важный дисклеймер). Сингулярный $1$ -симплекс – это, конечно, путь из одной точки в другую. Есть ещё противоположный путь, проходимый в обратном порядке. Интуитивно очень хочется сказать, что в группе цепей они противоположны. Нет: это просто разные базисные элементы $C_{1} (X)$ . Мы ни по какому отношению ориентации не факторизуем. Репараметризация пути даёт тоже другой базисный элемент. На уровне гомологий это приводит к одному и тому же, но почему, отдельная история: надо отображать какие-то треугольнички сообразно репараметризации. На уровне цепей это совершенно разные элементы очень большой свободной абелевой группы. Точно так же, если грани симплициального комплекса рассматривать как сингулярные симплексы, то раньше у нас были только они, а теперь появились и «противоположные».

Нулевые гомологии

Начнём с того малого, что можно посчитать, с нулевых гомологий; их можно описать полностью: они соответствуют компонентам линейной связности.

Теорема (Нулевые гомологии).

Если $X$ линейно связно, то $H_{0} (X) ≅ Z$ .
Если $X = ⨆_{α} X_{α}$ – разбиение на компоненты линейной связности, то $H_{n} (X) = ⨁_{α} H_{n} (X_{α})$ для всех $n$ ; при вычислении гомологий можно считать $X$ линейно связным.
Для любого $X$ группа $H_{0} (X)$ – свободная абелева с базисом, находящимся в биекции с множеством компонент линейной связности.

Из 1 и 2, очевидно, следует 3.

Замечание (о размерности). Формально при $n = - 1$ симплекс $Δ^{- 1}$ – пустое множество, способов отобразить пустое множество в $X$ ровно один, и $C_{- 1} (X)$ должно быть $Z$ . Геометрически это лишено смысла: подойдите к геометру и скажите, что пустое множество – многогранник; у пустого множества размерность при таком подходе равна $- 1$ , а кто-то считает, что $- \infty$ . Поэтому по определению $C_{n} (X) = 0$ при $n < 0$ . Положительные же все есть: если $X$ непусто, симплекс любой размерности можно отобразить хотя бы в точку. Если всё-таки использовать эту формальную точку зрения, получатся приведённые сингулярные гомологии, о них ниже.

Доказательство. Пункт 1. Комплекс заканчивается так: $C_{1} (X) d C_{0} (X) \to 0$ , поэтому $H_{0} (X) = C_{0} (X) / d C_{1} (X)$ . Группа $C_{0} (X)$ – свободная абелева группа, натянутая на точки $X$ ; обозначу её $Z ⟨ X ⟩$ (я очень люблю это обозначение; квадратные скобки здесь ни в коем случае нельзя: они заняты классами гомологий). Её элементы – формальные конечные линейные комбинации точек: два раза эта точка, минус пять раз эта, семь раз та.

Пусть $γ : Δ^{1} = [0, 1] \to X$ – путь. По формуле дифференциала: гипергрань напротив вершины $0$ даёт точку $γ (1)$ со знаком плюс, гипергрань напротив вершины $1$ даёт точку $γ (0)$ со знаком минус:

d γ = γ (1) - γ (0) .

Граница пути – разность двух точек, которые он соединяет. Значит, $d C_{1} (X)$ – подгруппа, порождённая разностями $y - x$ по всем парам точек, соединённых путём. Если $X$ линейно связно, это все пары:

H_{0} (X) = Z ⟨ X ⟩ / ⟨ y - x ∣ x, y \in X ⟩ .

Эта группа изоморфна $Z$ по теореме о гомоморфизме: рассмотрим аугментацию $ε : Z ⟨ X ⟩ \to Z$ , переводящую каждую точку в единицу. Она сюръективна, а её ядро – в точности подгруппа, по которой мы факторизуем (лёгкая проверка). Значит, $H_{0} (X) ≅ im ε = Z$ .

Геометрически всё очень просто. В качестве порождающей можно взять класс $[x]$ любой точки: точка есть нульмерная цепь и цикл, так что запись имеет смысл, и $[x] = [y]$ для любых двух точек, потому что есть путь, граница которого – их разность. Всё в соответствии с привычным: гомологии – классы циклов с точностью до границ цепей размерности на один выше. Итого $H_{0} (X) = Z \cdot [x]$ – свободная группа с одной образующей.

Пункт 2. Образ симплекса при непрерывном отображении линейно связен, значит, содержится в компоненте линейной связности, причём единственной: для каждого $σ$ найдётся единственное $α$ с $σ (Δ^{n}) \subset X_{α}$ . Базис $C_{n} (X)$ разбился на непересекающееся объединение базисов групп $C_{n} (X_{α})$ , и

C_{n} (X) = α ⨁ C_{n} (X_{α}) .

Дифференциал согласован с этим разложением: ограничение $σ$ на гипергрань попадает в ту же компоненту. Итак, комплекс $C_{∙} (X)$ есть прямая сумма комплексов $C_{∙} (X_{α})$ с прямой суммой дифференциалов, а гомологии прямой суммы комплексов – прямая сумма гомологий (кажется, это была задача). Всё следует из того, что симплексы отображаются в разные компоненты.

Вот пример топологической информации, которая теряется. Рассмотрим синусоиду $y = sin (1/ x)$ вместе с вертикальным отрезком, к которому она накапливается: это связное, но не линейно связное пространство, и $H_{0} = Z^{2}$ , потому что компонент линейной связности две – кривая и отрезок.

Гомологии точки

Важное вычисление, по сути единственное, которое мы проделаем: точка есть единственное пространство (кроме пустого), для которого мы хорошо понимаем, как устроены его цепи. Нулевые гомологии точки – $Z$ , мы знаем. Других гомологий у точки нет.

Теорема (Гомологии точки). $H_{0} (pt) = Z$ , $H_{n} (pt) = 0$ при $n \neq = 0$ .

Доказательство. $C_{n} (pt)$ – свободная группа с единственной образующей $σ_{n}$ : отображением всего $Δ^{n}$ в точку. Ограничение $σ_{n}$ на любую гипергрань есть отображение в точку, то есть $σ_{n - 1}$ , поэтому

d σ_{n} = i = 0 \sum n (- 1)^{i} σ_{n - 1} = {σ_{n - 1}, 0, n чётно, n нечётно

(очень сложное вычисление: $1 - 1 + 1 - \dots$ , слагаемых $n + 1$ ). Цепной комплекс выписывается явно:

\dots ⟶ 4 Z ≅ 3 Z 0 2 Z ≅ 1 Z 0 0 Z ⟶ 0;

стрелки чередуются: из чётных градуировок бьёт изоморфизм, из нечётных нуль. Циклы: ядро изоморфизма нулевое, ядро нулевого отображения всё, так что $Z_{n} = Z$ при нечётных $n$ , $Z_{n} = 0$ при чётных $n \geq 2$ , и $Z_{0} = Z$ , артефакт конца комплекса. Границы: образ изоморфизма всё, образ нуля нуль, так что $B_{n} = Z$ при нечётных $n$ и $B_{n} = 0$ при чётных. Фактор: при нечётных $n$ это $Z / Z = 0$ , при чётных $n \geq 2$ это $0/0 = 0$ , и единственная ненулевая группа $H_{0} = Z /0 = Z$ .

Приведённые гомологии

Определение (Приведённые сингулярные гомологии). Комплекс приведённых сингулярных цепей $C_{∙} (X)$ отличается от $C_{∙} (X)$ одной группой: $C_{- 1} (X) = Z$ , свободная группа на единственном отображении $Δ^{- 1} = \emptyset \to X$ , и дифференциалом аугментации $ε : C_{0} (X) \to Z$ , переводящим каждую точку в единицу. Его гомологии $H_{n} (X)$ – приведённые сингулярные гомологии $X$ .

Так вычисляются приведённые гомологии любого пространства. Для точки в комплексе добавится ещё одна копия $Z$ в градуировке $- 1$ , и стрелка $C_{0} \to C_{- 1}$ есть изоморфизм: чередование продолжается на один шаг, и все приведённые гомологии точки равны нулю; тоже полезно запомнить; это упражнение.

Замечание (зачем два варианта). Зачем в обычных гомологиях оставляют $Z$ в нулевой градуировке? Чтобы для декартовых произведений пространств на гомологиях происходило тензорное перемножение и чтобы при несвязных объединениях нулевые гомологии вели себя правильно, как в пункте 2 теоремы: у несвязного объединения $n$ точек приведённые гомологии равны $Z^{n - 1}$ (проверьте). Оба варианта полезны в разных конструкциях.

Возникшая у одного из слушателей интуиция («обычные гомологии есть хороший функтор из топологических пространств, а приведённые из пространств с отмеченной точкой») не совсем рабочая. Для пространств с отмеченной точкой надо рассматривать относительные гомологии; они изоморфны приведённым, но приведённые определены для пространств без отмеченной точки, и это важно понимать: приведённые есть всегда, а отмеченной точки в них нет, и это загадочно. Зато с ними изящно записываются утверждения вида «гомологии как у точки вплоть до размерности $n$ »: $H_{k} (X) = 0$ при $k \leq n$ ; такое пространство называется гомологически $n$ -связным. Ещё одна формулировка из зала: обычные гомологии сохраняют копределы из категории топологических пространств, приведённые – из категории пространств с отмеченной точкой.

Для первого знакомства с гомологиями этого хватит.

Цепные отображения

Всё, что мы определяли до сих пор, это объекты. Базовое знание: без категорий никуда, помимо объектов надо рассматривать отображения между ними. Топологические пространства мы умеем отображать, а цепные комплексы и группы гомологий – пока нет. Научимся.

Определение (Цепное отображение). Цепное отображение $φ : C_{∙} \to D_{∙}$ между цепными комплексами – набор гомоморфизмов $φ_{n} : C_{n} \to D_{n}$ для всех $n \in Z$ , коммутирующих с дифференциалами: $φ \circ d = d \circ φ$ , то есть диаграмма

\dots \to \dots \to C_{n + 1} ↓ φ D_{n + 1} d d C_{n} ↓ φ D_{n} d d C_{n - 1} ↓ φ D_{n - 1} \to \dots \to \dots

коммутативна.

Композиция цепных отображений цепная: две такие диаграммы надо приставить друг к другу и стереть средние стрелки, получатся коммутативные прямоугольники, а прямоугольник то же самое, что квадрат. Тождественное отображение, конечно, цепное. Значит, цепные комплексы и цепные отображения образуют категорию.

Теорема (Цепное отображение индуцирует отображение гомологий). Цепное отображение $φ : C_{∙} \to D_{∙}$ задаёт гомоморфизм $φ_{*} : H_{n} (C_{∙}) \to H_{n} (D_{∙})$ для каждого $n$ (градуированный гомоморфизм $H_{*} (C_{∙}) \to H_{*} (D_{∙})$ ) по формуле

φ_{*} [c] = [φ (c)] .

При этом $(ψ \circ φ)_{*} = ψ_{*} \circ φ_{*}$ и $(id)_{*} = id$ .

Доказательство. Рабоче-крестьянское доказательство. Любой элемент $H_{n} (C_{∙})$ представим как $[c]$ , где $c \in C_{n}$ , $d c = 0$ , возможно неоднозначно. Во-первых, $d (φ (c)) = φ (d c) = φ (0) = 0$ , так что $φ (c)$ – цикл в $D_{n}$ и запись $[φ (c)]$ имеет смысл. Во-вторых, корректность: если $[c] = [c^{'}]$ , найдётся $e \in C_{n + 1}$ с $d e = c - c^{'}$ ; тогда

d (φ (e)) = φ (d e) = φ (c) - φ (c^{'}),

снова по цепному свойству $φ$ ; то есть $φ (c)$ и $φ (c^{'})$ отличаются на границу и задают один класс. Ответ от выбора представителя не зависит, формула задаёт корректное отображение множеств, и легко проверяется, что это гомоморфизм.

По-умному. В $C_{n}$ есть подгруппа циклов $Z_{n} (C)$ (ядро дифференциала) и подгруппа границ $B_{n} (C)$ (образ); так же в $D_{n}$ . Образ циклов состоит из циклов, образ границ из границ: если $d c = 0$ , то $d φ (c) = 0$ ; если $c = d e$ , то $φ (c) = d φ (e)$ . Значит, $φ$ ограничивается до $Z_{n} (C) \to Z_{n} (D)$ и переводит $B_{n} (C)$ в $B_{n} (D)$ . А дальше общий факт из алгебры – универсальное свойство факторгруппы: гомоморфизм групп, переводящий нормальную подгруппу в нормальную подгруппу, задаёт единственный гомоморфизм факторгрупп, делающий диаграмму коммутативной. Это и есть $Z_{n} (C) / B_{n} (C) \to Z_{n} (D) / B_{n} (D)$ , с той же формулой.

Функториальность (композиция индуцирует композицию, а тождественное тождественное) следует из формулы.

Итак, взятие гомологий есть функтор из категории цепных комплексов в категорию градуированных абелевых групп. Так мы из гомологической алгебры перешли в алгебру. Теперь – из топологии в гомологическую алгебру.

Теорема (Непрерывное отображение индуцирует цепное). Непрерывное отображение $f : X \to Y$ задаёт цепное отображение

f_{#} : C_{∙} (X) \to C_{∙} (Y), f_{#} (σ) = f \circ σ

(на базисе; продолжается по линейности). При этом $(g \circ f)_{#} = g_{#} \circ f_{#}$ и $(id_{X})_{#} = id$ .

Теорема (Следствие). Непрерывное отображение $f : X \to Y$ индуцирует гомоморфизм $f_{*} : H_{n} (X) \to H_{n} (Y)$ для каждого $n$ ; $(g \circ f)_{*} = g_{*} \circ f_{*}$ , $(id_{X})_{*} = id$ .

Доказательство. Конструкция очень простая: из сингулярного симплекса $σ : Δ^{n} \to X$ композицией с $f$ получается сингулярный симплекс $f \circ σ : Δ^{n} \to Y$ ; на произвольной цепи $λ_{1} σ_{1} + \dots + λ_{k} σ_{k}$ значение – $λ_{1} f \circ σ_{1} + \dots + λ_{k} f \circ σ_{k}$ (больше я это писать не буду: гомоморфизм из свободной группы задан на базисе). Надо проверить, что это цепное отображение, то есть $f_{#} (d σ) = d f_{#} (σ)$ :

f_{#} (d σ) = f_{#} (i \sum (- 1)^{i} σ \circ δ_{i}) = i \sum (- 1)^{i} f \circ (σ \circ δ_{i}), d f_{#} (σ) = i \sum (- 1)^{i} (f \circ σ) \circ δ_{i} .

Получилось одно и то же, потому что композиция ассоциативна. Все такие формулы следуют из ассоциативности; для тождественного отображения тоже. Следствие есть композиция двух функторов.

Резюме: у нас есть три функтора,

Top C_{∙} Ch H_{*} GrAb, X ⟼ C_{∙} (X) ⟼ H_{*} (X),

из категории топологических пространств и непрерывных отображений в категорию цепных комплексов абелевых групп и цепных отображений, оттуда в категорию градуированных абелевых групп и градуированных гомоморфизмов, и их композиция – сингулярные гомологии. Вместо градуированных групп можно рассматривать по отдельности функторы $H_{n}$ в обычные абелевы группы.

Теорема (Следствие). Если $X ≅ Y$ гомеоморфны, то $H_{n} (X) ≅ H_{n} (Y)$ для всех $n$ .

Для гомеоморфизма это, в принципе, ясно из определения: всё определялось через внутреннюю структуру $X$ ; и тут мы это явно проверили через ассоциативность композиции непрерывных отображений. Для гомотопической эквивалентности тоже верно, но это мы будем доказывать с большим трудом.

Гомотопическая инвариантность

Теорема (Гомотопическая инвариантность). Если $f, g : X \to Y$ гомотопны, то $f_{*} = g_{*} : H_{n} (X) \to H_{n} (Y)$ для всех $n$ .

Теорема (Следствие). Если $X ≃ Y$ гомотопически эквивалентны, то $H_{n} (X) ≅ H_{n} (Y)$ для всех $n$ . В частности, если $X$ стягиваемо, то $H_{0} (X) = Z$ и $H_{n} (X) = 0$ при $n \neq = 0$ , что из определения совсем не очевидно.

Следствие выводится из теоремы общей наукой про гомотопические эквивалентности: если $f ≃ g$ и $f^{'} ≃ g^{'}$ , то композиции гомотопны (это следует из транзитивности отношения гомотопности), так что категория, в которой морфизмы – гомотопические классы отображений, корректно определена, и функтор, переводящий гомотопные отображения в равные, переводит гомотопическую эквивалентность в изоморфизм. Кто не понимает, как это следствие доказывается, – проверьте по определению, лучше поймёте, что такое гомотопия.

К теореме. На уровне цепей гомотопные отображения, конечно, индуцируют разные отображения: я отображение плавно подвинул, и симплекс, который отображался сюда, теперь отображается туда – совершенно другой базисный элемент. Но они тоже в некотором смысле гомотопны: есть хороший алгебраический аналог понятия гомотопии.

Определение (Цепная гомотопия). Пусть $φ, ψ : C_{∙} \to D_{∙}$ – цепные отображения. Цепная гомотопия между $φ$ и $ψ$ – набор гомоморфизмов $P : C_{n} \to D_{n + 1}$ , повышающих градуировку на один, таких, что

d P + P d = ψ - φ .

Если цепная гомотопия существует, $φ$ и $ψ$ называются цепно гомотопными: $φ ≃ ψ$ .

Сейчас смысл этого определения не виден, к концу лекции станет понятен; если будете сдавать экзамен, придётся запомнить, а сейчас достаточно понять. Геометрическая мотивация: $P$ от слова призма. Из симплекса делаем призму. Граница призмы состоит из двух крышек и боковой поверхности, а боковая поверхность есть призма над границей симплекса:

\partial (призма) = верхняя крышка - нижняя крышка + призма над \partial,

то есть $d P = ψ - φ - P d$ , та самая формула. Знаки: одна крышка с плюсом, другая с минусом, потому что внешняя нормаль торчит вверх у одной и вниз у другой, а мы всё рисуем снизу вверх.

Замечание (градуированный коммутатор). Хочется, чтобы $d P + P d$ был коммутатором; и это коммутатор, но в градуированном смысле. В градуированных алгебрах коммутатор однородных элементов определяется как $[a, b] = ab - (- 1)^{d e g a d e g b} ba$ . Степень $d$ равна $- 1$ , степень $P$ равна $+ 1$ , поэтому $[d, P] = d P + P d$ . Про дифференциал можно думать как про отображение $C_{∙} \to C_{∙}$ степени $- 1$ : из $C_{n}$ в $C_{n - 1}$ .

Лемма (Цепно гомотопные отображения равны на гомологиях). Если $φ ≃ ψ$ , то $φ_{*} = ψ_{*} : H_{n} (C_{∙}) \to H_{n} (D_{∙})$ .

Доказательство. Проверка очень простая. Любой элемент $H_{n} (C_{∙})$ есть класс $[c]$ цикла $c$ . Разность циклов есть цикл, поэтому

ψ_{*} [c] - φ_{*} [c] = [ψ (c)] - [φ (c)] = [ψ (c) - φ (c)] = [d P (c) + P d (c)] = [d P (c)] = 0 :

здесь $d c = 0$ , а класс любой границы равен нулю. Всё, конец доказательства: магическая формула работает и даёт равенство классов.

Теперь самая грустная часть лекции: доказательство теоремы.

Доказательство. Пусть $F : X \times [0, 1] \to Y$ – гомотопия, $F (-, 0) = f$ , $F (-, 1) = g$ . Хотим построить цепную гомотопию $P : C_{n} (X) \to C_{n + 1} (Y)$ с

d P + P d = g_{#} - f_{#};

тогда $f_{*} = g_{*}$ по лемме.

Идея. Над $X$ есть цилиндр $X \times [0, 1]$ : нижнее основание отображается в $Y$ посредством $f$ , верхнее посредством $g$ , а весь цилиндр посредством $F$ . Из сингулярного симплекса $σ : Δ^{n} \to X$ хочется изготовить линейную комбинацию $(n + 1)$ -мерных сингулярных симплексов в $Y$ . Что я могу построить? Домножить $σ$ на вертикальный отрезок и отобразить призму:

Δ^{n} \times [0, 1] σ \times id X \times [0, 1] F Y .

Желания надо соизмерять с возможностями: всё, что я могу, это сингулярная призма в $Y$ . А я хочу не призму, а линейную комбинацию симплексов. Значит, призму надо разрезать на симплексы.

Стандартное разрезание призмы. Вершины нижнего основания $Δ^{n} \times {0}$ обозначим $v_{i} = (e_{i}, 0)$ , верхнего $w_{i} = (e_{i}, 1)$ . Для набора вершин $u_{0}, \dots, u_{n + 1}$ призмы через $[u_{0}, \dots, u_{n + 1}]$ обозначим линейное отображение $Δ^{n + 1} \to Δ^{n} \times [0, 1]$ , $e_{k} \mapsto u_{k}$ . Призма над отрезком режется на два треугольника, $[v_{0}, w_{0}, w_{1}]$ и $[v_{0}, v_{1}, w_{1}]$ ; призма над треугольником – на три тетраэдра,

[v_{0}, w_{0}, w_{1}, w_{2}], [v_{0}, v_{1}, w_{1}, w_{2}], [v_{0}, v_{1}, v_{2}, w_{2}]

(это была задача в первом листочке). Схема: иду по нижним вершинам по порядку, в какой-то момент решаю подняться наверх и дальше иду по верхним. В общем случае

Δ^{n} \times [0, 1] = i = 0 ⋃ n [v_{0}, \dots, v_{i}, w_{i}, \dots, w_{n}],

и это реально разбиение призмы на симплексы. Если кому-то непонятно, купите сыр, возьмите нож и сделайте. Впрочем, что это разбиение, нам даже не важно: важно, что мы верим, что если взять линейную комбинацию этих симплексов с правильными знаками, границы сократятся и останутся верхняя крышка, нижняя крышка и боковая поверхность. Боковые квадраты при этом разрезаны диагоналями сообразно той же схеме. Мы ничего не ориентировали – я просто упорядочил вершины, и это автоматически даёт ориентацию: из наименьшей вершины стрелки во все остальные – базис; ограничение на гипергрань с индуцированным порядком даёт то же самое.

Замечание (пути на решётке). Симплексы разбиения перечисляются путями на решётке $n \times 1$ из левого нижнего угла в правый верхний: шаг вправо означает следующую вершину в том же основании, шаг вверх переход с $v_{i}$ на $w_{i}$ . Точно так же разбивается на симплексы произведение любых двух симплексов $Δ^{n} \times Δ^{m}$ – путями на решётке $n \times m$ , их столько же, сколько шаффлов. Почему симплексы покрывают всю призму и не пересекаются по внутренности, нам не нужно, и это часть задачи из первого листочка.

Определение $P$ . Наконец,

P σ = i = 0 \sum n (- 1)^{i} F \circ (σ \times id) \circ [v_{0}, \dots, v_{i}, w_{i}, \dots, w_{n}] .

Композиция $F \circ (σ \times id)$ дальше всегда одна и та же, поэтому при подсчёте я буду неформально писать просто скобку $[v_{0}, \dots, v_{i}, w_{i}, \dots, w_{n}]$ , подразумевая эту композицию. Все дифференциалы устроены как выкидывание $k$ -й по счёту вершины из скобки со знаком $(- 1)^{k}$ . Осталось посчитать; это будет не очень приятно, и следить за этим ещё менее приятно, но полезно хотя бы раз в жизни для себя осознать – а в принципе не обязательно, потому что геометрическая картинка уже дана. Дальше упражнение на аккуратность: как коммутируют оператор выкидывания вершины и оператор «дублирования» $v_{i} \to v_{i}, w_{i}$ .

Вычисление $d P σ$ . В скобке $[v_{0}, \dots, v_{i}, w_{i}, \dots, w_{n}]$ вершина $v_{j}$ стоит на позиции $j$ , а $w_{j}$ на позиции $j + 1$ (из-за продублированного индекса $i$ ). Выкинуть можно четыре типа вершин:

d P σ = i = 0 \sum n (- 1)^{i} [j < i \sum (- 1)^{j} [v_{0}, \dots, v_{j}, \dots, v_{i}, w_{i}, \dots, w_{n}] + (- 1)^{i} [v_{0}, \dots, v_{i - 1}, w_{i}, \dots, w_{n}]

+ (- 1)^{i + 1} [v_{0}, \dots, v_{i}, w_{i + 1}, \dots, w_{n}] + j > i \sum (- 1)^{j + 1} [v_{0}, \dots, v_{i}, w_{i}, \dots, w_{j}, \dots, w_{n}]] .

Два средних слагаемых дают телескопическую сумму: при $i = 0$ это $[w_{0}, \dots, w_{n}] - [v_{0}, w_{1}, \dots, w_{n}]$ , при $i = 1$ это $[v_{0}, w_{1}, \dots, w_{n}] - [v_{0}, v_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}]$ , и так далее до $i = n$ : $[v_{0}, \dots, v_{n - 1}, w_{n}] - [v_{0}, \dots, v_{n}]$ ; всё сокращается, кроме

[w_{0}, \dots, w_{n}] - [v_{0}, \dots, v_{n}] = g_{#} σ - f_{#} σ :

ограничение $F$ на верхнее основание есть $g$ , на нижнее $f$ , так что $F \circ (σ \times id) \circ [w_{0}, \dots, w_{n}] = g \circ σ$ и $F \circ (σ \times id) \circ [v_{0}, \dots, v_{n}] = f \circ σ$ . Обозначим оставшиеся две суммы

S_{1} = j < i \sum (- 1)^{i + j} [v_{0}, \dots, v_{j}, \dots, v_{i}, w_{i}, \dots, w_{n}], S_{2} = j > i \sum (- 1)^{i + j + 1} [v_{0}, \dots, v_{i}, w_{i}, \dots, w_{j}, \dots, w_{n}],

так что $d P σ = S_{1} + S_{2} + g_{#} σ - f_{#} σ$ . Осталось понять, что $S_{1} + S_{2} = - P d σ$ .

Вычисление $P d σ$ . $d σ = \sum_{j} (- 1)^{j} σ \circ δ_{j}$ , и к каждому $σ \circ δ_{j}$ , симплексу с вершинами $e_{0}, \dots, e_{j}, \dots, e_{n}$ , надо применить ту же процедуру: пройти по его вершинам до какой-то включительно, записав $v$ , продублировать её как $w$ и дальше писать $w$ . Скачок можно сделать до $j$ или после $j$ :

P d σ = j = 0 \sum n (- 1)^{j} [i < j \sum (- 1)^{i} [v_{0}, \dots, v_{i}, w_{i}, \dots, w_{j}, \dots, w_{n}] + i > j \sum (- 1)^{i - 1} [v_{0}, \dots, v_{j}, \dots, v_{i}, w_{i}, \dots, w_{n}]];

во второй сумме сдвиг индекса: в симплексе без $j$ -й вершины вершина $e_{i}$ при $i > j$ стоит на позиции $i - 1$ . Итого

P d σ = i < j \sum (- 1)^{i + j} [v_{0}, \dots, v_{i}, w_{i}, \dots, w_{j}, \dots, w_{n}] + i > j \sum (- 1)^{i + j - 1} [v_{0}, \dots, v_{j}, \dots, v_{i}, w_{i}, \dots, w_{n}] .

Первая сумма есть в точности $- S_{2}$ (те же скобки, знак $(- 1)^{i + j}$ против $(- 1)^{i + j + 1}$ ), вторая в точности $- S_{1}$ (знак $(- 1)^{i + j - 1}$ против $(- 1)^{i + j}$ ).

Итог.

d P σ = S_{1} + S_{2} + g_{#} σ - f_{#} σ = - P d σ + g_{#} σ - f_{#} σ,

то есть $d P + P d = g_{#} - f_{#}$ . Всё сошлось.

Может быть, полезнее разобрать это самому; я более-менее рисовал для треугольной призмы.

Гомологии пары

Осталось десять минут; я хотел с этого начать, но, может быть, вам полезнее подумать об этом чуть раньше.

Определение (Подкомплекс и факторкомплекс). Цепной подкомплекс $C_{∙}^{'} \subset C_{∙}$ – набор подгрупп $C_{n}^{'} \subset C_{n}$ , выживающих под действием дифференциала: $d C_{n}^{'} \subset C_{n - 1}^{'}$ . Вложение есть инъективное цепное отображение. На факторгруппах $C_{n} / C_{n}^{'}$ возникает структура цепного комплекса с дифференциалом $d (c + C_{n}^{'}) = d c + C_{n - 1}^{'}$ (упражнение; квадратные скобки для смежных классов неудобны, потому что заняты) – факторкомплекс $C_{∙} / C_{∙}^{'}$ .

Это задача в листочке; можно вычислять гомологии таких факторкомплексов.

Определение (Гомологии пары). Если $A \subset X$ – подпространство, то $C_{∙} (A) \subset C_{∙} (X)$ – подкомплекс: это не определение, а очевидное утверждение: если симплекс попал в $A$ , то и его ограничение на любую грань попало в $A$ . Гомологии факторкомплекса

H_{n} (X, A) = H_{n} (C_{∙} (X) / C_{∙} (A))

называются относительными гомологиями пары $(X, A)$ .

В обозначении стоит запятая, не слэш: это не гомологии факторпространства $X / A$ .

Геометрический смысл сейчас не буду объяснять подробно, но идея такая. Есть пространство $X$ и подпространство $A$ , на котором мне, в общем-то, всё равно, что происходит. Я беру какую-то штуковину – линейную комбинацию сингулярных симплексов, – вся граница которой попала в $A$ ; если $A$ игнорировать, я как будто вижу нечто без края. Такие цепи задают классы относительных гомологий. В частности, многообразие с краем, отображённое в $X$ так, что весь край попадает в $A$ , – примерно так можно думать про классы относительных гомологий. В следующий раз мы их изучим.