Листки задач

Интеграл по длине дуги: параметризация кривой, элемент длины $ds = |\mathbf{r}'(t)|\,dt$, длина дуги, кривые в полярных координатах, масса и центр масс проволоки, симметрия вместо счёта.

Задачи семинара 2 курса «Алгебра-1» (А. А. Авилов, НМУ, осень 2026) от 14 сентября 2026 г. — гомоморфизмы групп, теорема о гомоморфизме, сопряжённые элементы, действия групп. Группа $\operatorname{Hom}(A, B)$ абелевых групп; мультипликативность индекса; третья теорема об изоморфизме; изоморфные подгруппы с неизоморфными факторами; сопряжённость в $S_n$ и тип разложения в циклы; классы сопряжённости $A_5$; $\operatorname{Aut}(S_n) = S_n$ при $n \ne 6$; группы вращений и симметрий куба; гомоморфизм $S_4 \to S_3$; группа симметрий икосаэдра; группа автоморфизмов графа Петерсена.

Задачи семинара 1 курса «Алгебра-1» (А. А. Авилов, НМУ, осень 2026) от 7 сентября 2026 г. — группы, нормальные подгруппы и факторы, симметрическая группа. Классификация групп порядка 3, 4, 6, 10; группы, в которых каждый элемент порядка 2; образующие и соотношения для $D_n$; конечная порождённость $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}^*$; центр, подгруппы и нормальные подгруппы $D_n$; прямые суммы; китайская теорема об остатках; циклы и типы разложения в $S_6$, порядки элементов $S_{10}$; порождающие $S_n$; внутренние автоморфизмы; группы автоморфизмов Z, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, $S_3$, $S_4$.