Алгебра-1. Семинар 1

Задача 1. Заполнив таблицу умножения, классифицируйте все группы порядка $3$ и $4$.

Задача 2. а) Докажите, что если в группе любой элемент имеет порядок $2$, то она абелева. б) Пусть эта группа конечна. Не пользуясь теоремой о строении абелевых групп, докажите, что она изоморфна прямой сумме (или прямому произведению) групп $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Задача 3. Классифицируйте все группы порядка $6$ и $10$.

Задача 4. а) Задайте группу $D_n$ образующими и соотношениями. б) Группа задана образующими и соотношениями $G=⟨a,b\mid a^2=b^2=(ab{)}^2,a^4=1⟩$. Сколько в ней элементов?

Задача 5. а) Покажите, что группы $\mathbb{Q}$ и ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ не являются конечно порождёнными. б) Докажите, что группу $\mathbb{Q}$ нельзя представить в виде нетривиального прямого произведения. в) Представьте группу ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ в виде бесконечной прямой суммы циклических групп.

Задача 6. Для группы $D_n$ найдите а) центр (т. е. множество элементов, коммутирующих со всеми элементами), б) все подгруппы, в) все нормальные подгруппы и факторы по ним.

Задача 7. а) Докажите, что группа $D_4$ не является прямой суммой своих нетривиальных подгрупп. б) Приведите пример группы $D_n$, являющейся прямой суммой своих нетривиальных подгрупп.

Задача 8. Пусть $m$ и $n$ – взаимно простые натуральные числа. Докажите, что имеется изоморфизм $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\simeq \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Покажите, что это утверждение никогда не верно, если числа $m$ и $n$ не взаимно просты.

Задача 9. а) Сколько всего различных циклов длины $k$ в $S_n$? б) Найдите все типы разложения в независимые циклы в группе $S_6$. в) Для каждого типа разложения найдите, сколько подстановок в $S_6$ имеют данный тип. г) Найдите все возможные числа, являющиеся порядками каких-нибудь элементов в $S_{10}$.

Задача 10. Докажите, что любую подстановку можно представить в виде произведения а) элементарных транспозиций вида $(i,i+1)$, где $1\le i\le n-1$; б) $(1,n)$ и $(1,2,3,\dots ,n)$.

Задача 11. Докажите, что группа внутренних автоморфизмов группы нормальна в группе всех автоморфизмов группы.

Задача 12. Вычислите группы автоморфизмов групп а) $\mathbb{Z}$, б) $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, в) $S_3$, г) $S_4$.