Алгебра 1, Листок 2. Многочлены и конечные поля

Задача 1. Найдите обратный к $f (x)$ в кольце вычетов $k [x] / (g (x))$ , если такой существует.
a) $k = Q, f (x) = x^{6} + x + 1, g (x) = x^{2} + 1$ ;
b) $k = F_{2}, f (x) = x^{7} + 1, g (x) = x^{2} + x + 1$ .

Задача 2. a) Пусть $F_{4} = F_{2} [α] / (α^{2} + α + 1)$ — поле из четырёх элементов, которые мы обозначим ${0, 1, α, 1 + α}$ . Найдите все делители нуля и все обратимые элементы (и обратные к ним) в кольде $F_{4} [x] / (α + (α + 1) x + α)$ .

б) Постройте явное изоморфизм полей $F_{3} [x] / (x^{2} + x + 2)$ и $F_{3} [x] / (x^{2} + 2 x + 2)$ .

Задача 3. Классифицируйте кольца вида $R [x] / (a x^{2} + b x + c)$ , $a, b, c \in R$ с точностью до изоморфизма.

Задача 4. a) Докажите, что число $328589697129410536092729678834170044432401015625 = 5^{31} 1 3^{25}$ является суммой двух квадратов целых чисел.
б) Решите в комплексных числах уравнение $z^{2} - (3 - i) z + 4 - 3 i = 0$ .
в) Вычислите

(0 n) + (4 n) + (8 n) + \dots

г) Докажите, что комплексные точки $a, b, c, d$ лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда их двойное отношение

\frac{( c - a ) ( d - b )}{( c - b ) ( d - a )}

является вещественным числом.

Задача 5. a) Найдите все решения в $C$ уравнения $z^{n} = 1$ , $a \in C$ . Докажите, что они образуют группу $μ_{n}$ .

б) Докажите, что группа $μ_{n}$ — циклическая (порожденная одним элементом). Образующая этой группы называется первообразным корнем. Найдите количество первообразных корней.

в) Пусть $Φ_{n} (x) = \prod (x - z_{i})$ , где $z_{i}$ пробегает все первообразные корни степени $n$ . Докажите, что

x^{n} - 1 = d ∣ n \prod Φ_{d} (x) .

г) Докажите, что $Φ_{n} (x) = \prod_{d ∣ n} (x^{n / d} - 1)^{μ (d)}$ , где $μ$ — функция Мёбиуса. Сделайте вывод, что $Φ_{n} (x) \in Z [x]$ .

д*) Докажите, что $Φ_{n} (x)$ — неприводим в $Q [x]$ .

е*) Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида $k n + 1$ , где $k \in Z_{\geq 0}, n \in Z_{> 0}$ фиксировано.

Задача 6. a) Пусть $k$ — поле. Докажите, что группа $μ_{n} (k) = {x \in k^{\times} ∣ x^{n} = 1}$ — циклическая. Приведите пример, когда $∣ μ_{n} (k) ∣ < n$ .
б*) Может ли группа обратимых элементов бесконечного поля быть циклической?

Задача 7. Пусть $F$ — конечное поле.

a) Докажите, что любая функция $f : F \to F$ является многочленом. Приведите пример двух различных ненулевых многочленов, задающих одинаковую функцию.

б*) Докажите, что любая функция $f : F^{n} \to F$ является многочленом.