Алгебра 1, Листок 1

Задача 1. a) Докажите, что множества $Z$ и $2 Z$ изоморфны как абелевы группы относительно сложения.
Изоморфны ли они как кольца?

б) Изоморфны ли как абелевы группы:

$(R, +)$ и $(Q, +)$ ?
$(Q, +)$ и $(Z, +)$ ?

Задача 2. a) Докажите, что любая подгруппа $(Z, +)$ имеет вид $n Z$ , где $n \geq 0$ .

б) Найдите обратный элемент к $[157]$ в кольце $Z /235 Z$ и все целые решения уравнения

157 x + 235 y = 1.

Задача 3. Убедитесь, что

Z [5] = {a + b 5 ∣ a, b \in Z}

является коммутативным кольцом с единицей и областью целостности.
Покажите, что это кольцо не является факториальным.

Задача 4. a) Чему равно 17-е натуральное число, дающее остатки $2, 4, 6, 8$ от деления на $5, 9, 11, 14$ ?

б) Сколько решений в кольце $Z /360 Z$ имеет уравнение

x^{2} = 2 ?

в) Сколько решений в кольце $Z / n Z$ имеет уравнение

x^{2} = 1 ?

Задача 5. Рассмотрим группу обратимых элементов $(Z / n Z)^{\times}$ .
Определим функцию Эйлера:

φ (n) = ∣(Z / n Z)^{\times} ∣ .

a) Докажите теорему Эйлера:

a^{φ (n)} \equiv 1 (mod n) для любого a \in (Z / n Z)^{\times} .

б) Покажите, что

φ (n) = n (1 - p_{1}^{- 1}) \dots (1 - p_{k}^{- 1}),

где

n = p_{1}^{α_{1}} \dots p_{k}^{α_{k}},

а $p_{i}$ — различные простые числа.

Задача 6. Введём на множестве $X$ функций $f : Z_{> 0} \to R$ две операции:

Поточечное сложение:

$(f + g) (n) = f (n) + g (n) .$
Свёртка Дирихле:

$(f * g) (n) = d ∣ n \sum f (d) g (n / d) .$

a) Докажите, что $(X, +, *)$ — коммутативное кольцо с единицей.
Какая функция является единицей этого кольца?
Опишите все обратимые элементы.

б) Найдите обратный элемент $k$ функции

1 : Z_{> 0} \to R, n \mapsto 1.

Этот элемент называется функцией Мёбиуса.

Задача 7. a) Пусть $ξ$ — первообразный корень по модулю простого $p \geq 2$ .
Докажите, что $ξ$ или $ξ + p$ является первообразным корнем по модулю $p^{2}$ .

б) Докажите, что если $ξ$ — первообразный корень по модулю $p$ и $p^{2}$ ,
то $ξ$ — первообразный корень по модулю $p^{k}$ для любого $k \geq 0$ .

в) Докажите существование первообразного корня по модулю $2 p^{k}$ для всех простых $p > 2$ и всех $k \in N$ .

г) Покажите, что первообразный корень в $Z / n Z$ существует только для

n = 2, 4, p^{k}, 2 p^{k},

где $p > 2$ — простое, $k \in N$ .
То есть группа $(Z / n Z)^{\times}$ циклическая только при этих $n$ .

д) Найдите все первообразные корни в $Z / n Z$ .
Если $a$ — первообразный корень по модулю $n$ , то как выражаются все остальные первообразные корни?