Топология-2. Листок 1

Задача 1.1. Докажите, что $H_0^{\Delta }(\mathcal{K})\cong {\mathbb{Z}}^{\oplus c}$, где $c$ – число компонент связности пространства $|\mathcal{K}|$.

Задача 1.2. Опишите гомологии а) несвязного объединения; б) букета симплициальных комплексов.

Задача 1.3. Вычислите гомологии какой-нибудь триангуляции¹ а) окружности; б) сферы; в*) ленты Мёбиуса.

Задача 1.4. Пусть ${\mathcal{K}}_1$, ${\mathcal{K}}_2$ – симплициальные комплексы на множествах вершин $V_1$, $V_2$. Их джойн – это

а) Проверьте, что это симплициальный комплекс, причём $|{\mathcal{K}}_1\ast {\mathcal{K}}_2|\cong |{\mathcal{K}}_1|\ast |{\mathcal{K}}_2|$. б) Как связаны цепные комплексы ${\tilde{C}}_{\bullet }^{\Delta }({\mathcal{K}}_1)$, ${\tilde{C}}_{\bullet }^{\Delta }({\mathcal{K}}_2)$, ${\tilde{C}}_{\bullet }^{\Delta }({\mathcal{K}}_1\ast {\mathcal{K}}_2)$?

Задача 1.5. Пусть $V_1$, $V_2$ – конечные линейно упорядоченные множества. Рассмотрим

а) Проверьте, что это симплициальный комплекс, причём $|\mathcal{P}|\cong {\Delta }^{|V_1|-1}\times {\Delta }^{|V_2|-1}$. б) Постройте аналогичную триангуляцию произведения симплициальных комплексов.

Задача 1.6. Пусть $C_{\bullet }=(0\to C_n\to \cdots \to C_0\to 0)$ – цепной комплекс конечномерных векторных пространств. Его эйлерова характеристика – это число $\chi (C_{\bullet }):={\sum }_{i\ge 0}(-1{)}^i\dim C_i$. а) Докажите, что $\chi (C_{\bullet })=\chi (H_{\ast }(C_{\bullet }))$. б) Докажите «сильные неравенства Морса»:

в*) Обобщите на комплексы конечнопорождённых абелевых групп ($\dim$ заменяется на $\mathrm{rk}$).

Задача 1.7. Сколько вершин может быть у триангуляции а) $S^2$; б) $\mathbb{R}{P}^2$; в) ${\mathbb{T}}^2$?

Задача 1.8. Пусть $C_{\bullet }$, $C_{\bullet }^{\prime }$ – цепные комплексы, $A$ – абелева группа. Введите структуру цепного комплекса на а) $C_{\bullet }\oplus C_{\bullet }^{\prime }$; б) $C_{\bullet }{\otimes }_{\mathbb{Z}}A$; в) $C_{\bullet }/C_{\bullet }^{\prime }$, если $C_{\bullet }^{\prime }\subset C_{\bullet }$ – подкомплекс.

Задача 1.9. Последовательность гомоморфизмов точна, если «везде образ равен ядру». Докажите: а) Последовательность $A\to B\stackrel{f}{\to }C\to D$ точна $⟺$ она разбивается на точные последовательности $A\to B\to K\to 0$, $0\to K\to C\to D$. б) $0\to A\stackrel{\mathrm{incl}}{\to }A\oplus C\stackrel{\mathrm{pr}}{\to }C\to 0$ точна, но не всякая точная последовательность $0\to A\stackrel{i}{\to }B\stackrel{p}{\to }C\to 0$ такова. в) Тем не менее, это верно, если $p$ имеет сечение или $i$ допускает ретракцию.

Задача 1.10. а) Пусть $C_{\bullet }$ – цепной комплекс конечнопорождённых свободных абелевых групп. Докажите, что он изоморфен прямой сумме комплексов вида $(0\to \mathbb{Z}\to 0)$ и $(0\to \mathbb{Z}\stackrel{\times n}{\to }\mathbb{Z}\to 0)$. б) Пусть $C_{\bullet }$ – цепной комплекс векторных пространств над полем $\mathbb{F}$. Докажите, что $C_{\bullet }$ изоморфен прямой сумме комплексов вида $(0\to \mathbb{F}\to 0)$ и $(0\to \mathbb{F}\stackrel{\mathrm{id}}{\to }\mathbb{F}\to 0)$.