Топология-2. Листок 2

Задача 2.1. Для симплициального комплекса $\mathcal{K}$ постройте цепное отображение $C_{\ast }^{\Delta }(\mathcal{K})\to C_{\ast }(|\mathcal{K}|)$.

▷ Через несколько лекций мы докажем, что оно индуцирует изоморфизм $H_{\ast }^{\Delta }(\mathcal{K})\cong H_{\ast }(|\mathcal{K}|)$.

Задача 2.2. Пусть вложение подпространства $i:A\hookrightarrow X$ допускает ретракцию (кстати, что это?). Докажите, что $i_{\ast }:H_{\ast }(A)\to H_{\ast }(X)$ а) инъективно; б) вложение прямым слагаемым.

Задача 2.3. а) Постройте гомоморфизм групп $h:{\pi }_1(X,x_0)\to H_1(X)$. б) Пусть $X$ линейно связно. Докажите, что $h$ сюръективно, и $[{\pi }_1(X),{\pi }_1(X)]\subseteq \mathrm{Ker}(h)$.

▷ Через несколько лекций мы докажем, что $[{\pi }_1,{\pi }_1]=\mathrm{Ker}(h)$, т. е. ${\pi }_1(X{)}_{ab}\cong H_1(X)$ («теорема Пуанкаре»).

Задача 2.4. Пусть $x\in H_n(X)$ – произвольный элемент. Постройте конечный CW-комплекс $Y$, элемент $y\in H_n(Y)$ и отображение $f:Y\to X$ такие, что $x=f_{\ast }(y)$.

Задача 2.5. Пусть $X_0\subset X_1\subset \cdots \subset X={\bigcup }_{n\ge 0}{X}_n$ – цепочка вложенных топологических пространств, причём всякий компакт $K\subset X$ содержится в некотором $X_n$. а) Докажите, что естественное отображение ${\mathrm{colim}}_n{H}_{\ast }(X_n)\to H_{\ast }(X)$ – изоморфизм. б) То же для ${\pi }_1(X,x_0)$.

Задача 2.6. а) Построив цепную гомотопию, докажите, что симплициальные гомологии симплекса тривиальны. б) Вычислите симплициальные гомологии $d$-мерного остова $n$-мерного симплекса.

Задача 2.7*. Симплициальное отображение ${\mathcal{K}}_1\to {\mathcal{K}}_2$ – это такое отображение $f:V_1\to V_2$, что $f(I)\in {\mathcal{K}}_2$ для всех $I\in {\mathcal{K}}_1$. Постройте цепное отображение $f_{\#}:{\tilde{C}}_{\ast }^{\Delta }({\mathcal{K}}_1)\to {\tilde{C}}_{\ast }^{\Delta }({\mathcal{K}}_2)$ и проверьте, что $(f\circ g{)}_{\#}=f_{\#}\circ g_{\#}$. Рассмотрите три случая: а) $f$ монотонно; б) $f$ биективно; в) $f$ любое.

Задача 2.8. а) Пусть $C_{\bullet }$ – цепной комплекс над полем. Постройте цепную гомотопическую эквивалентность между $C_{\bullet }$ и $(H_{\ast }(C_{\bullet }),0)$. б) Верно ли это для комплексов свободных абелевых групп?

Задача 2.9. Докажите: а) цепная гомотопность – отношение эквивалентности (на множестве цепных отображений $C_{\bullet }\to C_{\bullet }^{\prime }$); б) если $f\sim g:C_{\bullet }\to C_{\bullet }^{\prime }$ и $f^{\prime }\sim g^{\prime }:C_{\bullet }^{\prime }\to C_{\bullet }^{\prime \prime }$, то $f^{\prime }\circ f\sim g^{\prime }\circ g$.

Задача 2.10. Пусть диаграмма ниже коммутативна и имеет точные строки. Докажите: а) Если $l$ сюръективно, а $m$, $p$ инъективны, то $n$ инъективно. б) Если $m$, $p$ сюръективны, а $q$ инъективно, то $n$ сюръективно. в) (5-лемма) Если $l,m,p,q$ – изоморфизмы, то $n$ – изоморфизм.