Топология-2. Лекция 1

Зачем нужны гомологии

Это курс алгебраической топологии: мы берём топологическое пространство и сопоставляем ему алгебраический объект, чтобы его изучать. Мы начнём с теории гомологий – будем строить по пространствам алгебраические объекты, называемые цепными комплексами, и вычислять их гомологии. Зачем строятся цепные комплексы, априори непонятно: топологию придумал Пуанкаре, гомологии у него были, а цепных комплексов не было. Так что сначала мотивация.

Один такой инвариант вы уже знаете: фундаментальная группа. Пространству с отмеченной точкой $(X, x_{0})$ сопоставляется группа $π_{1} (X, x_{0})$ : классы отображений $(S^{1}, *) \to (X, x_{0})$ с точностью до гомотопии, сохраняющей отмеченную точку. Элемент группы это петля, и две петли задают один элемент, если одну можно непрерывно продеформировать в другую так, что отмеченная точка остаётся на месте.

Это сопоставление есть функтор из категории пространств с отмеченной точкой в категорию групп: непрерывное отображение $f : (X, x_{0}) \to (Y, y_{0})$ задаёт гомоморфизм $f_{*} : π_{1} (X, x_{0}) \to π_{1} (Y, y_{0})$ , причём композиция переходит в композицию, а тождественное отображение – в тождественный гомоморфизм. Отсюда сразу следует, что изоморфные объекты переходят в изоморфные:

если $(X, x_{0}) ≅ (Y, y_{0})$ (гомеоморфны), то $π_{1} (X, x_{0}) ≅ π_{1} (Y, y_{0})$ .

Более того, гомотопные отображения индуцируют равные гомоморфизмы: если $f ≃ f^{'}$ , то $f_{*} = f_{*}^{'}$ . Поэтому изоморфные объекты уже гомотопической категории имеют изоморфные фундаментальные группы:

если $X ≃ Y$ (гомотопически эквивалентны), то $π_{1} (X) ≅ π_{1} (Y)$ .

Всё это вы должны знать. Так можно отличить букву Б от буквы В с точностью до гомотопической эквивалентности, а вот А от Б нельзя, они гомотопически эквивалентны. Видно и недостаток этого инварианта: он одномерный. Мы отображаем в $X$ что-то одномерное и замечаем только одномерные дырки; $π_{1} (S^{2})$ тривиальна, и двумерную сферу мы от плоскости не отличим. А хочется различать многомерные пространства, и для этого нужны многомерные аналоги фундаментальной группы. Их три хорошо известных.

Гомотопические группы. Определяются так же, только вместо окружности берётся $n$ -мерная сфера: $π_{n} (X, x_{0})$ это классы гомотопности отображений $(S^{n}, *) \to (X, x_{0})$ . При $n \geq 2$ это абелева группа. Они важны и сложны; мы поймём, почему важны, и немножко научимся их считать, но далеко не продвинемся – нужна гораздо более сложная техника. Гомотопические группы даже сфер до сих пор не посчитаны.

Группы бордизмов. Окружность есть единственное связное компактное одномерное многообразие, поэтому картинку с петлёй можно обобщить иначе: рассмотреть непрерывные отображения $M \to X$ гладких компактных $n$ -мерных многообразий без края с точностью до отношения бордантности. Два отображения $f : M \to X$ и $f^{'} : M^{'} \to X$ бордантны, если существует многообразие с краем $W$ размерности $n + 1$ , «плёнка», такое, что $\partial W = M ⊔ M^{'}$ , и отображение $F : W \to X$ , ограничения которого на край суть $f$ и $f^{'}$ . Получается группа $M O_{n} (X)$ ; мы её изучать не будем. Работать с этими группами люди научились далеко не сразу. О сложности задачи можно судить, подставив вместо $X$ точку: это классификация гладких многообразий с точностью до бордантности, и её сделал Рене Том около 1950 года, через пятьдесят лет после идеи, которая была у Пуанкаре.

Группы гомологий. По сути, это комбинаторная аппроксимация групп бордизмов. Происходит то же самое, только всё разбито на многогранники, триангулировано: элементы гомологий суть непрерывные отображения в $X$ триангулированных аналогов многообразий (псевдомногообразий), с точностью до аналога бордантности, который называется гомологичностью. Как реализовать эту идею на практике? Многогранник режем на самые простые многогранники, симплексы, $n$ -мерные аналоги треугольника. Тогда отображение в $X$ это линейная комбинация образов симплексов с коэффициентами $\pm 1$ , примыкающих друг к другу правильным образом. Условие «нет края» формализуется оператором взятия границы, в котором знаки расставлены так, чтобы границы сокращались там, где геометрически видно, что они сокращаются: граница отрезка есть одна его концевая точка минус другая, и если сложить три стороны треугольника, всё сократится. Значит, «без края» это то, на чём оператор границы равен нулю. А отношение эквивалентности: разность двух объектов есть чья-то граница. В сухом остатке все наши инварианты, «что-то с точностью до чего-то», записываются как ядро, профакторизованное по образу.

Именно Пуанкаре дал определение гомологий и сказал, что это бордизмы; примерно так это и было, но в его работах ничего не было доказано; методы комбинаторной аппроксимации потом придумали люди, чтобы строго доказать то, что у него было. Он был великий визионер.

Цепные комплексы

Переходим к чисто алгебраическому определению.

Определение (Цепной комплекс). Цепной комплекс $C_{∙}$ – последовательность абелевых групп $C_{n}$ , $n \in Z$ , и гомоморфизмов $d : C_{n} \to C_{n - 1}$ , понижающих градуировку на единицу,

\dots ⟶ C_{n + 1} d C_{n} d C_{n - 1} ⟶ \dots,

таких, что $d^{2} = 0$ : все двойные композиции $C_{n + 1} \to C_{n - 1}$ суть нулевые гомоморфизмы. Гомоморфизм $d$ называется дифференциалом, элементы $C_{n}$ – $n$ -мерными цепями.

Вместо абелевых групп можно брать векторные пространства над полем с линейными отображениями, модули над кольцом с линейными по кольцу гомоморфизмами; вообще это делается в абелевых категориях. У нас пока всё будет для абелевых групп.

Определение (Гомологии цепного комплекса). Для целого $n$ $n$ -я группа гомологий комплекса $C_{∙}$ –

H_{n} (C_{∙}) = \frac{ker ( d : C _{n} \to C _{n - 1} )}{im ( d : C _{n + 1} \to C _{n} )} = \frac{Z _{n}}{B _{n}},

фактор группы циклов $Z_{n}$ по группе границ $B_{n}$ .

Определение корректно: условие $d^{2} = 0$ равносильно тому, что, применив $d$ к чему угодно, попадаешь в ядро $d$ , то есть $im d \subset ker d$ .

Замечание (градуированная запись). Набор групп $C_{n}$ можно рассматривать как одну градуированную абелеву группу $C_{*} = ⨁_{n} C_{n}$ , элементы $C_{n}$ имеют степень $n$ ; тогда $d : C_{*} \to C_{*}$ есть градуированное отображение степени $- 1$ , $Z_{*}$ и $B_{*}$ градуированные подгруппы, и $H_{*} (C_{∙}) = Z_{*} / B_{*}$ фактор градуированной группы по градуированной подгруппе, сразу для всех $n$ . Звёздочка везде обозначает градуированный объект. Слово «гомологии» практически никогда не употребляется в единственном числе; единственное исключение: перевод книги Маклейна Homology как «Гомология».

Пример (комплексы с одной и двумя группами). Совсем скучный пример: все группы нулевые, кроме одной: $\dots \to 0 \to A \to 0 \to \dots$ . Это цепной комплекс (композиция любых двух дифференциалов нулевая), ядро на месте $A$ это всё $A$ , образ ноль, поэтому гомологии устроены так же: $A$ в этой градуировке и нули в остальных.

Чуть интереснее две ненулевые группы подряд: $\dots \to 0 \to A f B \to 0 \to \dots$ . Тоже всегда комплекс. В градуировке $A$ надо профакторизовать $ker f$ по образу нулевого гомоморфизма, в градуировке $B$ ядро нулевого гомоморфизма, то есть всё $B$ , по $im f$ , а это коядро $coker f$ . Итого гомологии: $ker f$ , $coker f$ , нули в остальных местах.

Пример (комплекс без гомологий). $0 \to A \to A \oplus B \to B \to 0$ , где $A$ вкладывается как первое слагаемое, а затем проецируется на второе. Гомологий нет, простое упражнение. Это не единственный пример: из трёх групп можно составить цепной комплекс без гомологий, не представимый в таком виде; тоже упражнение. Комплексы без гомологий называются точными последовательностями.

Как думать про элемент группы гомологий? Это элемент факторгруппы $Z_{n} / B_{n}$ : у него есть представитель сверху и есть неопределённость. Всякий $x \in H_{n} (C_{∙})$ представим в виде $x = [c]$ , где $c \in C_{n}$ цикл, $d c = 0$ , а сам $c$ определён с точностью до прибавления чьей-то границы:

[c] = [c^{'}] ⟺ \exists b \in C_{n + 1} : d b = c - c^{'} .

Важно запомнить и зафиксировать: мы никогда не пишем $[c]$ , если $c$ не цикл. Такая запись уже подразумевает, что $d c = 0$ в том комплексе, с которым мы работаем.

Геометрически про цикл мы думаем как про что-то $n$ -мерное, не имеющее границы, составленное из $n$ -мерных симплексов; два цикла гомологичны, если разницу между ними в каком-то смысле можно триангулировать. Вместо симплексов можно строить всю теорию, разбивая пространство на кубы; просто это неудобно по алгебраическим причинам.

Цепные комплексы образуют категорию; её морфизмы называются цепными отображениями, там есть аналоги гомотопий, тензорное произведение; всё потом.

Абстрактные симплициальные комплексы

Пока мы будем сопоставлять цепные комплексы не любому пространству, а только пространствам, разбитым на симплексы; тогда понятно, как туда симплексы отображать: вложить, и всё. Такие пространства строятся по-разному: симплициальные множества, полусимплициальные множества, симплициальные комплексы. Мы будем работать с симплициальными комплексами: самый ограничительный вариант, зато самый понятный, и на компьютере считать проще. Они настолько комбинаторны по своей природе, что кодируются на языке наборов множеств.

Определение (Абстрактный симплициальный комплекс). Пусть $V$ – множество (вершины). Симплициальный комплекс $K$ на множестве вершин $V$ – непустой набор конечных подмножеств $V$ , удовлетворяющий одной аксиоме:

I \in K, J \subset I ⟹ J \in K .

Элемент $I \in K$ называется симплексом (или гранью) комплекса; его размерность – $dim I = ∣ I ∣ - 1$ .

Геометрично, да? Мы думаем про симплициальный комплекс как про что-то, разбитое на симплексы разной размерности: точки, отрезки, треугольники, тетраэдры. Идея кодирования: где есть симплекс, скажем треугольник ${2, 3, 6}$ , это множество кладём в набор; а если ребро принадлежит комплексу, то и его вершины должны, поэтому добавляем все подмножества.

Пример (комплекс на шести вершинах). $V = {1, \dots, 6}$ ; $K$ состоит из треугольника ${2, 3, 6}$ , отрёзков ${1, 2}$ , ${1, 3}$ , ${5, 6}$ , вершины ${4}$ и всех их подмножеств. Тогда ${2, 6} \in K$ , а ${3, 4} \in / K$ . Формально из определения следует, что $\emptyset \in K$ ; это удобно из одних соображений и неудобно из других; $dim \emptyset = - 1$ . Точка, одноэлементное множество, нульмерна; отрезок, двухэлементное, одномерен, и так далее.

TikZ diagram — Комплекс $K$ на вершинах $1, \dots, 6$ : закрашенный треугольник ${2, 3, 6}$ , рёбра ${1, 2}$ , ${1, 3}$ , ${5, 6}$ , изолированная вершина $4$ , и все подмножества перечисленного.

Можно дополнительно требовать, чтобы все одноэлементные подмножества лежали в $K$ , то есть просто выкинуть лишние вершины; иногда удобно этого не требовать. Так довольно понятное «ручное» пространство кодируется конечными комбинаторными данными, которые удобно засовывать в компьютер.

Геометрическая реализация

Теперь надо научиться сопоставлять комплексу топологическое пространство. Один из способов: поместить вершины в пространство достаточно большой размерности и взять выпуклые оболочки; на прямой это не получится, нужна размерность хотя бы два, чтобы отрезки не пересекались. Удобнее всего взять точки максимально независимыми, концы базисных векторов: тогда уж точно никто ни с кем лишний раз не пересечётся.

Определение (Геометрический симплекс, геометрическая реализация). Рассмотрим векторное пространство $R^{V} = ⨁_{v \in V} R e_{v}$ с базисом, занумерованным вершинами. Для конечного $I \subset V$ геометрический симплекс –

Δ_{I} = conv {e_{v} ∣ v \in I} \subset R^{V},

выпуклая оболочка концов базисных векторов, рассматриваемая как топологическое пространство. Стандартный $n$ -мерный симплекс – $Δ^{n} = conv {e_{0}, \dots, e_{n}} \subset R^{n + 1}$ .

Геометрическая реализация симплициального комплекса $K$ –

∣ K ∣ = I \in K ⋃ Δ_{I} \subset R^{V} .

Пример с шестью вершинами так не нарисовать, надо вкладывать в шестимерное пространство. Но если $K = {\emptyset, {0}, {1}, {2}, {0, 1}}$ на вершинах ${0, 1, 2}$ , то внутри $Δ^{2}$ надо выбрать ребро $Δ_{{0, 1}}$ и точку $Δ_{{2}}$ ; их объединение, отрезок и точка, и есть геометрическая реализация $K$ .

Замечание (топология на). Если $V$ бесконечно, бесконечная прямая сумма покрывается конечномерными подпространствами, и на ней берётся топология объединения (предела). Для простоты можно считать $V$ конечным (на практике так и будет), но бояться бесконечного случая не надо: плоскость можно разрезать на треугольники и вполне комбинаторно описать, и геометрическая реализация будет гомеоморфна плоскости.

Определение (Триангуляция). Триангуляция топологического пространства $X$ – пара: симплициальный комплекс $K$ и гомеоморфизм $∣ K ∣ \to X$ .

Некоторые пространства можно триангулировать, некоторые нельзя.

Пример (окружность и сфера). Сколько вершин нужно, чтобы триангулировать окружность? Три: граница треугольника, комплекс на трёх вершинах из всех рёбер и вершин, его реализация гомеоморфна $S^{1}$ . На двух вершинах нельзя: комплексов на двух вершинах вообще мало (две точки, точка, отрезок), других подмножеств двухэлементного множества не бывает. «Двуугольник», граница двуугольника не симплициальный комплекс. Для двумерной сферы нужно четыре вершины, граница тетраэдра; на трёх вершинах, перебрав все комплексы, сферы не найти.

С помощью гомологий можно показать, что для триангуляции двумерной поверхности нужно число вершин, растущее примерно как корень из числа ручек. Это изученный вопрос, но задача про это в листочке будет.

Симплициальные цепи

Чтобы сопоставить симплициальному комплексу цепной комплекс, нужна ориентация. О том, что такое ориентация, говорить не хочется (вы не готовы к этому разговору), поэтому с этого места $V$ линейно упорядочено. У этого два бонуса; один сегодня, второй в следующий раз.

Первый бонус: если $I \in K$ грань размерности $k$ , то есть $∣ I ∣ = k + 1$ , то есть выделенная биекция ${0, 1, \dots, k} \to I$ : наименьший элемент $I$ отвечает нулю, следующий – единице, и так далее. Она задаёт канонический гомеоморфизм $Δ^{k} \to Δ_{I}$ . Это полезно: встретив в природе треугольник, линейный гомеоморфизм из стандартного треугольника в него можно построить многими способами ( $e_{0}$ в любую из трёх вершин, $e_{1}$ в любую из двух оставшихся), и если ваш друг найдёт тот же треугольник и упорядочит вершины иначе, будут проблемы в коммуникации. При упорядоченных вершинах есть выделенный объект.

Кроме того, для $i \in I$ корректно определено множество элементов $I$ , меньших $i$ :

I_{< i} = {j \in I ∣ j < i} .

Определение (Комплекс симплициальных цепей). Для $n \geq 0$ группа $n$ -мерных симплициальных цепей $C_{n}^{Δ} (K)$ – свободная абелева группа с базисом ${e_{I}}$ , занумерованным $n$ -мерными симплексами $I \in K$ , $∣ I ∣ = n + 1$ ; при $n < 0$ полагаем $C_{n}^{Δ} (K) = 0$ . Дифференциал задаётся на базисе формулой

d e_{I} = i \in I \sum (- 1)^{∣ I_{< i} ∣} e_{I ∖ i} .

Полученный цепной комплекс $C_{∙}^{Δ} (K)$ называется комплексом симплициальных цепей $K$ , а его гомологии

H_{n}^{Δ} (K) = H_{n} (C_{∙}^{Δ} (K))

– симплициальными гомологиями комплекса $K$ .

Смысл: элемент $C_{n}^{Δ} (K)$ есть формальная линейная комбинация $n$ -мерных симплексов, этот треугольник пять раз плюс тот минус семь раз (физики в этом месте веселились: как может быть минус семь треугольников?). Граница треугольника должна быть линейной комбинацией его сторон со знаками $\pm 1$ , подобранными так, чтобы у двух примыкающих треугольников общий отрезок сократился. Именно это делают знаки $(- 1)^{∣ I_{< i} ∣}$ , кошулевские знаки.

Пустая грань размерности $- 1$ в этом определении игнорируется: у неё нет геометрического смысла: где вы её видите? Снаружи всех измерений. К ней мы вернёмся.

Теорема (Корректность). $C_{∙}^{Δ} (K)$ с дифференциалом $d$ – корректно определённый цепной комплекс.

Доказательство. Формула задаёт гомоморфизм. Гомоморфизм из свободной абелевой группы достаточно задать на базисе: всякий элемент $C_{n}^{Δ} (K)$ однозначно записывается как конечная комбинация $c_{1} e_{I_{1}} + \dots + c_{k} e_{I_{k}}$ с целыми $c_{j}$ , и $d$ продолжается по линейности.

Правая часть лежит в $C_{n - 1}^{Δ} (K)$ . Пусть $I \in K$ , $∣ I ∣ = n + 1$ . Тогда $I ∖ i \subset I$ , значит, $I ∖ i \in K$ по аксиоме симплициального комплекса, и $∣ I ∖ i ∣ = n$ , так что $e_{I ∖ i}$ базисный элемент нужной группы. Без определения симплициального комплекса это бы не работало.

$d^{2} = 0$ . Достаточно проверить на базисном элементе. Дифференциал линеен, поэтому

d (d e_{I}) = i \in I \sum j \in I ∖ i \sum (- 1)^{∣ I_{< i} ∣} (- 1)^{∣ (I ∖ i)_{< j} ∣} e_{I ∖ {i, j}} .

Это сумма по упорядоченным парам различных элементов $I$ ; сгруппируем её по неупорядоченным парам $a < b$ . Пара ${a, b}$ возникает дважды: при $i = a$ , $j = b$ с показателем

∣ I_{< a} ∣ + ∣ (I ∖ a)_{< b} ∣

и при $i = b$ , $j = a$ с показателем

∣ I_{< b} ∣ + ∣ (I ∖ b)_{< a} ∣.

Множество $(I ∖ a)_{< b}$ состоит из элементов $I$ , меньших $b$ , из которых выкинули $a$ (а $a < b$ , так что $a$ там был): $∣ (I ∖ a)_{< b} ∣ = ∣ I_{< b} ∣ - 1$ . Множество $(I ∖ b)_{< a}$ состоит из элементов $I$ , меньших $a$ , а $b > a$ среди них не было: $∣ (I ∖ b)_{< a} ∣ = ∣ I_{< a} ∣$ . Показатели равны $∣ I_{< a} ∣ + ∣ I_{< b} ∣ - 1$ и $∣ I_{< a} ∣ + ∣ I_{< b} ∣$ , они разной чётности. Значит, при каждом $e_{I ∖ {a, b}}$ стоит $(- 1)^{k} + (- 1)^{k + 1} = 0$ , и всё страшное выражение равно нулю.

Итак, пайплайн: есть что-то триангулированное; запоминаем множества вершин, на которые натянуты симплексы; строим свободные абелевы группы и очень просто заданные гомоморфизмы между ними; дальше вычисляем ядра, образы и факторизуем. Это задача элементарной линейной алгебры: привести матрицы к нормальной форме Смита. Муторно: вычислить так гомологии даже ленты Мёбиуса это работа. Напрямую мы это делать не будем; в конце концов мы докажем теоремы, которые позволяют считать гомологии гораздо проще. Но пока надо с этим разобраться, мы никуда не торопимся.

Замечание (гомологии с коэффициентами). Вместо $Z$ можно поставить любую абелеву группу $A$ : $C_{n}^{Δ} (K; A) = ⨁_{∣ I ∣ = n + 1} A e_{I}$ , прямая сумма копий $A$ , дифференциал по той же формуле, и получить гомологии с коэффициентами в $A$ , $H_{n}^{Δ} (K; A)$ . Над $Q$ считать проще, но теряется часть информации. В конце курса мы поймём, что, посчитав над $Z$ , мы умеем считать над чем угодно; это теорема об универсальных коэффициентах: $Z$ универсальна. На компьютере считают над конечными полями, и, чтобы ничего не потерять, над полями всех характеристик.

Примеры вычислений

Пример (отрезок). $K$ есть отрезок с вершинами $1 < 2$ : $K = {\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$ . Комплекс цепей сосредоточен в размерностях $1$ и $0$ :

0 ⟶ C_{1} Z e_{12} d C_{0} Z e_{1} \oplus Z e_{2} ⟶ 0.

По формуле: выкидывая $1$ , получаем знак $(- 1)^{∣ {1, 2}_{< 1} ∣} = (- 1)^{0}$ , выкидывая $2$ знак $(- 1)^{1}$ , итого

d e_{12} = e_{2} - e_{1},

матрица дифференциала $(- 1 1)$ . Ядра у него нет, образ порождён $e_{2} - e_{1}$ . Значит,

H_{1}^{Δ} (K) = 0, H_{0}^{Δ} (K) = Z^{2} / ⟨ e_{2} - e_{1} ⟩ ≅ Z,

свободная группа, порождённая классом $[e_{1}] = [e_{2}]$ .

Геометрически: точка не имеет границы, это нульмерный цикл, и каждая из двух точек задаёт класс в гомологиях. Но эти классы равны, потому что циклы гомологичны: отрезок есть объект с краем, его край есть вторая точка минус первая, и он доставляет равенство. Одномерных классов нет: у $K$ нет одномерных дырок, есть только нульмерная, и она одна.

Гомологии принято записывать слева направо по возрастанию градуировки, а цепные комплексы по убыванию, потому что дифференциал понижает степень. Это немножко путает.

В общем случае для ребра ${i, j}$ , $i < j$ ,

d e_{ij} = e_{j} - e_{i} .

Для треугольника с вершинами $1 < 2 < 3$

d e_{123} = e_{23} - e_{13} + e_{12} .

Почему знаки такие? Нарисуем на рёбрах стрелки по возрастанию вершин, а на треугольнике против часовой стрелки. Рёбра $12$ и $23$ идут в том же направлении, что обход треугольника, а $13$ – в противоположном, поэтому оно с минусом. С плюсом всегда входит та гипергрань, которая не содержит наименьшей вершины (её знак даёт мощность пустого множества), а дальше знаки чередуются.

Замечание (порядок и ориентация). Задать порядок на вершинах это, в некотором смысле, и есть задать ориентацию: раз порядок задан, есть каноническое отождествление каждой грани со стандартным симплексом. В геометрии ориентация это про то, какие линейные операторы соединяются с тождественным путём, а какие нет; здесь то же самое: две нумерации грани отличаются перестановкой вершин, и знак есть чётность перестановки.

От выбора линейного порядка симплициальные гомологии не зависят; это можно проверить руками, но не очень познавательно: переставишь две вершины, и дифференциал портится. Более сильный анонс: если у двух симплициальных комплексов гомеоморфны геометрические реализации, то их симплициальные гомологии изоморфны. Без сингулярных гомологий эта теорема не доказывается: если одно пространство триангулировать по-разному, далеко не факт, что триангуляции можно согласованно измельчить. Доказательство такое: ввести сингулярные гомологии любого топологического пространства, чисто в терминах топологии, и доказать, что для триангулированного пространства они совпадают с симплициальными гомологиями триангуляции. Это в следующий раз.

Пример (две точки). Выкинем из отрезка ребро: $K = {\emptyset, {1}, {2}}$ . В комплексе цепей пропадает $C_{1}$ , остаётся $C_{0} = Z^{2}$ с нулевым дифференциалом, и

H_{0}^{Δ} (K) = Z^{2}, H_{n}^{Δ} (K) = 0 при n \neq = 0.

Два нульмерных цикла теперь ничем не связаны, между ними нет линейных зависимостей.

Пример (граница треугольника). Комплекс $K$ на вершинах $1 < 2 < 3$ из всех рёбер и вершин есть окружность. Комплекс цепей: $C_{1} = Z^{3}$ с базисом $e_{12}, e_{13}, e_{23}$ , $C_{0} = Z^{3}$ с базисом $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ , и по формуле для рёбер

d = - 1 10 - 1 01 0 - 1 1

(столбцы суть образы $e_{12}, e_{13}, e_{23}$ ). $H_{1}$ это ядро этой матрицы, $H_{0}$ коядро. Преобразованиями строк и столбцов (заменами базисов в $C_{0}$ и $C_{1}$ , которые гомологий не меняют) матрица приводится к диагональному виду $diag (1, 1, 0)$ : это нормальная форма Смита, и к ней приводится любое отображение $Z^{k} \to Z^{l}$ . Ядро одномерно, коядро есть $Z$ . В исходных базисах:

H_{1}^{Δ} (K) = Z \cdot [e_{23} - e_{13} + e_{12}], H_{0}^{Δ} (K) = Z \cdot [e_{1}],

где $[e_{1}] = [e_{2}] = [e_{3}]$ . Одномерный цикл, линейная комбинация рёбер с нулевой границей, это, как и следовало ожидать, обход треугольника.

Приведённые гомологии

Вернёмся к пустой грани.

Определение (Приведённые симплициальные цепи и гомологии). Комплекс приведённых симплициальных цепей $C_{∙}^{Δ} (K)$ определяется той же формулой, но пустое множество не игнорируется: $C_{n}^{Δ} (K)$ – свободная абелева группа на всех гранях размерности $n$ для любого $n$ . Изменилось немного: добавился один базисный вектор,

C_{n}^{Δ} (K) = C_{n}^{Δ} (K) при n \geq 0, C_{- 1}^{Δ} (K) = Z e_{\emptyset}, C_{n}^{Δ} (K) = 0 при n < - 1.

Дифференциал $ε : C_{0}^{Δ} \to C_{- 1}^{Δ}$ называется аугментацией; по формуле $ε (e_{{v}}) = (- 1)^{0} e_{\emptyset} = e_{\emptyset}$ для каждой вершины $v$ – все базисные элементы отправляются в единицу, очень скучно. Приведённые симплициальные гомологии это

H_{n}^{Δ} (K) = H_{n} (C_{∙}^{Δ} (K)) .

Пример (отрезок и две точки, приведённые). Для отрезка приведённый комплекс имеет вид

0 \to Z e_{12} d Z e_{1} \oplus Z e_{2} ε Z e_{\emptyset} \to 0,

$d = (- 1 1)$ , $ε = (11)$ . Ядро $ε$ порождено $e_{2} - e_{1}$ , то есть $ker ε = im d$ ; $ε$ сюръективна, коядро нулевое; $d$ инъективен. Все приведённые гомологии отрезка нулевые.

Для двух точек $C_{1}$ пропадает, образ $d$ ничего не убивает, и остаётся

H_{0}^{Δ} (K) = ker ε = Z \cdot [e_{2} - e_{1}], H_{- 1}^{Δ} (K) = coker ε = 0.

Вообще, если в комплексе есть хотя бы одна вершина, $ε$ сюръективна (граница вершины есть пустой симплекс, и пустой симплекс умирает), поэтому $(- 1)$ -х гомологий обычно не бывает.

Геометрически приведённые гомологии игнорируют класс в нулевых гомологиях, который есть всегда и который немножко раздражает: хочется, чтобы у пространства, гомотопически эквивалентного точке, гомологий не было. Для приведённых это верно, для обычных нет. Позже мы убедимся, что приведённые гомологии это в некотором смысле гомологии относительно точки.

В следующий раз сингулярные гомологии.