Геометрия. Лекция 2

Смотреть на YouTube

Мы начинаем блок, посвящённый конечным геометриям: фигурки, которые мы будем обсуждать, и группы, которые на них действуют, будут конечными. Тема сегодня – платоновы тела. В аудитории есть платоново тело? Вон там кубик, тетраэдр, вот эта странная штука – додекаэдр. Очень рекомендую почитать книжку Сосинского: там есть глава «Конечные подгруппы $S O (3)$ и платоновы тела», и в её начале рассказано, какое значение правильные многогранники имели для древней философии. Когда люди только начинали познавать мир с научной точки зрения, они пытались всё свести в одну систему – и орбиты планет, и многогранники; ещё у Кеплера была картинка, где многогранники вписаны и описаны вокруг орбит планет. Очень красиво, гравюры высочайшего качества, и не очень понятно, какое отношение это имеет к реальности, но попытка была хорошая.

Напоминание

Сначала кое-что из прошлой лекции и одна важная теорема.

Правое действие. Группа $G$ действует на множестве $M$ с правой стороны – пока без всяких изометрий, просто действует, – если по $x \in M$ и $g \in G$ мы умеем строить новый элемент $M$ , обозначаемый $xg$ (иногда ставят точку, иногда нет): мы применили преобразование $g$ к элементу $x$ . Формально это отображение $T : M \times G \to M$ (буква $T$ – из зала; « $F$ » – универсальная буква, а « $Δ$ » не годится, это тетраэдр), $T (x, g) = xg$ , записанное подряд, как слово. Аксиом две: $x (g_{1} * g_{2}) = (x g_{1}) g_{2}$ – если сначала подействовали $g_{1}$ , потом $g_{2}$ , это должно быть действие произведения, в котором два элемента скомпонованы операцией группы, звёздочкой; и $x e = x$ – нейтральный элемент никак не действует. (Упрёк принят: кванторы «для любых $x \in M$ , $g_{1}, g_{2} \in G$ » нужны; а около $e$ квантора нет, он в группе один и поставлен давным-давно.)

Орбита элемента $x$ – множество $Orb (x) = {xg : g \in G}$ : мы начинаем действовать элементами группы, $x$ разбегается по пространству, и куда добежит – то орбита. Если на одном множестве действуют разные группы, можно приписать индекс, $Orb_{G} (x)$ .

Стабилизатор элемента $x$ – $Stab (x) = {g \in G : xg = x}$ , те элементы группы, которые $x$ никуда не смогли сдвинуть. Я привык к другим обозначениям, но если вы с этим работаете не очень много, лучше писать текстом: «орбита», «стабилизатор» – немного избыточно, зато понятно; будет ещё звезда вершины и что-то такое.

Фундаментальная область. Про неё тоже надо напомнить – видимо, в прошлый раз это прозвучало не очень убедительно. Я дам определение не в самой максимальной общности, просто чтобы пропали сомнения. Пусть на плоскости действует группа $G$ .

Определение (Фундаментальная область). Фундаментальная область действия $G$ на плоскости – это фигура $F$ , для наших текущих нужд – многоугольник без границы, возможно, бесконечный (ограниченный лучами или отрезками прямых; это единственная цель упрощения – чтобы было понятно, где граница, где внутренность, и не думать про кривые границы), такая что

$F g \cap F = \emptyset$ для любого $g \in G$ , $g \neq = e$ ;
$\overline{⋃_{g \in G} F g} = R^{2}$ .

Здесь $F g = {xg : x \in F}$ – все точки фигуры $F$ сдвинуты одним и тем же преобразованием $g$ (на доске в прошлый раз это нигде не было написано); $\overline{F}$ – замыкание, наш $F$ с добавленными граничными точками.

Я сначала написал, что $F$ замкнут и распадается на внутренность и границу, а мне из зала напомнили, что на прошлой паре я говорил «область без границы». Какой я непоследовательный; спасибо, исправляем: $F$ открытый, многоугольник без границы. Разговор такой: внутренности не пересекаются, а когда берём с границами, они закрывают всё и перекрываются только по границам. Поэтому первое условие – про открытые куски, а во втором добавляется замыкание: граничные точки под покрытие открытыми кусками не попадают. Ну вот квадратик: у него есть граница из четырёх отрезков и внутренность; $F$ – квадратик без границы, $\overline{F}$ – с ней. Что такое внутренность, граница, замыкание – это топологические представления, они будут обсуждаться, скорее всего, в курсе анализа; чтобы не тратить на это время, пусть будет многоугольник. Когда мы будем говорить про модели плоскости Лобачевского и действие $S L_{2} (Z)$ на верхней полуплоскости, там фундаментальная область будет типа многоугольника, но границы – дуги окружностей и лучи; это мы переживём.

Пример (на плоскости). Что такое группа $Z + Z$ ? Пары целых чисел $(m, n)$ , складываются поэлементно; обратный элемент – минусы подрисовать, нейтральный – нули. Абелева группа. Устроим её действие на плоскости, самый простой вариант – сдвиг на вектор:

T : R^{2} \times (Z + Z) \to R^{2}, (x, y) (m, n) = (x + m, y + n) .

Геометрически: берём плоскость и всю целиком сдвигаем на вектор $(m, n)$ . Скажем, фигурка под действием элемента $(3, - 1)$ поедет как твёрдое тело на три вправо и на один вниз: наша группа действует на плоскости параллельными переносами.

Что взять в качестве фундаментальной области? Фундаментальная область существует не всегда, но если есть, то это приятно; здесь она есть. Открытый единичный квадратик $(0, 1) \times (0, 1)$ : сдвигами на целые числа по всем направлениям им можно замостить всю плоскость. Загляните в свою тетрадку в клетку: внутренности разных клеточек не пересекаются, граничат только по сторонам и вершинам; а если добавить границы, получится вся плоскость.

Это не единственный ответ. Другой квадратик, полученный сдвигом, тоже годится. Годится и вот такая фигурка – квадрат, у которого от одной стороны отрезан кусочек и приклеен к противоположной: сдвигаете её на целые числа – и всё равно замощение. А правильный шестиугольник внутри квадратика не годится: сдвигами на целые числа он плоскость не замостит. Треугольник – половина квадрата – тоже не годится: чтобы его образами замостить плоскость, нужно отражение, а отражений в нашем списке преобразований нет. Важно, что группа конкретная: вообще группа симметрий решётки на плоскости огромная – сдвиги, отражения, поворот на $9 0^{\circ}$ , – но мы обсуждаем только сдвиги на целые числа.

TikZ diagram — Действие $Z + Z$ сдвигами: единичный квадрат без границы – фундаментальная область, и фигурка с перенесённым с одной стороны на другую кусочком – тоже.

Вот задача, она пойдёт в следующий листок: какие параллелограммы на плоскости годятся на роль фундаментальной области этого действия? Площадь один нужна обязательно. Но узкий прямоугольник $2 \times \frac{1}{2}$ – длинный и малой высоты, площади один – не годится: при сдвиге вправо на единицу он перекрывается с собой, а при сдвиге вверх остаётся дырка. Хорошо, дискуссия началась – думайте.

Орбита и стабилизатор: важная теорема

Нам в какой-то момент надо будет понимать, сколько элементов в группе $G$ . В алгебре вам докажут замечательную теорему.

Теорема (Связь орбиты и стабилизатора). Если группа $G$ конечна и действует на $M$ , то для любого $x \in M$

∣ G ∣ = ∣ Orb (x) ∣ \cdot ∣ Stab (x) ∣.

Пример (Сколько симметрий у куба). В прошлый раз мы нашли какое-то чудовищное количество поворотов, $24$ , и ещё что-то. Давайте поймём, сколько в принципе есть симметрий у куба – изометрий пространства, переводящих куб в себя. $M$ – куб, $V_{1}, \dots, V_{8}$ – его вершины, как занумерованы, неважно.

Берём вершину и начинаем применять всякие симметрии куба. Куда её можно отобразить? Во все вершины: у куба очень высокая степень симметрии, всегда есть поворот на $9 0^{\circ}$ , которым можно прокрутить по этой грани, по той, и загнать вершину куда угодно. Орбита любой вершины – все восемь вершин.

Стабилизатор вершины: какие изометрии оставляют её на месте? Тождественное преобразование – очевидно. Ещё одно из самых удивительных открытий школьной стереометрии: куб можно поворачивать на $12 0^{\circ}$ вокруг диагонали, и он переходит в себя; это уже три. Ещё можно брать симметрии относительно плоскостей диагональных сечений – ещё три. А почему других нет? Вот что нам пригодится для платоновых тел: у вершины есть соседи, три штуки – из вершины выходят три ребра. Если вершина стоит на месте, при любом преобразовании куба в себя соседи переходят в соседей, уйти от этой точки они не могут. Сколькими способами три соседа можно перевести в три соседа? Это симметрическая группа $S_{3}$ , в ней шесть элементов, и все шесть мы только что реализовали: три поворота (циклически меняем порядок соседей) и три симметрии (два соседа меняем местами, третьего не трогаем). Стабилизатор любой вершины – шесть элементов.

По теореме: $∣ G ∣ = 8 \cdot 6 = 48$ – самый главный элемент таблицы умножения. С чем вас и поздравляю.

Правильные многогранники

Что такое правильный многогранник? Есть много определений – одни более жёсткие, другие более слабые, – но все они описывают один и тот же тип многогранников. Каждая грань должна быть правильным многоугольником, все одинаковые; а дальше надо как-то объяснить, что в вершинах всё устроено одинаково, что комбинаторно его нельзя собрать неаккуратно. Предлагаю такой вариант, как, собственно, делал Сосинский.

Определение (Правильный многогранник). Выпуклый многогранник называется правильным, если

все его грани – равные правильные многоугольники;
для любой вершины $V$ её соседи – вершины $A_{1}, A_{2}, \dots$ , соединённые с $V$ рёбрами, – лежат в вершинах плоского правильного многоугольника, и все такие многоугольники (по всем вершинам) равны.

У набора соседей есть научное название – линк, но не будем вводить лишних терминов. Когда соседей три, они, понятное дело, лежат в одной плоскости; а когда пять, они могут пойти волной – поэтому надо требовать плоскости. Посмотрите на додекаэдр: вершина смотрит на вас, из неё выходит три ребра, три соседа лежат в вершинах правильного треугольника, потому что он правильный.

Пример (Звёздчатый многогранник – не правильный). Возьмём икосаэдр и на каждую грань приклеим правильный тетраэдр; получится вот такая зубастая штука (если пирамидки правильные, все рёбра одной длины). Каждая грань – правильный треугольник, условие 1 выполнено. Проверим условие 2. У вершины на остриё три ребра, соседи образуют правильный треугольник – всё в порядке. А у вершины исходного икосаэдра сходится десять рёбер, соседи лежат в вершинах десятиугольника, и он неплоский, идёт волнами. Все такие многоугольники, можно сказать, правильные, но не плоские, и вдобавок у одних вершин треугольник, у других десятиугольник. Он неправильный – и ещё и не выпуклый, к тому же; всё плохо.

Про выпуклость. Если известно, какие грани и как они склеиваются, то выпуклый многогранник клеится единственным способом – есть такая теорема; об этом позже. А вот икосаэдр: вокруг вершины пять соседей; можно оторвать эту шапочку и вклеить внутрь, продавить – будет не выпуклый. Кто-то старался, клеил, ломать не буду.

Я думал, как построить разговор про многогранники, и понял, что довести его до уровня строгости, который бы меня устроил, не могу: я не знаю, какой уровень строгости был у вас в школах. Грубо говоря, от какого учебника геометрии вы отталкиваетесь, от того два шага – и у вас многогранник в совершенно строгом смысле; но от разных учебников путь разный, и тратить на это время неохота. Этот момент подзамнём – точно так же, как я не дал определения геометрии в смысле Клейна: наберём примеров, потом определим, и будет понятно, что это естественная вещь.

Какие правильные многогранники мы знаем? Пять: тетраэдр; куб; октаэдр – представляйте себе четырёхугольную пирамидку из четырёх правильных треугольников, приставленных друг к другу так, что внизу квадрат, и такую же пирамидку снизу; он там на шкафу лежит, и он абсолютно правильный по нашему определению – поставьте его на две противоположные вершины или положите на бок, он со всех сторон одинаковый, сто процентов без обмана; икосаэдр; додекаэдр. С открытием додекаэдра связана интересная история: он не очень вписывался в греческую систему описания мира, его держали в секрете; почитайте у Сосинского, как в одной из философских систем Древней Греции жили без него и как расстроились, когда узнали.

Другие размерности

Прежде чем доказывать, что других нет, очень хочется сообщить, сколько их в $R^{4}$ , $R^{5}$ и так далее. Что такое $R^{4}$ , все знают: четыре оси координат, попарно перпендикулярные; $R^{4}$ – четвёрки чисел, скалярное произведение – та же формула, что в $R^{3}$ : $x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots$ ; как только есть скалярное произведение, есть длины и углы, и всё в порядке.

Проблема в следующем. У многогранника в $R^{4}$ грани трёхмерные, у них есть грани меньшей размерности, двумерные, потом рёбра, потом вершины: иерархия «грань, ребро, вершина» удлиняется на одно звено, в $R^{5}$ ещё длиннее. Что такое правильный многогранник там? Можно по индукции: все грани – правильные многогранники на размерность меньше, и соседи каждой вершины лежат в вершинах правильного… Я предлагаю ещё более хитрый способ: попросить, чтобы степень симметрии была максимально возможной. Смысл очень простой.

Определение (Правильный многогранник – через флаги). Флаг многогранника в $R^{3}$ – это грань, в ней ребро, у ребра вершина; в $R^{4}$ – трёхмерная грань, в ней двумерная, в ней ребро, у него вершина, и так далее. Многогранник правильный, если его группа симметрий (повороты и отражения) переводит любой флаг в любой другой флаг.

У куба: эту грань можно перевести в ту? Без проблем. Грань в грань и заодно ребро на ней в ребро на той? Да – грань туда и подкрутить. Грань, ребро и одну из двух вершин на его конце – в грань, ребро, вершину? Тоже можно, отражения разрешены. Это и означает, что у куба максимальная степень симметрии: больше туда ничего не напихать. А кирпич, который мы в прошлый раз пытались, – у него степень симметрии по вершинам хорошая, а по граням нет: большую грань в боковую маленькую не перевести. Так что кирпич не правильный в том смысле, что степень симметрии не максимальная.

Ответ: в $R^{4}$ правильных многогранников шесть, и, к сожалению, я умею рисовать только три из них; у остальных и названий нет – откройте Сосинского или Википедию, там даже картинки нарисованы. А в размерности пять и выше ответ очень хороший: по три штуки – куб, тетраэдр (его обычно так и называют, не «гипертетраэдр») и гипероктаэдр, у которого много названий: кросс-политоп и другие. Это не бесплатная теорема, но мы сейчас легко догадаемся, какие это три.

Мне удобнее описать эти фигурки вершинами – просто предъявить вершины, а потом взять их выпуклую оболочку: самый маленький многогранник, который эти точки содержит («наматываем на них многогранник»).

Пример (Три серии).

Куб в $R^{n}$ : вершины $(\pm 1, \pm 1, \dots, \pm 1)$ , знаки выбираются независимо, $2^{n}$ точек – по одной в каждом октанте (координатные плоскости разбивают пространство на части: на плоскости квадранты, в $R^{3}$ октанты). На плоскости это четыре точки, в $R^{3}$ – восемь, в многомерии то же самое.
Тетраэдр (симплекс) размерности $n$ удобно рисовать в пространстве на единицу большего числа измерений: в $R^{n + 1}$ берём $n + 1$ точку $v_{k} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)$ – единица на $k$ -м месте, остальные нули, – то есть на каждой оси отступаем от начала координат на единицу, и берём выпуклую оболочку. Плоский правильный треугольник – тетраэдр размерности два – так получается в $R^{3}$ на трёх осях; берёте четыре оси – получится честный тетраэдр; в многомерии осей больше, картинка та же. Он там очень хорошо расположен, со всех сторон одинаковый; подскакивать на размерность приходится только для тетраэдра, куб и октаэдр живут в своей размерности.
Гипероктаэдр в $R^{n}$ : $2 n$ точек $(0, \dots, 0, \pm 1, 0, \dots, 0)$ – по каждой оси откладываем по единице туда и сюда – и выпуклая оболочка. В $R^{3}$ это шесть вершин на осях: сверху треугольник, ещё треугольник, снизу треугольник и назад ещё уходит – ровно та четырёхскатная картинка. Расстояние между соседними вершинами всегда $2$ , диагональ квадратика в координатной плоскости, – всё одинаковое.

Из шести многогранников в $R^{4}$ три я вам таким образом нарисовал, а три нарисовать, извините, не могу. Ещё два вы будете строить в листочке – там прямо координаты вершин выписаны, надо проверять, что получилось то, что надо.

Почему их не больше пяти

Давайте докажем теорему запрета: если правильный многогранник в $R^{3}$ есть, то он только из списка. Пусть у нас есть правильный многогранник в $R^{3}$ .

Степень вершины – сколько рёбер из неё выходит (то же, что число соседей). Она не меньше трёх: два ребра из вершины выйти могут, но тогда две грани сходятся и получается что-то плоское, а мы хотим многогранник. Сверху она тоже ограничена, и чтобы это понять, надо сообразить, каким может быть плоский угол правильного многоугольника.

Лемма (Угол правильного многоугольника). Угол правильного $n$ -угольника равен $π (1 - \frac{2}{n})$ ; в частности, он не меньше $π /3$ .

Доказательство. Сумма углов любого $n$ -угольника – $π (n - 2)$ (не « $180$ », вы воспитанные люди – $π$ ; для треугольника должно выйти $π$ ). Для выпуклого это легко: проведём диагонали из одной вершины, многоугольник разобьётся на $n - 2$ треугольника. Что невыпуклый тоже разбивается диагоналями на треугольники, – теорема верная, но никто не любит её доказывать. Делим на $n$ : угол правильного $n$ -угольника равен $π (1 - 2/ n)$ . Чем больше сторон, тем больше угол, при больших $n$ он почти $π$ ; самое маленькое – при наименьшем числе сторон, а меньше трёх не возьмёшь: $π /3$ .

Сколько углов можно собрать в одной вершине, чтобы получился многогранный угол? Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника меньше $2 π$ – шесть углов по $π /3$ дают ровно $2 π$ , плоскую штуку; строгое обоснование зависит от того, по какому учебнику вы изучали стереометрию, и это место мы немножко проигнорируем. Значит, степень вершины – от трёх до пяти. Теперь при каждой степени $k$ выясним, каким может быть $n$ – число сторон грани: нужно $k \cdot π (1 - 2/ n) < 2 π$ .

Степень $3$ : $n$ может быть $3$ , $4$ или $5$ – три треугольника, три квадрата, три пятиугольника; шесть уже нельзя, из шестиугольников как раз выходит плоская штука.
Степень $4$ : только $n = 3$ – четыре треугольника; четыре квадрата – уже плоско (я тут погорячился, сказав, что можно).
Степень $5$ : только $n = 3$ – пять треугольников.

Это чисто комбинаторный разговор, никакого метрического рассуждения: что мы в принципе можем склеить, чтобы получить многогранник. Склеить – в смысле развёртки: представьте, что поверхность склеена из бумаги, вы её бритвой разрезаете по рёбрам так, чтобы она развернулась на плоскость. Нарисуем развёртку вблизи вершины: три треугольника – это тетраэдр вблизи вершины (четвёртую грань я не нарисовал); три пятиугольника: угол пятиугольника $10 8^{\circ}$ (не $72$ – $72$ это внешний; о, я справился), $108 \cdot 3 = 324$ , остаётся маленький зазорчик до $360$ , и если этот край подклеить к этому, получится шапочка, как у додекаэдра, почти плоская.

Реализуются ли все пять возможностей? Да, вот они, все существуют. Запишем каждому многограннику два числа – число сторон грани и степень вершины; это называется символ Шлефли ${n, k}$ : тетраэдр ${3, 3}$ , куб ${4, 3}$ , октаэдр ${3, 4}$ – наоборот, икосаэдр ${3, 5}$ , додекаэдр ${5, 3}$ . Пять вариантов, пять многогранников; список полный.

Сколько граней и почему многогранник один

Мы ещё не знаем, сколько у каждого из них граней. Какой ужас. И возникает более интересный вопрос – он сейчас возник в нашей беседе. Условие, записанное парой чисел, локальное: мы обсудили, что происходит в вершине и на одной грани. А утверждаем, что якобы понимаем всё устройство целиком. Почему локальных данных достаточно, чтобы восстановить глобальное устройство многогранника – в частности, число граней? И почему нет другого, очень сложного многогранника с тем же символом, не из списка? Наверное, нет, наверное, они совпадут, но как? Несмотря на то что мы не дали определения многогранника, у нас есть представление о том, что это такое, и мы им пользуемся, но нигде не апеллируем к интуитивным соображениям: то, что мы пишем, годится для любого учебника.

Почему из шести квадратов куб собирается однозначно: три квадрата вокруг вершины, когда два соседа заданы, третий встаёт однозначно; дальше каждая следующая грань вклеивается жёстко, без вариантов, и так по кругу. С тетраэдром тоже нет проблем: три грани вокруг вершины – трёхгранный угол, а вы проходили тригонометрию трёхгранных углов, там двугранные углы вычисляются однозначно; с другой стороны всё одинаково. Октаэдр – вам задачка: почему, слепив восемь правильных треугольников по этой схеме, получишь конкретный многогранник, то есть для двух октаэдров с одной комбинаторикой и одной длиной ребра есть движение пространства, переводящее один в другой. Четыре треугольника вокруг вершины – гибкая штука, она дышит; нажмёшь – щёлкнет и поменяется. Про икосаэдр и додекаэдр – добавлю в следующий листок, раз вы этот вопрос задали.

Замечание (Теорема о жёсткости). Есть общая сильная теорема: у выпуклого многогранника схема склейки одна – если вы его соберёте, его метрические размеры в трёхмерном пространстве жёсткие. Вася взял выпуклый многогранник, бритвой разрезал по рёбрам, пометил, что к чему приклеить, сложил в конверт и отправил Пете; Петя достал и склеил грани скотчем, чтобы гнулось, – и получится ровно тот многогранник, что был изначально: за счёт выпуклости вмятин не будет, а дальше он жёсткий, не гнётся.

Как добраться до числа граней? Формула Эйлера – она есть в листочке, и она поможет.

Теорема (Эйлер). У выпуклого многогранника с $V$ вершинами, $E$ рёбрами и $F$ гранями

V - E + F = 2.

Берёте альтернированную сумму: нульмерные с плюсом, одномерные с минусом, двумерные с плюсом; для многомерного многогранника продолжали бы дальше – следующее слагаемое с минусом, потом с плюсом. То, что получается, называется эйлеровой характеристикой; но это отдельный вопрос, а утверждение – что у выпуклого многогранника всегда два. Не только для наших пяти, а вообще. Теорема непростая, там что-то надо повозить; у неё есть более общая формулировка, в которой её проще доказывать, но в листочке – вариант для многогранников, который вы, надеюсь, докажете. (В определённый момент почти все формулы, полученные человечеством, были формулами Эйлера: есть формула Эйлера в теории чисел, есть в матанализе; вот ещё одна.) Зная, что можно сказать про вершины и рёбра, отсюда можно понять, сколько граней. Это в листок тоже добавим: там было семь задач, будет девять.

Конечные подгруппы $S O (3)$ и двойственность

Время ещё есть; пообсуждаем понятие двойственности и группы симметрий. Есть и вторая точка зрения на правильный многогранник: это фигура, вписанная в сферу. Какая у сферы группа симметрий? Повороты на любой угол вокруг любой оси – уже бесконечно много, и ещё симметрии относительно плоскостей: группа огромная, бесконечная. Вопрос: есть ли в ней конечные подгруппы? (Куб – это не группа.)

Группа вращений сферы обозначается $S O (3)$ – без отражений; с отражениями – ортогональная группа $O (3)$ . Про $O (3)$ я сейчас говорить не хочу, только про повороты.

Теорема (Конечные подгруппы). Конечные подгруппы группы вращений $S O (3)$ , отличные от тривиальной, бывают пяти типов:

циклическая группа $Z_{n}$ , $n \geq 2$ ;
группа диэдра $D_{n}$ ;
$Iso^{+} (тетраэдр)$ – $12$ элементов;
$Iso^{+} (куб)$ ;
$Iso^{+} (икосаэдр)$ .

Плюсик означает, что берутся только симметрии, сохраняющие ориентацию $R^{3}$ : $Iso^{+} \subset Iso$ , отражения в плоскости запрещены. (Спасибо за поправку про тривиальную группу – двойка мне, я бы себе экзамен не сдал.) Доказательство я писать не буду: оно в книжке Сосинского, длинное, подробное, там хитрая алгебраическая техника с анализом вариантов; на доске это написать возможности нет, но познакомиться полезно – хотя бы понять, насколько детальными бывают доказательства таких теорем.

Про каждый тип по порядку.

Циклическая группа $Z_{n}$ . Что это такое конкретно? Группа, состоящая из степеней одного элемента; геометрически – повороты на углы $2 π k / n$ , $k \in Z$ ; их не бесконечно много, потому что $k$ , отличающиеся на $n$ , дают полный оборот, то есть как будто не поворачивали. Либо комплексные числа $e^{2 π ik / n}$ , либо вычеты по модулю $n$ – вы умеете их складывать.

Группа диэдра $D_{n}$ – по определению группа симметрий правильного $n$ -угольника. Это на плоскости, и тут интересно: перевернуть $n$ -угольник на плоскости – движение второго рода, а если представить, что вы тащите за собой всё пространство, – первого. Она состоит из поворотов на $2 π k / n$ , $k = 0, \dots, n - 1$ , и $n$ осевых симметрий. Как проходят оси? Правильный ответ: через центр многоугольника и середину стороны – а дальше разница между чётным и нечётным $n$ . При нечётном $n$ ось через центр и вершину выходит через середину противоположной стороны, через каждую вершину проходит своя ось, и этого хватает. При чётном $n$ ось через вершину и центр вылетает через другую вершину, таких осей $n /2$ , и оставшиеся $n /2$ надо провести через середины противоположных сторон: симметрии двух типов. Просто это надо знать, и всё, что переживать.

Три группы многогранников. У тетраэдра группа симметрий очень здоровая – $S_{4}$ , любую вершину можно переставить в любую; оставляем сохраняющие ориентацию – не $24$ , а $12$ элементов. Дальше куб и, по итогам голосования, икосаэдр (икосаэдр выиграл у додекаэдра).

Вам ничего здесь странным не кажется? Многогранников пять, а групп в списке три. Где додекаэдр, где октаэдр? Вы абсолютно правы: многогранники связаны соотношением двойственности. Понимать её можно по-всякому; опишу чисто геометрически. Посмотрите на символы Шлефли куба ${4, 3}$ и октаэдра ${3, 4}$ : число рёбер вокруг грани и число рёбер из вершины поменялись местами. Это на самом деле так и есть.

Пример (Куб и октаэдр двойственны). Берём куб и в центре каждой грани ставим по точке: шесть точек. Соединяем те точки, которые соответствуют граням с общим ребром: передняя и правая – соединили; передняя и левая; верхняя и передняя; левая и верхняя. Где-то мы это уже видели: это верхняя часть октаэдра. Действительно ли? Расстояние от центра одной грани до центра соседней по теореме Пифагора – $2$ на что-то, везде одно и то же, так что все новые рёбра одной длины. Почему получается треугольник? Потому что три грани сходятся в одной вершине куба: грани по кругу обходят вершину, и цепочка рёбер между их центрами образует грань. Рёбра остались на месте (каждому ребру куба – ребро между центрами двух его граней), а вершины и грани поменялись ролями. И наоборот: у октаэдра восемь граней, четырёхскатная крыша со всех сторон одинаковая; поставьте в центр каждой грани точку – получится квадрат (можно посчитать стереометрией), а поскольку он со всех сторон одинаковый, выходит шесть квадратов, организованных понятно как: куб.

Если есть симметрия куба, переводящая куб в себя, центры граней переходят в центры граней – куда им деться. Поэтому группа симметрий куба отображается в группу симметрий октаэдра, и группы совпадают – и группы всех симметрий, и группы вращений. Тетраэдр: двойственный к нему многогранник – тоже тетраэдр, только сильно поменьше и внутри; он самодвойственный. Икосаэдр и додекаэдр – двойственны: спилите у икосаэдра шапочку из пяти треугольников вокруг вершины – останется пятиугольник; спилите соседнюю – два пятиугольника, примыкающих по схеме, как положено. Ровно так и делается: в центр каждой грани ставится вершина, для граней, граничащих по ребру, проводится ребро, и пять треугольников вокруг вершины дают пятиугольник из новых рёбер. Так что на самом деле это не пять групп, а всего лишь три. (Двойственность – «типа транспозиция»: грани и вершины меняются ролями.)

Какая фигура на сфере даёт $Z_{n}$ и $D_{n}$ ? Три группы многогранников мы реализовали как подгруппы $S O (3)$ явно: впишите тетраэдр в сферу и вращайте его – сфера вокруг него описана и переходит в себя, так что каждое самосовмещение тетраэдра, не меняющее ориентации, – вращение сферы. А что за фигуру взять, чтобы её самосовмещения дали $Z_{n}$ или $D_{n}$ ? Призма? Прямую призму с правильным $n$ -угольником в основании можно вписать в сферу, но её, помимо поворотов, можно ещё перевернуть, поменяв верхнее и нижнее основания поворотом сферы, – это $D_{n}$ , диэдральная. Чтобы получилась просто циклическая, надо запретить переворот: правильная $n$ -угольная пирамида, даже здоровая, такая, чтобы нельзя было перевернуть, только крутить. (Или покрасить верхнюю грань в красный, нижнюю в синий – есть такой разговор, мы о нём поговорим, когда будем говорить про кристаллические решётки: берёте кубическую решётку, часть вершин красите в чёрный, часть в белый – так устроен кристаллик поваренной соли, – и симметрия получается более хитрая, чем у решётки.) А $Z_{2}$ – пирамида над двуугольником: две точки сферы, не противоположные, и над ними шпилька – равнобедренный треугольник с диаметром в качестве основания не подходит (его можно крутить вокруг диаметра, бесконечная группа), а вот треугольник над недиаметральной хордой можно только перевернуть, и остаётся $Z_{2}$ .

Всем спасибо за внимание; я сегодня завершил лекцию.