Векторы

Аналитическая геометрия изучает геометрические объекты средствами алгебры — через векторы и координаты. Эта статья вводит геометрические векторы и линейные операции над ними.

Определение. Вектор — направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и направление.

TikZ diagram — $A$ — начало, $B$ — конец вектора. Обозначается $A B$ , $a$ или $\overline{A B}$ .

В современных публикациях векторы часто набирают полужирным шрифтом ( $a$ ), а на письме обозначают стрелкой над буквой.

Определение. Длиной (модулем) вектора $A B$ называется длина отрезка $A B$ ; обозначается $∣ A B ∣$ или $∣ a ∣$ .

Определение. Нулевым вектором $0$ называется вектор нулевой длины ( $∣ 0 ∣ = 0$ ); его направление не определено.

Определение. Векторы $a$ и $b$ называются сонаправленными ( $a ↑↑ b$ ) или противоположно направленными ( $a ↑↓ b$ ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну или в противоположные стороны соответственно. Вектор $B A$ противоположно направлен вектору $A B$ .

Определение. Векторы $a$ и $b$ называются равными, если они имеют одинаковую длину $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ и сонаправлены $a ↑↑ b$ .

Замечание. Равные векторы называют свободными: один и тот же вектор можно отложить от любой точки.

Линейные операции над векторами

Линейные операции — это сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

Определение. Суммой векторов $a$ и $b$ называется вектор $a + b$ , построенный по правилу треугольника: если $O A = a$ и $A B = b$ , то $a + b = O B$ .

Если оба вектора отложить от одной точки, сумму удобно строить по правилу параллелограмма — она совпадает с диагональю:

Определение. Разностью векторов $a$ и $b$ называется такой вектор $c = a - b$ , что $b + c = a$ . Если оба вектора отложены от одной точки, разность направлена от конца $b$ к концу $a$ .

Определение. Произведением вектора $a$ на число $λ \in R$ называется вектор $λ a$ длины $∣ λ a ∣ = ∣ λ ∣ \cdot ∣ a ∣$ , сонаправленный с $a$ при $λ > 0$ и противоположно направленный при $λ < 0$ (при $λ = 0$ получается $0$ ).

Свойства линейных операций

Для любых векторов $a, b, c$ и чисел $λ, λ_{1}, λ_{2} \in R$ :

$a + b = b + a$ — коммутативность сложения;
$(a + b) + c = a + (b + c)$ — ассоциативность;
$a + 0 = a$ ;
$a + (- a) = 0$ ;
$1 \cdot a = a$ ;
$λ_{1} (λ_{2} a) = (λ_{1} λ_{2}) a$ ;
$(λ_{1} + λ_{2}) a = λ_{1} a + λ_{2} a$ ;
$λ (a + b) = λ a + λ b$ ;
$0 \cdot a = 0$ .

Коллинеарность и компланарность

Определение. Ненулевые векторы $a$ и $b$ называются коллинеарными ( $a ∥ b$ ), если существует прямая, которой они оба параллельны. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение. Векторы $a, b, c$ называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Разложение вектора по коллинеарному

Лемма. Если $b ∥ a$ и $a \neq = 0$ , то существует единственное число $λ \in R$ такое, что $b = λ a$ .

Доказательство. Так как $a \neq = 0$ , то $∣ a ∣ \neq = 0$ . Если $b = 0$ , годится $λ = 0$ . Пусть $b \neq = 0$ . Положим

λ = ⎩ ⎨ ⎧ - \frac{∣ b ∣}{∣ a ∣}, - \frac{∣ b ∣}{∣ a ∣}, b ↑↑ a, b ↑↓ a .

Тогда $∣ λ a ∣ = ∣ λ ∣ ∣ a ∣ = ∣ b ∣$ , и $λ a$ направлен так же, как $b$ ; значит, $λ a = b$ . Единственность: если $λ_{1} a = λ_{2} a$ , то $(λ_{1} - λ_{2}) a = 0$ , а поскольку $a \neq = 0$ , получаем $λ_{1} = λ_{2}$ .

Лемма — простейший случай разложения. На плоскости любой вектор единственным образом раскладывается по двум неколлинеарным векторам, а в пространстве — по трём некомпланарным. Это приводит к понятиям базиса и координат вектора, рассмотренным в статье Базис, координаты и проекция вектора.