Базис, координаты и проекция вектора

В статье Векторы показано, что вектор, коллинеарный ненулевому $a$ , единственным образом записывается как $λ a$ . Этот факт обобщается на два и три вектора и приводит к понятиям базиса и координат.

Разложение вектора по базису

Теорема. Если $a \neq = 0$ , $b \neq = 0$ и $a ∦ b$ , то любой компланарный с ними вектор $c$ единственным образом раскладывается по $a$ и $b$ :

c = λ a + μ b, λ, μ \in R .

Доказательство. Существование. Отложим $a, b, c$ от общей точки $O$ ; пусть $O C = c$ . Через точку $C$ проведём прямые, параллельные $a$ и $b$ ; они пересекут прямые, содержащие $a$ и $b$ , в точках $A$ и $B$ (это возможно, так как $a ∦ b$ ). По правилу параллелограмма $c = O A + O B$ . Так как $O A ∥ a$ и $O B ∥ b$ , по лемме о коллинеарных векторах существуют числа $λ, μ$ с $O A = λ a$ , $O B = μ b$ . Значит, $c = λ a + μ b$ .

Единственность. Пусть $λ a + μ b = λ_{1} a + μ_{1} b$ . Тогда $(λ - λ_{1}) a = - (μ - μ_{1}) b$ . Если бы $λ \neq = λ_{1}$ , то $a = - \frac{μ - μ _{1}}{λ - λ _{1}} b$ , то есть $a ∥ b$ — противоречие. Поэтому $λ = λ_{1}$ , а затем и $μ = μ_{1}$ .

TikZ diagram — Разложение $c = λ a + μ b$ по правилу параллелограмма.

Теорема. Если ненулевые векторы $a, b, c$ некомпланарны, то любой вектор $d$ пространства единственным образом раскладывается по ним:

d = λ a + μ b + ν c, λ, μ, ν \in R .

Доказательство. Существование. Отложим векторы от точки $O$ , $O D = d$ . Через конец $D$ проведём прямую, параллельную $c$ , до пересечения с плоскостью векторов $a, b$ в точке $P$ (пересечение существует, так как $c$ не компланарен $a, b$ ). Тогда $d = O P + P D$ , где $P D ∥ c$ , значит $P D = ν c$ ; а $O P$ лежит в плоскости $a, b$ и по предыдущей теореме равен $λ a + μ b$ .

Единственность доказывается так же, как в плоском случае: разность двух разложений даёт нетривиальную линейную зависимость некомпланарных векторов, что невозможно.

Базис и система координат

Определение. Базисом на плоскости называется любая пара неколлинеарных векторов, а в пространстве — любая тройка некомпланарных векторов. Коэффициенты разложения вектора по базису называются его координатами в этом базисе; по доказанным теоремам они определены однозначно.

Определение. Ортом вектора $a \neq = 0$ называется сонаправленный с ним вектор $a^{\circ}$ единичной длины:

a^{\circ} = \frac{a}{∣ a ∣}, ∣ a^{\circ} ∣ = 1, a^{\circ} ↑↑ a .

Определение. Базис называется ортонормированным, если он состоит из попарно ортогональных ортов.

Определение. Совокупность точки $O$ и приложенного к ней ортонормированного базиса $i, j, k$ называется прямоугольной декартовой системой координат ${O, i, j, k}$ ; точка $O$ — начало координат, а $O A$ — радиус-вектор точки $A$ .

Раскладывая вектор по осям, получаем его координаты:

a = x i + y j + z k = (x; y; z) .

Координаты точки $A$ — это координаты её радиус-вектора $O A$ ; вектор по двум точкам $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ , $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ равен $A B = O B - O A = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .

Линейные операции в координатах

Пусть $a = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ и $b = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ . Поскольку разложение по базису единственно, операции над векторами сводятся к операциям над координатами:

a \pm b = (x_{1} \pm x_{2}; y_{1} \pm y_{2}; z_{1} \pm z_{2}), λ a = (λ x_{1}; λ y_{1}; λ z_{1}) .

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, а условие коллинеарности — пропорциональность координат:

a ∥ b ⟺ \frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{z _{1}}{z _{2}} .

Пример. Для точек $A (1; 2; 3)$ и $B (4; 6; 5)$ имеем $A B = (3; 4; 2)$ и $∣ A B ∣ = 9 + 16 + 4 = 29$ . Вектор $c = (6; 8; 4)$ коллинеарен $A B$ , так как $\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{4}{2} = 2$ , то есть $c = 2 A B$ . (Если какая-то координата равна нулю, пропорцию заменяют прямой проверкой $c = λ A B$ .)

Проекция вектора на ось

Пусть $l$ — направленная прямая с направляющим вектором $w \neq = 0$ , $w ∥ l$ . Опустив из концов $A$ , $B$ перпендикуляры на $l$ , получим их проекции $A_{1}$ , $B_{1}$ .

Определение. Проекцией вектора $A B$ на ось $l$ называется число

пр_{l} A B = {+ ∣ A_{1} B_{1} ∣, - ∣ A_{1} B_{1} ∣, A_{1} B_{1} ↑↑ w, A_{1} B_{1} ↑↓ w .

Теорема.

пр_{l} A B = ∣ A B ∣ \cdot cos φ, φ = (A B, w) .

Доказательство. Рассмотрим три случая по величине угла $φ$ .

$0 \leq φ < \frac{π}{2}$ : вектор $A_{1} B_{1}$ сонаправлен с $w$ , а из прямоугольного треугольника с гипотенузой $A B$ катет $∣ A_{1} B_{1} ∣ = ∣ A B ∣ cos φ$ ; значит $пр_{l} A B = ∣ A B ∣ cos φ$ .
$\frac{π}{2} < φ \leq π$ : $A_{1} B_{1} ↑↓ w$ , проекция отрицательна, а острый угол треугольника равен $π - φ$ , поэтому $пр_{l} A B = - ∣ A_{1} B_{1} ∣ = - ∣ A B ∣ cos (π - φ) = ∣ A B ∣ cos φ$ .
$φ = \frac{π}{2}$ : $A_{1} \equiv B_{1}$ , значит $пр_{l} A B = 0 = ∣ A B ∣ cos \frac{π}{2}$ .

Во всех случаях $пр_{l} A B = ∣ A B ∣ cos φ$ .

Проекция линейна — это свойство понадобится при выводе скалярного произведения.

Теорема. Для любых векторов $a, b$ и любого $λ \in R$ :

пр_{l} (a + b) = пр_{l} a + пр_{l} b, пр_{l} (λ a) = λ пр_{l} a .

Доказательство. Отложим $a = A B$ и $b = B C$ цепочкой, тогда $a + b = A C$ . Их проекции на $l$ — точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ . Знаковые длины на прямой аддитивны: $\overline{A_{1} C_{1}} = \overline{A_{1} B_{1}} + \overline{B_{1} C_{1}}$ , то есть $пр_{l} (a + b) = пр_{l} a + пр_{l} b$ . При умножении на $λ$ отрезок-проекция растягивается в $∣ λ ∣$ раз, а его знак сохраняется при $λ > 0$ и меняется при $λ < 0$ — то есть знаковая проекция умножается на $λ$ .

Проекция вектора на вектор

Проекция на вектор $b$ — это проекция на ось, заданную направлением $b$ :

пр_{b} a = ∣ a ∣ cos φ, φ = (a, b) .

Через проекцию и угол между векторами определяется скалярное произведение, для которого линейность проекции даёт свойства дистрибутивности.