Фёдор Вылегжанин

Задачи курса «Топология-2» (Ф. Е. Вылегжанин, НМУ, осень 2026), листок 2 от 16 сентября 2026 г. — сингулярные гомологии и цепные гомотопии. Цепное отображение из симплициальных цепей в сингулярные; ретракция и прямое слагаемое; гомоморфизм Гуревича из фундаментальной группы в первые гомологии; конечные CW-комплексы и классы гомологий; гомологии объединения цепочки пространств; гомологии симплекса и его остова; симплициальные отображения; цепная гомотопическая эквивалентность комплекса и его гомологий; цепная гомотопность как отношение эквивалентности; 5-лемма.

Задачи курса «Топология-2» (Ф. Е. Вылегжанин, НМУ, осень 2026), листок 1 от 9 сентября 2026 г. — симплициальные гомологии и цепные комплексы. Нулевые гомологии и компоненты связности; гомологии несвязного объединения и букета; триангуляции окружности, сферы, ленты Мёбиуса; джойн и произведение симплициальных комплексов; эйлерова характеристика и неравенства Морса; число вершин триангуляции поверхности; операции над цепными комплексами; точные последовательности; нормальная форма Смита и разложение комплекса.

Сингулярные гомологии — стандартные симплексы и вложения гиперграней, сингулярные симплексы и цепи, дифференциал; нулевые гомологии и компоненты линейной связности, гомологии точки, приведённые гомологии; цепные отображения и отображения гомологий, функториальность, цепное отображение, индуцированное непрерывным отображением; цепные гомотопии и призма; теорема о гомотопической инвариантности с полным доказательством через призменный оператор; подкомплексы, факторкомплексы и гомологии пары.

Где симплициальные гомологии встречаются в жизни — топологический анализ данных. Объединение шаров вокруг облака точек, персистентные модули и их разложение в сумму интервальных модулей над полем (структурная теорема и алгоритм), баркод; комплексы Виеториса–Рипса и Чеха; теорема об устойчивости баркода, расстояния Хаусдорфа, Громова–Хаусдорфа и Васерштейна; открытые покрытия и их нерв, покрытия Лере и теорема о нерве, категория покрытий, паракомпактность, размерность по Лебегу, гомологии и когомологии Чеха.