Топология, Листок 2

Задача 1. Докажите, что интервал $(a,b)\subset \mathbb{R}$ гомеоморфен $\mathbb{R}$. Квадрат в ${\mathbb{R}}^2$ гомеоморфен кругу в ${\mathbb{R}}^2$.

Задача 2. Пусть $f:X\to Y$ - непрерывное отображение топологических пространств. Предположим, что $Y$ - хаусдорфово. Докажите, что множество

замкнуто в $X$. Докажите, что если $f:X\to X$ - непрерывное отображение хаусдорфова пространства $X$ на себя, то множество неподвижных точек

замкнуто в $X$.\

Задача 3. Пусть ${\tau }_1$ и ${\tau }_2$ - топологии на множестве $X$, причем ${\tau }_1\subset {\tau }_2$. Предположим, что $\left(X,{\tau }_2\right)$ компактно. Докажите, что $\left(X,{\tau }_1\right)$ компактно.

Задача 4. Приведите пример топологий ${\tau }_1$ и ${\tau }_2$ на множестве $X$ таких что, ${\tau }_1\not\subset {\tau }_2$ и ${\tau }_2\not\subset {\tau }_1$.

Задача 5. Докажите, что компактное хаусдорфово пространство регулярно (для любой точки и для любого замкнутого множества, не содержащего эту точку, существуют непересекающиеся открытые окрестности). Докажите, что оно нормально (любые два непересекающихся замнутых множества имеют непересекающиеся открытые окрестности).

Задача 6. Пусть $X,Y,Z$ - топологические пространства. Докажите, что отображение $f:Z\to X\times Y$ непрерывно тогда и только тогда когда композиции с естественными проекциями ${\mathrm{pr}}_1\circ f:Z\to X$ и ${\mathrm{pr}}_2\circ f:Z\to Y$ непрерывны.

Задача 7. Пусть отображения топологических пространств $f:X_1\to X_2$ и $g:Y_1\to Y_2$ непрерывны. Определите естественное отображение

и покажите, что оно непрерывно.\

Задача 8. Определим график ${\Gamma }_f$ непрерывного отображения топологических пространств $f:X\to Y$ следующим образом:

Докажите, что ограничение естественной проекции ${\mathrm{pr}}_1:X\times Y\to X$ индуцирует гомеоморфизм $X\simeq {\Gamma }_f$.

Задача 9. Докажите, что топология на топологическом пространстве $X$ дискретна тогда и только тогда, когда диагональ

открыта в $X\times X$.

Задача 10. Докажите, что топологическое пространство $X$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда диагональ $\Delta \subset X\times X$ замкнута в $X\times X$.

Задача 11. Докажите, что произведение топологических пространств $X\times Y$ компактно тогда и только тогда, когда $X$ и $Y$ компактны.

Задача (12*). Докажите теорему Тихонова: произведение непустого множества компактных пространств компактно.

Задача 13. Докажите, что график непрерывного отображения из связного пространства связен.

Задача 14. Докажите, что произведение топологических пространств $X\times Y$ связно тогда и только тогда, когда $X$ и $Y$ связны.

Задача 15. Докажите, что отрезок $[a,b]\subset \mathbb{R}$ связен.\

Задача 16. Опишите все связные открытые подмножества вещественной прямой $\mathbb{R}$.