Топология–1. Лекция 2

Лекция начинается ровно там, где закончилась первая: с понятия базы топологии.

База топологии

Напомним определение из конца прошлой лекции.

Определение (База топологии). Пусть $(X, τ)$ — топологическое пространство. Семейство открытых множеств $B \subset τ$ называется базой топологии $τ$ , если любое открытое множество $U \in τ$ представимо в виде объединения элементов $B$ :

U = i \in I ⋃ U_{i}, U_{i} \in B .

База — это экономный способ задать топологию: достаточно описать не все открытые множества, а лишь подкласс, объединениями которого получается вся топология. Следующее утверждение показывает, что для проверки непрерывности тоже достаточно базы.

Утверждение (непрерывность через базу). Пусть $f : X \to Y$ — отображение топологических пространств и $B_{Y}$ — база топологии на $Y$ . Тогда $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда $f^{- 1} (U)$ открыто для любого $U \in B_{Y}$ .

Доказательство. ( $\Rightarrow$ ) Если $f$ непрерывно, то прообраз любого открытого множества открыт; в частности, открыты прообразы элементов базы, ведь $B_{Y} \subset τ_{Y}$ .

( $\Leftarrow$ ) Пусть прообраз любого элемента базы открыт. Возьмём произвольное открытое $V \in τ_{Y}$ . По определению базы $V = ⋃_{i} U_{i}$ , где $U_{i} \in B_{Y}$ . Тогда

f^{- 1} (V) = f^{- 1} (i ⋃ U_{i}) = i ⋃ f^{- 1} (U_{i}),

так как прообраз перестановочен с объединением. Каждое $f^{- 1} (U_{i})$ открыто по предположению, значит и их объединение открыто. Следовательно, $f$ непрерывно.

Можно охарактеризовать базы и в отрыве от топологии: по набору подмножеств понять, порождает ли он топологию.

Утверждение (критерий базы). Пусть $X$ — множество и $B \subset 2^{X}$ . Тогда $B$ является базой некоторой топологии $τ$ на $X$ тогда и только тогда, когда:

множества базы покрывают $X$ :

$U \in B ⋃ U = X;$
для любых $U_{1}, U_{2} \in B$ и любой точки $x \in U_{1} \cap U_{2}$ существует $U \in B$ такое, что

$x \in U \subset U_{1} \cap U_{2} .$

Доказательство. ( $\Rightarrow$ ) Пусть $B$ — база топологии $τ$ . Тогда $X \in τ$ , значит $X$ — объединение элементов базы, откуда условие (1). Далее, для $U_{1}, U_{2} \in B \subset τ$ пересечение $U_{1} \cap U_{2}$ открыто, поэтому представимо объединением элементов базы; в частности, любая точка $x \in U_{1} \cap U_{2}$ лежит в некотором $U \in B$ , $U \subset U_{1} \cap U_{2}$ .

( $\Leftarrow$ ) Пусть выполнены (1) и (2). Объявим открытыми всевозможные объединения элементов $B$ :

τ = {i \in I ⋃ U_{i} U_{i} \in B} .

Проверим аксиомы. Пустое множество — объединение по пустому набору индексов; всё $X$ — объединение всех элементов базы по условию (1). Объединение объединений снова объединение, поэтому $τ$ замкнуто относительно произвольных объединений. Наконец, для $U_{1} = ⋃_{i} A_{i}$ и $U_{2} = ⋃_{j} B_{j}$ (где $A_{i}, B_{j} \in B$ ) по дистрибутивности

U_{1} \cap U_{2} = i, j ⋃ (A_{i} \cap B_{j}),

а каждое $A_{i} \cap B_{j}$ по условию (2) представимо объединением элементов базы. Значит, $U_{1} \cap U_{2} \in τ$ , и $τ$ — топология с базой $B$ .

TikZ diagram — Условие (2) критерия базы: для точки $x \in U_{1} \cap U_{2}$ найдётся элемент базы $U$ с $x \in U \subset U_{1} \cap U_{2}$ .

Топология произведения

Пример. У стандартной евклидовой топологии на $R$ есть счётная база: интервалы $(a, b)$ с рациональными $a, b$ . Их счётное число, тогда как интервалов с вещественными концами несчётно — база может быть строго «меньше» самой топологии.

Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства. На множестве пар

X \times Y = {(x, y) ∣ x \in X, y \in Y}

зададим топологию, указав базу.

Определение (Топология произведения). Базой топологии произведения на $X \times Y$ называется семейство «прямоугольных» множеств

B = {U \times V ∣ U \in τ_{X}, V \in τ_{Y}} .

Порождённая ею топология называется топологией произведения.

Замечание. Семейство $B$ действительно является базой. Условие (1) очевидно: $X \times Y \in B$ . Условие (2) выполнено даже в усиленном виде — пересечение двух прямоугольников снова прямоугольник:

(U \times V) \cap (U^{'} \times V^{'}) = (U \cap U^{'}) \times (V \cap V^{'}) .

Аналогично определяется произведение любого конечного числа пространств; топология не зависит от порядка сомножителей (работает ассоциативность). Произведение бесконечного числа пространств определяется отдельно (задача «со звёздочкой»).

Утверждение. Проекции $π_{X} : X \times Y \to X$ и $π_{Y} : X \times Y \to Y$ непрерывны.

Доказательство. Для открытого $U \in τ_{X}$ прообраз $π_{X}^{- 1} (U) = U \times Y$ является базовым множеством (так как $U$ открыто в $X$ , а $Y$ открыто в $Y$ ), а значит открыт. Аналогично для $π_{Y}$ .

Замечание. В терминах теории категорий построенное произведение является категорным произведением (обладает соответствующим универсальным свойством); подробнее об этом позже.

Евклидово пространство $R^{n}$

Применяя топологию произведения $n$ раз к $R$ , получаем топологию на

R^{n} = n R \times \dots \times R .

Пример. Упражнение. Топология произведения на $R^{n}$ совпадает со стандартной евклидовой топологией. Последнюю можно задать через метрику: множество $U \subset R^{n}$ открыто, если для любой точки $x \in U$ найдётся шар

B (x, ε) = {y \in R^{n} ∣ d (x, y) < ε} \subset U, d (x, y) = i = 1 \sum n (x_{i} - y_{i})^{2} .

Это частный случай определения топологии метрического пространства (о нём — позже).

Тем самым определена топология на любом подмножестве $R^{n}$ — индуцированная с $R^{n}$ . В частности, мы умеем задавать топологию на следующих пространствах.

Определение (Сфера и диск).

S^{n - 1} = {x \in R^{n} ∣ x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2} = 1}, D^{n} = {x \in R^{n} ∣ x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2} \leq 1} .

Пример.

$S^{0} = {- 1, 1}$ — две точки.
$S^{1} \subset R^{2}$ — окружность. Теперь топология на $S^{1}$ определена строго (индуцирована с $R^{2}$ ), и прошлый пример (непрерывная биекция $[0, 1) \to S^{1}$ , не являющаяся гомеоморфизмом) обоснован полностью.
$D^{1} = [- 1, 1]$ — замкнутый отрезок.

Пример. Несколько упражнений (часть — из листка):

Любые два интервала (открытых или замкнутых) гомеоморфны интервалу $(0, 1)$ — гомеоморфизм задаётся сдвигом и гомотетией (линейной функцией).
Открытый интервал гомеоморфен всей прямой $R$ . А замкнутый отрезок $R$ не гомеоморфен: отрезок компактен, а $R$ — нет.
Диск $D^{n}$ гомеоморфен кубу $I^{n}$ , где $I = [- 1, 1]$ (или $[0, 1]$ ).
Тор $T^{2} = S^{1} \times S^{1}$ вкладывается в $R^{4}$ (поскольку $S^{1} \subset R^{2}$ , то $S^{1} \times S^{1} \subset R^{2} \times R^{2} = R^{4}$ ), а также — менее симметрично — в $R^{3}$ («бублик»).

Сравнение топологий

Определение (Грубее и тоньше). Пусть $τ_{1}, τ_{2}$ — топологии на $X$ и $τ_{1} \subset τ_{2}$ . Тогда $τ_{1}$ называется более грубой (открытых множеств не больше), а $τ_{2}$ — более тонкой (открытых множеств не меньше).

Тривиальная топология самая грубая ( ${\emptyset, X}$ ), дискретная — самая тонкая ( $2^{X}$ ). Отношение «грубее/тоньше» задаёт частичный порядок на множестве всех топологий: не любые две топологии сравнимы.

Упражнение. Привести пример двух несравнимых топологий $τ_{1} \neq \subset τ_{2}$ , $τ_{2} \neq \subset τ_{1}$ .

Замечание (Универсальное свойство произведения). Топологию произведения можно охарактеризовать так: это самая грубая топология на $X \times Y$ , при которой обе проекции $π_{X}, π_{Y}$ непрерывны. Такое определение через универсальное свойство сразу даёт единственность: если две топологии обе «самые грубые» с этим свойством, то каждая вложена в другую, значит они совпадают.

Аксиомы отделимости

Помимо хаусдорфовости ( $T_{2}$ , прошлая лекция) рассматривают и другие свойства отделимости.

Определение (Нормальность). $X$ называется нормальным, если для любых двух непересекающихся замкнутых множеств $V_{1}, V_{2}$ ( $V_{1} \cap V_{2} = \emptyset$ ) существуют непересекающиеся открытые множества $W_{1} \supset V_{1}$ и $W_{2} \supset V_{2}$ .

Определение (Регулярность). $X$ называется регулярным, если для любой точки $x$ и любого замкнутого множества $V$ , не содержащего $x$ , существуют непересекающиеся открытые множества $U ∋ x$ и $W \supset V$ .

Замечание. В хаусдорфовом пространстве каждая точка замкнута. Действительно, для $x \in X$ и любой $y \neq = x$ по хаусдорфовости есть открытые непересекающиеся $U_{x} ∋ x$ , $U_{y} ∋ y$ ; тогда $X ∖ {x} = ⋃_{y \neq = x} U_{y}$ открыто. Поэтому для хаусдорфовых пространств нормальность сильнее регулярности (точка — частный случай замкнутого множества).

Утверждение. Компактное хаусдорфово пространство регулярно и нормально.

Осторожно

Пересечение бесконечного числа открытых множеств, вообще говоря, не открыто. Например,

n = 1 ⋂ \infty (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = {0}

не открыто. Для конечного числа множеств пересечение открыто (третья аксиома топологии) — именно это используется ниже.

Доказательство. Регулярность. Пусть $x \in X$ и $V$ замкнуто, $x \in / V$ . Так как $X$ компактно, замкнутое $V$ компактно. По хаусдорфовости для каждой $y \in V$ есть непересекающиеся открытые $U_{x, y} ∋ x$ и $W_{y} ∋ y$ . Множества ${W_{y}}_{y \in V}$ покрывают $V$ ; по компактности выберем конечное подпокрытие $W_{y_{1}}, \dots, W_{y_{n}}$ . Тогда

U = i = 1 ⋂ n U_{x, y_{i}}

открыто (конечное пересечение), содержит $x$ и не пересекает $W = ⋃_{i = 1}^{n} W_{y_{i}} \supset V$ .

Нормальность. Пусть $V_{1}, V_{2}$ замкнуты и не пересекаются; оба компактны. По уже доказанной регулярности для каждой точки $x \in V_{2}$ существуют непересекающиеся открытые $O_{x} \supset V_{1}$ и $W_{x} ∋ x$ . Множества ${W_{x}}_{x \in V_{2}}$ покрывают компактное $V_{2}$ ; выберем конечное подпокрытие $W_{x_{1}}, \dots, W_{x_{n}}$ . Тогда $W = ⋃_{i} W_{x_{i}} \supset V_{2}$ и $O = ⋂_{i} O_{x_{i}} \supset V_{1}$ открыты и не пересекаются.

Пример. Прямая $R$ хаусдорфова, регулярна и нормальна. Для $R^{2}$ проверка тоньше — хорошее упражнение.

Пределы последовательностей

Определение (Предел последовательности). Пусть $X$ — топологическое пространство и $(x_{n})$ — последовательность точек. Говорят, что $x_{n}$ сходится к $x$ , если для любой открытой окрестности $U ∋ x$ существует номер $N$ такой, что $x_{n} \in U$ для всех $n \geq N$ .

То есть вне любой окрестности точки $x$ лежит лишь конечный «хвост» последовательности.

Утверждение. В хаусдорфовом пространстве предел последовательности единствен.

Доказательство. Пусть $x_{n} \to x$ и $x_{n} \to x^{'}$ , причём $x \neq = x^{'}$ . По хаусдорфовости возьмём непересекающиеся открытые $U ∋ x$ и $U^{'} ∋ x^{'}$ . С некоторого номера все $x_{n} \in U$ и с некоторого — все $x_{n} \in U^{'}$ , что невозможно, так как $U \cap U^{'} = \emptyset$ . Значит, $x = x^{'}$ .

Пример. Если $X$ не хаусдорфово, пределов может быть несколько. Возьмём тривиальную топологию на множестве хотя бы из двух точек: единственная непустая открытая окрестность любой точки — всё $X$ , поэтому любая последовательность сходится к каждой точке.

Связность

Определение (Связность). $X$ называется связным, если его нельзя представить в виде дизъюнктного объединения двух непустых открытых (а значит, и замкнутых) множеств. Иначе говоря, если $X = X_{1} ⊔ X_{2}$ с открытыми $X_{1}, X_{2}$ , то одно из них пусто. Множества, одновременно открытые и замкнутые, называют открыто-замкнутыми; связность означает, что таких множеств только два — $\emptyset$ и $X$ .

Замечание (Топология дизъюнктного объединения). Для пространств $X$ и $Y$ на дизъюнктном объединении $X ⊔ Y$ открытыми объявляются дизъюнктные объединения открытых множеств из $X$ и из $Y$ . Три аксиомы проверяются прямо. (В терминах категорий это копроизведение, двойственное к произведению.)

Замечание. Факт из анализа: отрезок, открытый интервал и вся прямая $R$ связны (интервал нельзя разбить на два нетривиальных открыто-замкнутых множества). Связность инвариантна относительно гомеоморфизмов — как и нормальность с регулярностью.

Линейная связность

Определение (Линейная связность). $X$ называется линейно связным, если для любых двух точек $x, y \in X$ существует непрерывное отображение (путь) $φ : [0, 1] \to X$ такое, что $φ (0) = x$ и $φ (1) = y$ .

Пример.

$R^{n}$ линейно связно: две точки соединяются отрезком прямой.
Сфера $S^{n - 1}$ линейно связна: из любой точки в любую можно дойти по большому кругу.

Утверждение. Линейно связное пространство связно.

Доказательство. От противного. Пусть $X$ не связно: $X = U_{1} ⊔ U_{2}$ с непустыми открытыми $U_{1}, U_{2}$ . Возьмём $x \in U_{1}$ , $y \in U_{2}$ и путь $φ : [0, 1] \to X$ , $φ (0) = x$ , $φ (1) = y$ . Тогда $φ^{- 1} (U_{1})$ и $φ^{- 1} (U_{2})$ открыты (непрерывность), непусты, не пересекаются и покрывают $[0, 1]$ — что противоречит связности отрезка.

Замечание. Обратное неверно: существуют связные, но не линейно связные пространства. Классический пример — «синусоида тополога» ${(x, sin \frac{1}{x}) ∣ x > 0}$ вместе с отрезком ${0} \times [- 1, 1]$ .

Утверждение. Для открытого подмножества $U \subset R^{n}$ связность равносильна линейной связности.

Доказательство. Импликация «линейно связно $\Rightarrow$ связно» уже доказана. Докажем обратную. Зафиксируем точку $x \in U$ и рассмотрим множество $A$ всех точек, в которые из $x$ можно дойти путём в $U$ .

$A$ открыто: если $y \in A$ , то (поскольку $U$ открыто) есть шар $B (y, ε) \subset U$ ; в любую точку шара путь до $y$ продолжается радиальным отрезком, поэтому $B (y, ε) \subset A$ .

Дополнение $U ∖ A$ открыто по той же причине: если в точку $z$ дойти нельзя, то нельзя дойти и в её шаровую окрестность (иначе из неё можно было бы дойти в $z$ ).

Итак, $U = A ⊔ (U ∖ A)$ — разложение на открытые множества, причём $A \neq = \emptyset$ (в $x$ дойти можно — путём-константой). По связности $U$ получаем $U ∖ A = \emptyset$ , то есть $A = U$ : из $x$ достижима любая точка.

Факторпространства

Помимо произведения и дизъюнктного объединения, для топологических пространств есть операция факторизации. Для неё нужна дополнительная структура — отношение эквивалентности.

Определение (Факторпространство). Пусть на $X$ задано отношение эквивалентности $\sim$ (рефлексивное, симметричное, транзитивное подмножество в $X \times X$ ). Факторпространством $X / \sim$ как множество называется множество классов эквивалентности. Топология задаётся так: множество $A \subset X / \sim$ открыто тогда и только тогда, когда открыт его прообраз $φ^{- 1} (A)$ , где

φ : X \to X / \sim, φ (x) = [x]

— каноническое отображение, сопоставляющее точке её класс. Аксиомы топологии проверяются прямо (прообраз всего фактора — это $X$ , прообраз пустого пуст, прообразы перестановочны с объединениями и пересечениями).

Пример.

Если все точки эквивалентны ( $\sim_{1}$ ), то $X / \sim_{1}$ — точка. Если каждая точка эквивалентна только себе ( $\sim_{2}$ ), то $X / \sim_{2} = X$ .
Отрезок с отождествлёнными концами: $[0, 1] / (0 \sim 1) ≅ S^{1}$ .
$R / \sim$ , где $a \sim a + n$ для $n \in Z$ (числа эквивалентны, если их разность целая), есть окружность $S^{1}$ : каждый класс пересекает полуинтервал $[0, 1)$ ровно в одной точке, а отождествление $0 \sim 1$ сводит дело к предыдущему примеру.
Упражнение. Стягивание границы диска в точку даёт сферу: $D^{n} / S^{n - 1} ≅ S^{n}$ . (Запись «фактор по подпространству» означает: всё подпространство схлопывается в одну точку, остальные точки не трогаются. При $n = 1$ это пример 2: $D^{1} / S^{0} ≅ S^{1}$ .)

Замечание. Отождествление с алгеброй: конструкция аналогична фактор-группе, но применяется к топологическим пространствам.

Упражнение. Каноническое отображение $φ : X \to X / \sim$ задаёт на факторе самую тонкую топологию, при которой $φ$ непрерывно (универсальное свойство фактора).

В следующий раз: граничная точка, граница, внутренность и связанные понятия.

Related works