Анализ-2, Листок 1

Задача 1.1. ${}^{\circ }$ Приведите пример семейства подмножеств $F$ в $[0,1]$, содержащего $[0,1]$, и двух счётно-аддитивных мер на $\sigma (F)$ таких, что они совпадают на $F$, но не на $\sigma (F)$.\

Задача 1.2. ${}^{\circ }$ Будем говорить, что множество $A\subseteq \mathbb{N}$ имеет асимптотическую плотность, если существует предел

Образуют ли множества с асимптотической плотностью алгебру?\

Задача 1.3. ${}^{\circ }$ а) Пусть $A={\bigcup }_{n\ge 1}{A}_n$ - объединение измеримых множеств, $A_{n+1}\supset A_n$ для всех $n\ge 1$. Докажите, что

и аналогичное утверждение для пересечений.
б) Докажите, что для произвольных измеримых $A_n$ выполнено

Сформулируйте и докажите формулу включений-исключений для меры множеств.\

Задача 1.4. ${}^{\circ }$ (Лемма Бореля-Кантелли) Пусть $A_1,\dots ,A_n,\dots$ - измеримые подмножества пространства $X$ с мерой $\mu$. Предположим, что ряд

сходится. Пусть ${\mathrm{limsup}}_{n\to +\infty }{A}_n$ - множество таких $x\in X$, что существует бесконечно много $n$, для которых $x\in A_n$. Докажите, что $\mu \left({\mathrm{limsup}}_{n\to +\infty }{A}_n\right)=0$.\

Задача 1.5. а) Является ли $\mathbb{Q}$ счётным пересечением открытых множеств?
б) Постройте борелевское подмножество $\mathbb{R}$, не представимое ни в виде счётного пересечения открытых множеств, ни в виде счётного объединения замкнутых.\

Задача 1.6. Докажите, что множество вещественных $\alpha$, для которых существует бесконечно много пар взаимно простых чисел $a,q$ с условием

имеет меру 0.

Задача 1.7. Пусть $a<\frac{1}{3}$. Будем строить множество $K(a)$ так: на первом шаге выкинем из $[0,1]$ интервал длины $a$ с центром в $\frac{1}{2}$. На следующих шагах из каждого отрезка получаюшегося множества выкинем отрезок в центре длины $a^n.K(a)-$ это пересечение всех получившихся множеств. Докажите, что оно совершенно (замкнуто и не имеет изолированных точек), нигде не плотно и имеет ненулевую меру Лебега.

Задача 1.8. Приведите пример аддитивной, но не счётно-аддитивной меры на $\mathbb{R}$.