Анализ-1, Листок 3

Задача 3.1. Сколько существует различных топологий на множестве из 1, 2, 3 элементов?

Задача 3.2. Отображение $f:X\to Y$ называется открытым, если $f(U)$ открыто в $Y$ для любого открытого $U\subseteq X$. Докажите, что непрерывное отображение из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ строго монотонно тогда и только тогда, когда оно открыто.

Задача 3.3. Докажите или опровергните: в любом метрическом пространстве $X$ замыкание открытого шара $B_{\epsilon }(x)$ есть замкнутый шар $y\in X:\rho (x,y)\le \epsilon$.

Задача 3.4. a)** Докажите, что существует предел

Указание: Представьте его в виде сходящегося ряда.

б) Найдите предел

Задача 3.5. Точка $x$ называется точкой разрыва функции $f$, если предел ${\lim }_{y\to x}f(y)$ не существует или отличается от $f(x)$. Докажите, что монотонная функция $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ имеет не более чем счётное число точек разрыва.

Задача 3.6. При каких $\alpha >0$ непрерывна функция

При каких $\alpha >0$ она дифференцируема?

Задача 3.7. Докажите, что подмножество $K\subset {\mathbb{R}}^n$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограниченно.

Задача 3.8. Пусть ${\ell }^1(\mathbb{N},\mathbb{R})$ — пространство всех абсолютно сходящихся рядов, то есть последовательностей $(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ таких, что ${\sum }_i|x_i|<\infty$. Введём на нём метрику

Компактен ли замкнутый единичный шар с центром в нуле в таком метрическом пространстве?

Задача 3.9. Пусть

и $D(x)=1_{x\in \mathbb{Q}}$ — функции Римана и Дирихле.
В каких точках непрерывна $R(x)$, а в каких $D(x)$?

Задача 3.10. Существует ли последовательность $f_n(x)$ непрерывных функций на $[0,1]$ такая, что

для всех $x\in [0,1]$?