Анализ-1, Листок 1

Задача 1.1. Пусть $A \subset B$ — множества, $A$ счётно, а $B$ несчётно. Докажите, что
$∣ B ∖ A ∣ = ∣ B ∣$ .

Задача 1.2. Элемент $x$ вполне упорядоченного множества $X$ будем называть предельным, если существует множество $A \subset X$ , не содержащее $x$ , с $sup A = x$ . Приведите пример счётного вполне упорядоченного множества, содержащего бесконечно много предельных элементов.

Задача 1.3. Пусть $a_{n}$ — возрастающая последовательность вещественных чисел и $a_{n} = O (1)$ . Докажите, что $a_{n}$ сходится.

Задача 1.4. Сходятся ли последовательности?
a)

a_{n} = 1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}

б)

a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}

в)

a_{n} = 1 + \frac{1}{2 ^{1.5}} + \dots + \frac{1}{n ^{1.5}}

Задача 1.5. Вычислите

n \to + \infty lim \frac{( n + 1 ) ^{2025}}{n ^{2025} + n ^{2023} - n ^{2022}}

б)

n \to + \infty lim n n!

в)

n \to + \infty lim \frac{n !}{n ^{n}}

г*)

n \to + \infty lim (\frac{2 n}{4 n})^{n}

Задача 1.6. a) Найдите предел последовательности $n (n + 1 - n)$ .

б) При $k \in N$ найдите предел последовательности

n^{1 - 1/ k} (k n + 1 - k n)

в) Докажите, что последовательность

1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} - 2 n

сходится.

Задача 1.7. a) Докажите, что если

n \to + \infty lim a_{n} = A,

то

n \to + \infty lim \frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} = A .

б) Верно ли обратное?

Задача 1.8. Пусть $n$ — натуральное число, $x \geq - 1$ .
a) Докажите, что $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$ .

б) Докажите, что $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x + \frac{n ( n - 1 )}{2} x^{2}$ при $x \geq 0$ и при $x < 0$ выполнено обратное неравенство.

Задача 1.9. a) Докажите, что последовательность

x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

возрастает и ограничена. Её предел обозначается $e$ .

б*) Докажите, что $x_{n + 1} = x_{n} + O! (\frac{1}{n ^{2}})$ и заключите, что

x_{n} = e + O! (\frac{1}{n}) .

Related works