Анализ-1. Лекция 10

Сегодня — комплексная экспонента и то, что из неё вытекает. Сначала формула Эйлера $e^{a + bi} = e^{a} (cos b + i sin b)$ и следствия: интеграл от степени косинуса, аналитическое доказательство основной теоремы алгебры. Потом неравенство Гёльдера для интегралов — оно понадобится всюду. Дальше главная героиня лекции — гамма-функция Эйлера: её продолжение факториала, логарифмическая выпуклость, теорема Бора–Моллерупа, произведения Гаусса и Вейерштрасса, дигамма-функция, формулы удвоения и отражения. Затем бета-функция и связь $B = ΓΓ/Γ$ , из которой выпадут значение $(\frac{1}{2})!$ и гауссов интеграл $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- t^{2}} d t = π$ . И под конец — числа и многочлены Бернулли.

Комплексная экспонента

Вспомним ряд

e^{z} = n = 0 \sum \infty \frac{z ^{n}}{n !} .

Он сходится для всех $z$ , в том числе комплексных: слагаемые оцениваются по модулю, всё получается. Значит, $e^{z}$ хорошо определено при комплексном $z$ . Кроме того, автоматически

e^{x + y} = e^{x} \cdot e^{y},

потому что это равенство выполнено уже на уровне формальных степенных рядов — оно соответствует биному Ньютона:

n \sum \frac{( x + y ) ^{n}}{n !} = n \sum \frac{1}{n !} k = 0 \sum n (k n) x^{k} y^{n - k} = k \sum \frac{x ^{k}}{k !} m \sum \frac{y ^{m}}{m !},

где в последнем переходе мы забыли про связь $m = n - k$ и стали считать $k$ и $m$ независимыми индексами.

Теперь выясним, чему равна экспонента чисто мнимого числа. Пусть $z = a + bi$ . Тогда $e^{z} = e^{a} \cdot e^{bi}$ , и остаётся понять $e^{bi}$ :

e^{bi} = n = 0 \sum \infty \frac{( bi ) ^{n}}{n !} .

Разобьём на вещественную и мнимую части. Чётные степени дают вещественный кусок (там $i^{2 n} = (- 1)^{n}$ ):

Re e^{bi} = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} b ^{2 n}}{( 2 n )!} = cos b,

а нечётные (с делением на $i$ ) — мнимый:

Im e^{bi} = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} b ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} = sin b .

Теорема (Формула Эйлера).

e^{a + bi} = e^{a} (cos b + i sin b) .

После этого можно забыть школьные формулы для синуса и косинуса суммы и выводить их из мультипликативности экспоненты.

Два замечания на будущее.

$∣ e^{z} ∣ = e^{Re z}$ . Всякое ненулевое комплексное число однозначно раскладывается в произведение положительного числа и чисто мнимой экспоненты.
Отображение $C \to C$ , $z \mapsto z^{k}$ (при натуральном $k$ ), сюръективно. Действительно, из $r e^{i φ}$ корень $k$ -й степени извлекается явно: берём $k r$ и $e^{i φ / k}$ .

Степени косинуса

Обещанное ещё в прошлый раз: степень косинуса можно интегрировать, раскладывая её через комплексную экспоненту, а не через косинусы кратных углов.

Пример. Пусть $n$ натурально. Так как $cos^{2 n}$ симметрична относительно $\frac{π}{2}$ ,

\int_{0}^{π /2} cos^{2 n} x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} cos^{2 n} x d x .

Подставим $cos x = \frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2}$ и раскроем по биному Ньютона:

\int_{0}^{π} cos^{2 n} x d x = 2^{- 2 n} k = 0 \sum 2 n (k 2 n) \int_{0}^{π} e^{(2 k - 2 n) i x} d x .

Внутренние интегралы почти все нулевые. При $k \neq = n$ показатель $2 k - 2 n$ — ненулевое чётное целое, и

\int_{0}^{π} e^{(2 k - 2 n) i x} d x = \frac{e ^{(2 k - 2 n) i x}}{( 2 k - 2 n ) i}_{0}^{π} = 0

(экспонента прокрутилась по окружности и вернулась на место). Остаётся только $k = n$ , где интегрируем единицу и получаем $π$ . Итого

\int_{0}^{π /2} cos^{2 n} x d x = π \cdot 2^{- 1 - 2 n} (n 2 n) .

Теперь совершим слегка нечестное действие: подставим $n = \frac{1}{2}$ . Слева

\int_{0}^{π /2} cos x d x = sin x_{0}^{π /2} = 1,

а справа, притворившись, что формула имеет смысл,

π \cdot 2^{- 2} (1/2 1) = \frac{π}{4} (1/2 1) .

Значит, $(1/2 1) = \frac{4}{π}$ . Раскроем определение: $(1/2 1) = \frac{1 !}{( 1/2 ) ! ^{2}}$ , откуда

(\frac{1}{2})!^{2} = \frac{π}{4}, (\frac{1}{2})! = \frac{π}{2} .

Пока это выглядит бессмысленно (нельзя же считать факториал полуцелого). Но запомним результат: чуть позже мы придадим ему смысл и докажем, что $(\frac{1}{2})!$ действительно следует считать равным $\frac{π}{2}$ .

Основная теорема алгебры

Я почему-то был уверен, что доказывать основную теорему алгебры сложно. На самом деле есть аналитическое доказательство, почти ни к чему не апеллирующее, — теперь мы умеем извлекать корни из комплексных чисел, и этого хватает.

Теорема (Основная теорема алгебры). Пусть $f$ — многочлен с комплексными коэффициентами степени больше нуля. Тогда существует $z_{0} \in C$ с $f (z_{0}) = 0$ . У всякого непостоянного многочлена есть корень.

Доказательство. Предположим противное: $f (z) \neq = 0$ для всех $z$ . Рассмотрим непрерывную функцию $z \mapsto ∣ f (z)∣$ ; она нигде не ноль.

Инфимум достигается. Многочлен $f (z) = a z^{N} + \dots$ начинается со старшей степени, и при больших $∣ z ∣$ старшее слагаемое побеждает: $\frac{∣ f ( z )∣}{∣ z ∣ ^{N}} \to ∣ a ∣$ при $∣ z ∣ \to \infty$ . Поэтому существует $R$ такое, что при $∣ z ∣ > R$ выполнено $∣ f (z)∣ > \frac{∣ a ∣ ∣ z ∣ ^{N}}{2}$ — сколь угодно большое. Вне компакта ${∣ z ∣ \leq R}$ функция огромна, а на компакте инфимум непрерывной функции достигается. Значит, есть точка $z_{0}$ , где $∣ f ∣$ минимален:

z \in C in f ∣ f (z)∣ = ∣ f (z_{0})∣ > 0.

Сдвиг в минимум. Рассмотрим многочлен

g (z) = \frac{f ( z + z _{0} )}{f ( z _{0} )} .

Тогда $g (0) = 1$ и $∣ g (z)∣ \geq 1$ всюду (иначе в какой-то точке $∣ f ∣$ был бы меньше минимального). Разложим $g$ по степеням $z$ :

g (z) = 1 + b_{k} z^{k} + O (z^{k + 1}), b_{k} \neq = 0

(берём первый непостоянный член; $b_{k} \neq = 0$ по выбору $k$ ).

Противоречие. Возведение в $k$ -ю степень сюръективно, поэтому существует $u$ с $u^{k} = - \frac{1}{b _{k}}$ . Подставим $z = ε u$ с малым $ε > 0$ :

g (ε u) = 1 + b_{k} u^{k} ε^{k} + O (ε^{k + 1}) = 1 - ε^{k} + O (ε^{k + 1}) .

При достаточно малом $ε$ модуль этого выражения строго меньше единицы — противоречие с $∣ g ∣ \geq 1$ . Значит, у $f$ всё-таки есть корень.

Поля, в которых у каждого многочлена есть корень, называются алгебраически замкнутыми. Комплексная экспонента ещё много раз всплывёт — например, когда будем раскладывать всё подряд в ряды Фурье (писать экспоненты удобнее, чем синусы с косинусами).

Неравенство Гёльдера для интегралов

Раньше у нас было неравенство Гёльдера для чисел. Докажем его для интегралов — сегодня оно сыграет решающую роль во многих аргументах.

Теорема (Неравенство Гёльдера для интегралов). Пусть $I$ — отрезок (можно и бесконечный), $f, g : I \to C$ кусочно непрерывны, а $p, q \in (1, \infty)$ с $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ . Тогда

\int_{I} f (x) g (x) d x \leq (\int_{I} ∣ f (x) ∣^{p} d x)^{1/ p} (\int_{I} ∣ g (x) ∣^{q} d x)^{1/ q} .

Выражение в скобках — это $L^{p}$ -норма функции. Пространство функций с интегрируемой $p$ -й степенью образует (после пополнения) банахово пространство $L^{p}$ , а написанное соотношение играет ключевую роль в доказательстве того, что двойственное к $L^{p}$ — это $L^{q}$ .

Доказательство. Приблизим $f$ и $g$ ступенчатыми функциями, причём с общими шагами: если ступеньки не совпадают, возьмите объединение точек разбиения. Пусть шаги имеют длины $u_{1}, \dots, u_{n}$ , а значения — $a_{1}, \dots, a_{n}$ и $b_{1}, \dots, b_{n}$ . Тогда с ростом точности приближения

\int_{I} f g d x = k = 1 \sum n u_{k} a_{k} b_{k} + o (1),

(\int_{I} ∣ f ∣^{p})^{1/ p} = (k \sum u_{k} ∣ a_{k} ∣^{p})^{1/ p} + o (1), (\int_{I} ∣ g ∣^{q})^{1/ q} = (k \sum u_{k} ∣ b_{k} ∣^{q})^{1/ q} + o (1) .

Осталось применить обычное (числовое) неравенство Гёльдера к последовательностям

x_{k} = u_{k}^{1/ p} a_{k}, y_{k} = u_{k}^{1/ q} b_{k}

(так что $x_{k} y_{k} = u_{k} a_{k} b_{k}$ , $∣ x_{k} ∣^{p} = u_{k} ∣ a_{k} ∣^{p}$ , $∣ y_{k} ∣^{q} = u_{k} ∣ b_{k} ∣^{q}$ ). Получаем неравенство между интегралами от ступенчатых функций; устремляя точность приближения к нулю, получаем то же для $f$ и $g$ .

При $p = q = 2$ это, разумеется, неравенство Коши–Буняковского–Шварца для интегралов.

Гамма-функция

Придадим наконец смысл утверждению « $(\frac{1}{2})! = \frac{π}{2}$ ». Идея продолжить факториал появилась в письме Бернулли к Гольдбаху (около 1728 года); Бернулли предлагал определять его через предел произведений, но мы поступим удобнее — через интеграл Эйлера.

Определение (Гамма-функция Эйлера).

Γ (s) = \int_{0}^{+ \infty} x^{s - 1} e^{- x} d x .

(Именно с $x^{s - 1}$ , а не $x^{s}$ — так почти везде принято.)

Сходимость. Пусть $s$ комплексно. На бесконечности проблем нет: полиномиальный рост давится экспонентой, интеграл сходится абсолютно. Все проблемы в нуле:

\int_{0}^{1} ∣ x^{s - 1} e^{- x} ∣ d x \leq \int_{0}^{1} x^{Re s - 1} d x,

а этот интеграл сходится ровно при $Re s > 0$ (в нуле особенность вида $x^{Re s - 1}$ ). Итого $Γ (s)$ сходится абсолютно при $Re s > 0$ .

Функциональное уравнение. Интегрируя по частям ( $e^{- x} d x = d (- e^{- x})$ ),

Γ (s + 1) = \int_{0}^{+ \infty} x^{s} e^{- x} d x = - x^{s} e^{- x}_{0}^{+ \infty} + s \int_{0}^{+ \infty} x^{s - 1} e^{- x} d x = s Γ (s),

поскольку граничный член нулевой (и в нуле, и на бесконечности). Вместе с $Γ (1) = 1$ это даёт

Γ (n + 1) = n! .

Более того, соотношение $Γ (s + 1) = s Γ (s)$ позволяет продолжить $Γ$ на все $s \neq = 0, - 1, - 2, \dots$ (в неположительных целых точках она не определена — там полюсы). Можно посчитать факториал от чего угодно, кроме отрицательных целых.

Логарифмическая выпуклость и теорема Бора–Моллерупа

Зачем нам было неравенство Гёльдера? Вот зачем.

Лемма (Логарифмическая выпуклость). Пусть $s, t > 0$ и $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ . Тогда

Γ (\frac{s}{p} + \frac{t}{q}) \leq Γ (s)^{1/ p} Γ (t)^{1/ q} .

Иными словами, $lo g Γ$ — выпуклая функция.

Доказательство. Растащим подынтегральное выражение на два кусочка под Гёльдера:

x^{\frac{s}{p} + \frac{t}{q} - 1} e^{- x} = (x^{s - 1} e^{- x})^{1/ p} \cdot (x^{t - 1} e^{- x})^{1/ q} .

Применяя неравенство Гёльдера с показателями $p, q$ ,

Γ (\frac{s}{p} + \frac{t}{q}) = \int_{0}^{\infty} x^{\frac{s}{p} + \frac{t}{q} - 1} e^{- x} d x \leq (\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} e^{- x} d x)^{1/ p} (\int_{0}^{\infty} x^{t - 1} e^{- x} d x)^{1/ q} = Γ (s)^{1/ p} Γ (t)^{1/ q} .

Взяв логарифм, получаем в точности неравенство Йенсена для $lo g Γ$ — то есть выпуклость.

Оказывается, перечисленных свойств хватает, чтобы охарактеризовать гамму однозначно.

Теорема (Бора–Моллерупа). Функция $Γ$ единственным образом определяется условиями:

$Γ (s + 1) = s Γ (s)$ ;
$Γ (1) = 1$ ;
$Γ (s) > 0$ при $s > 0$ ;
$lo g Γ (s)$ — выпуклая функция.

Без выпуклости логарифма таких функций сколько угодно: возьмите любую функцию на $[0, 1]$ с нужным значением в единице и продолжайте соотношением 1. Именно логарифмическая выпуклость выделяет гамму. Теорема названа по братьям Бор (Харальд — математик, Нильс — ещё более известный физик); сформулирована как часть учебника анализа в 1920-е, причём авторы были уверены, что это давно известный факт — а оказалось, теорема новая.

Доказательство. Пусть $g$ удовлетворяет условиям 1–4, и $f = lo g g$ (сейчас будем пользоваться выпуклостью). Достаточно определить $g$ на $[0, 1]$ ; продолжение однозначно по соотношению 1. Возьмём $x \in [0, 1]$ .

Из выпуклости $f$ на трёх точках $n + 1 < n + 1 + x < n + 2$ (наклон хорды не убывает):

f (n + 1) - f (n) \leq \frac{f ( x + n + 1 ) - f ( n + 1 )}{x} \leq f (n + 2) - f (n + 1) .

TikZ diagram — Выпуклость $f = lo g g$ : хорда на $[n, n + 1]$ положе хорды на $[n + 1, n + 2]$ , и точка $x + n + 1$ зажата между ними.

Левая часть равна $lo g \frac{n !}{( n - 1 )!} = lo g n$ , правая — $lo g (n + 1)$ . Значит,

x lo g n \leq f (x + n + 1) - f (n + 1) \leq x lo g (n + 1) .

Вычитая $x lo g n$ и подставляя $f (n + 1) = lo g n!$ и $f (x + n + 1) = f (x) + lo g [x (x + 1) \dots (x + n)]$ (соотношение 1), получаем

0 \leq f (x) - lo g \frac{n ! n ^{x}}{x ( x + 1 ) \dots ( x + n )} \leq x lo g (1 + \frac{1}{n}) .

Правая часть стремится к нулю при $n \to \infty$ , значит,

f (x) = n \to \infty lim lo g \frac{n ! n ^{x}}{x ( x + 1 ) \dots ( x + n )} .

Итак, $f$ (а с ним и $g$ ) определено однозначно. Поскольку гамма всем условиям удовлетворяет, $g = Γ$ .

Побочный продукт доказательства — формула Гаусса:

Следствие (Произведение Гаусса).

Γ (s) = n \to \infty lim \frac{n ! n ^{s}}{s ( s + 1 ) \dots ( s + n )} .

Равенство доказано для $s \in (0, 1)$ ; сдвигом на единицу (при $x \to x + 1$ из знаменателя уходит $x$ , а $\frac{n}{x + n + 1} \to 1$ ) оно распространяется на все вещественные, а на самом деле и комплексные $s$ .

Произведение Вейерштрасса и дигамма

Перепишем формулу Гаусса как бесконечное произведение (такое разложение по нулям и полюсам придумал Вейерштрасс). Заметим $n^{s} = e^{s l o g n}$ , а $lo g n = (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) - γ + o (1)$ , где $γ$ — постоянная Эйлера–Маскерони,

γ = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} - lo g n) .

Подставляя, получаем:

Следствие (Произведение Вейерштрасса).

Γ (s) = \frac{e ^{- γ s}}{s} n = 1 \prod \infty (1 + \frac{s}{n})^{- 1} e^{s / n} .

Произведение сходится абсолютно, потому что логарифм общего множителя

lo g [(1 + \frac{s}{n})^{- 1} e^{s / n}] = \frac{s}{n} - lo g (1 + \frac{s}{n}) = O (\frac{s ^{2}}{n ^{2}})

(первый член ряда Тейлора $\frac{s}{n}$ сокращается).

Раз $Γ$ хорошо ведёт себя мультипликативно, у неё удобно брать логарифмическую производную.

Определение (Дигамма-функция).

ψ (s) = \frac{Γ ^{'} ( s )}{Γ ( s )} = (lo g Γ)^{'} (s) .

(Делить можно: произведение сходится абсолютно, поэтому $Γ$ нигде не ноль.)

Логарифмическая производная переводит произведение в сумму, поэтому из произведения Вейерштрасса

ψ (s) = - γ - \frac{1}{s} + n = 1 \sum \infty (\frac{1}{n} - \frac{1}{s + n}) .

Отсюда сразу несколько вещей:

$ψ (1) = - γ$ , то есть $Γ^{'} (1) = - γ$ — производная факториала в единице оказалась равна минус постоянной Эйлера–Маскерони.
Сдвиг: из $Γ (s + 1) = s Γ (s)$ логарифмированием и дифференцированием

$ψ (s + 1) = ψ (s) + \frac{1}{s} .$

В частности, $ψ (n + 1) = - γ + 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ — логарифмическая производная факториала есть почти гармоническое число (и асимптотически ведёт себя как $lo g n + O (1/ n)$ , без константной поправки).
$ψ (\frac{1}{2}) = - γ - 2 + 2 \sum_{n \geq 1} (\frac{1}{2 n} - \frac{1}{2 n + 1}) = - γ - 2 lo g 2$ .

Разложим $ψ$ в ряд Тейлора в единице. Дифференцируя абсолютно сходящийся ряд почленно,

ψ (s + 1) = - γ + k = 2 \sum \infty (- 1)^{k} ζ (k) s^{k - 1} = - γ + ζ (2) s - ζ (3) s^{2} + \dots

(этот ряд расходится при больших $s$ — у дигаммы в нуле особенность, — но локально в единице всё хорошо). Есть соблазн сказать, что $γ = ζ (1)$ ; это неправда, но $γ$ — регуляризованное значение $ζ$ в единице (устремитесь к полюсу слева и справа и усредните). Следствие: $Γ^{''} (1) = ζ (2) + γ^{2} = \frac{π ^{2}}{6} + γ^{2}$ (из $Γ^{''} = (ψ^{'} + ψ^{2}) Γ$ в единице).

Формулы удвоения и отражения

При помощи теоремы Бора–Моллерупа доказывается формула удвоения (Лежандра):

Γ (2 s) = \frac{2 ^{2 s - 1}}{π} Γ (s) Γ (s + \frac{1}{2}) .

Схема: проверяете совпадение в единице, проверяете, что функция вдвое сжатого аргумента правильно преобразуется при сдвиге $s \mapsto s + 1$ , и пользуетесь логарифмической выпуклостью.

Более хитрая — формула отражения:

Γ (s) Γ (1 - s) = \frac{π}{sin π s} .

Без комплексного анализа доказывать её всё равно тяжело, поэтому пока примем без доказательства. Подставив её в произведение Вейерштрасса, получаешь заодно бесконечное произведение для синуса; а взяв логарифмическую производную, получаешь

ψ (1 - s) - ψ (s) = π ctg π s .

Бета-функция

Определение (Бета-функция).

B (x, y) = \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t .

Определена при $Re x, Re y > 0$ (из тех же соображений, что и гамма), симметрична: $B (x, y) = B (y, x)$ .

(Если знакома теория колец вычетов: $Γ$ — аналог суммы Гаусса, $B$ — аналог суммы Якоби, и между ними есть соотношение.)

Теорема (Связь бета и гамма).

B (x, y) = \frac{Γ ( x ) Γ ( y )}{Γ ( x + y )} .

Доказательство. Сначала получим рекуррентное соотношение интегрированием по частям. В

B (x + 1, y) = \int_{0}^{1} t^{x} (1 - t)^{y - 1} d t

возьмём $u = t^{x}$ , $d v = (1 - t)^{y - 1} d t$ , так что $v = - \frac{( 1 - t ) ^{y}}{y}$ . Граничные члены нулевые, поэтому

B (x + 1, y) = \frac{x}{y} \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y} d t = \frac{x}{y} B (x, y + 1) .

Но $(1 - t)^{y} = (1 - t)^{y - 1} (1 - t)$ , откуда $B (x, y + 1) = B (x, y) - B (x + 1, y)$ . Подставляя, $B (x + 1, y) = \frac{x}{y} [B (x, y) - B (x + 1, y)]$ , и после переноса

B (x + 1, y) = \frac{x}{x + y} B (x, y) .

Теперь рассмотрим (при фиксированном $y$ )

f (x) = \frac{Γ ( x + y )}{Γ ( y )} B (x, y) .

Проверим для неё условия теоремы Бора–Моллерупа.

$f (1) = \frac{Γ ( 1 + y )}{Γ ( y )} B (1, y) = y \cdot \int_{0}^{1} (1 - t)^{y - 1} d t = y \cdot \frac{1}{y} = 1$ .
$f (x + 1) = \frac{Γ ( x + 1 + y )}{Γ ( y )} B (x + 1, y) = \frac{( x + y ) Γ ( x + y )}{Γ ( y )} \cdot \frac{x}{x + y} B (x, y) = x f (x)$ .
Положительность очевидна.
Логарифмическая выпуклость: применяя неравенство Гёльдера к

$B (\frac{x _{1}}{p} + \frac{x _{2}}{q}, y) = \int_{0}^{1} t^{\frac{x _{1}}{p} + \frac{x _{2}}{q} - 1} (1 - t)^{y - 1} d t \leq B (x_{1}, y)^{1/ p} B (x_{2}, y)^{1/ q},$

видим, что $B (\cdot, y)$ логарифмически выпукла. Произведение логарифмически выпуклых функций (а $Γ (x + y)$ такова) логарифмически выпукло. Значит, и $f$ логарифмически выпукла.

По теореме Бора–Моллерупа $f = Γ$ , то есть $\frac{Γ ( x + y )}{Γ ( y )} B (x, y) = Γ (x)$ , что и требовалось.

Гауссов интеграл и другие следствия

Наконец-то посчитаем интегралы.

Следствие. Рассмотрим

B (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \int_{0}^{1} \frac{d t}{t ( 1 - t )} .

Заменой $t = u^{2}$ ( $d t = 2 u d u$ ) это превращается в

2 \int_{0}^{1} \frac{d u}{1 - u ^{2}} = 2 arcsin u_{0}^{1} = π .

С другой стороны, $B (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{Γ ( 1/2 ) ^{2}}{Γ ( 1 )} = Γ (1/2)^{2}$ . Следовательно,

Γ (\frac{1}{2}) = π, Γ (\frac{3}{2}) = (\frac{1}{2})! = \frac{π}{2} .

Наша давешняя интуиция про $(\frac{1}{2})!$ оказалась верна.

Следствие (Гауссов интеграл). Запишем $Γ (\frac{1}{2}) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x} e^{- x} d x$ и подставим $x = t^{2}$ :

Γ (\frac{1}{2}) = 2 \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = π, то есть \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = π .

Очень важное тождество: оно всплывает в преобразовании Фурье, уравнении теплопроводности, нормальном распределении и много где ещё.

Наконец, замена $t = cos^{2} φ$ в бета-функции возвращает нас к интегралам от степеней косинуса:

B (x, y) = 2 \int_{0}^{π /2} cos^{2 x - 1} φ sin^{2 y - 1} φ d φ,

так что вычисление $\int_{0}^{π /2} cos^{2 n} φ d φ$ и подобных ставится на поток через $Γ$ .

Числа и многочлены Бернулли

Рассмотрим функцию $\frac{x}{e ^{x} - 1}$ . Знаменатель $e^{x} - 1$ — ряд, начинающийся с $x$ и с рациональными коэффициентами, поэтому отношение — тоже формальный степенной ряд с рациональными коэффициентами.

Определение (Числа Бернулли).

\frac{x}{e ^{x} - 1} = k = 0 \sum \infty \frac{B _{k}}{k !} x^{k} .

Из $x = (e^{x} - 1) \sum_{k} \frac{B _{k}}{k !} x^{k}$ сравнением коэффициентов получается рекуррента

l = 0 \sum n - 1 (l n) B_{l} = δ_{n, 1} .

Отсюда $B_{0} = 1$ , $B_{1} = - \frac{1}{2}$ , $B_{2} = \frac{1}{6}$ , $B_{3} = 0$ . Нечётные числа Бернулли (кроме $B_{1}$ ) все нулевые, потому что

\frac{x}{e ^{x} - 1} + \frac{x}{2} = \frac{x}{2} \cdot \frac{e ^{x} + 1}{e ^{x} - 1} = \frac{x}{2} cth \frac{x}{2}

— чётная функция (гиперболический котангенс нечётен, $x$ нечётен, произведение чётно).

Определение (Многочлены Бернулли). Зафиксируем $t$ и умножим производящую функцию на $e^{x t}$ :

\frac{x e ^{x t}}{e ^{x} - 1} = k = 0 \sum \infty \frac{B _{k} ( t )}{k !} x^{k} .

$B_{k} (t)$ — многочлены степени $k$ с рациональными коэффициентами.

Свойства (из тавтологических манипуляций с производящей функцией):

$B_{k} (0) = B_{k}$ ;
$\int_{0}^{1} B_{k} (t) d t = 0$ при $k \geq 1$ (интеграл производящей функции по $t$ от $0$ до $1$ даёт тождественную единицу);
$B_{k}^{'} (t) = k B_{k - 1} (t)$ (дифференцирование по $t$ умножает производящую функцию на $x$ ).

Эти условия задают многочлены однозначно. Первые из них:

B_{0} (t) = 1, B_{1} (t) = t - \frac{1}{2}, B_{2} (t) = t^{2} - t + \frac{1}{6} .

Ещё одно наблюдение: поделить производящую функцию на $e^{x} - 1$ можно и иначе — сдвинуть на единицу и вычесть,

\frac{x e ^{x t}}{e ^{x} - 1} = \frac{x ( e ^{x (t + 1)} - e ^{x t} )}{e ^{x} - 1} (с точностью до) x e^{x t},

откуда сравнением коэффициентов при $x^{k + 1}$

B_{k + 1} (t + 1) - B_{k + 1} (t) = (k + 1) t^{k} .

Следствие (Формула для степенных сумм). Складывая это соотношение при $t = 0, 1, \dots, n$ (телескопическая сумма),

1^{k} + 2^{k} + \dots + n^{k} = \frac{B _{k + 1} ( n + 1 ) - B _{k + 1} ( 0 )}{k + 1} .

При $k = 1$ это привычное $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ ; для произвольного $k$ — его обобщение.

Числа Бернулли неспроста встречаются во многих асимптотических формулах: если продолжить первые задачи восьмого листка, получится формула Эйлера–Маклорена, в которой они присутствуют (отсюда, например, асимптотика гармонических чисел). И последнее — про то, почему в определении стоят факториалы: при делении на них у чисел Бернулли оказываются вполне контролируемые знаменатели.

Теорема (Клаузена–фон Штаудта).

B_{2 n} + p простое (p - 1) ∣ 2 n \sum \frac{1}{p} \in Z .

То есть знаменатель $B_{2 n}$ — это произведение простых $p$ , для которых $(p - 1) ∣ 2 n$ . Например, для $2 n = 12$ подходят $p \in {2, 3, 5, 7, 13}$ , и

B_{12} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{13} \in Z

(действительно, $B_{12} = - \frac{691}{2730}$ , а $2730 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$ ). Числители же чисел Бернулли — существенно более интересная вещь: они возникают, например, в гомотопических группах сфер.

На этом остановимся. Спасибо за внимание.

Related works