Анализ-1. Лекция 9

Сегодня продолжаем про интегралы, но теперь по бесконечному промежутку — несобственные интегралы: определение, интеграл Дирихле $\int \frac{s i n x}{x} = π$ (посчитаем дифференцированием по параметру), признаки сходимости (сравнение, абсолютная сходимость), интегральный признак для рядов и связанный с ним конденсационный. По дороге аналитически продолжим дзета-функцию Римана за область сходимости. Потом заделаем дыру из лекции про дифференцирование (сходимость последовательности производных), построим нигде не дифференцируемую функцию, докажем иррациональность $π$ и под конец бегло пройдёмся по теории трансцендентных чисел — от Лиувилля до Бейкера.

Несобственные интегралы

В прошлый раз мы научились интегрировать некоторые функции по конечному отрезку. Часто, однако, полезно интегрировать по бесконечному промежутку — либо когда сам промежуток бесконечен, либо когда у функции особенность на границе. И то, и другое называется несобственным интегралом.

Определение (Несобственный интеграл — бесконечный промежуток). Пусть $f$ кусочно непрерывна на $[0, + \infty)$ . Полагаем

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x = C \to + \infty lim \int_{0}^{C} f (x) d x,

если этот предел существует; тогда интеграл сходится, иначе расходится. Проблема в том, что теперь мы интегрируем по бесконечному промежутку, и расходимость может возникнуть, даже если у самой функции никаких проблем нет.

Пример.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = C \to + \infty lim \int_{0}^{C} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = C \to + \infty lim (arctg C - arctg 0) = \frac{π}{2} .

То есть мы просто посчитали первообразную и подставили $C = \infty$ . Иногда так не выйдет (первообразная не берётся или предел не существует), но здесь всё получилось.

Второй тип особенности — когда $f$ определена на интервале, а в граничной точке ведёт себя плохо. Тогда интеграл тоже несобственный:

\int_{0}^{1} f (x) d x = c \to 0 + lim \int_{c}^{1} f (x) d x,

если у $f$ проблема в $x = 0$ . В первом случае особенность у самого промежутка (бесконечность), во втором — у функции.

Пример.

\int_{0}^{1} lo g t d t = (t lo g t - t)_{0}^{1} .

В единице всё понятно: $1 \cdot 0 - 1 = - 1$ . А в нуле $t \to 0$ даёт $- t \to 0$ , и остаётся понять, к чему стремится $t lo g t$ . Запишем $t = e^{- x}$ с $x \to + \infty$ ; тогда $t lo g t = - x e^{- x} \to 0$ . Итого

\int_{0}^{1} lo g t d t = - 1.

(Логарифм в нуле уходит в $- \infty$ , но $t lo g t$ всё равно стремится к нулю — экспонента бьёт линейный множитель.)

Интеграл Дирихле

Теперь посчитаем что-нибудь нетривиальное.

Теорема (Интеграл Дирихле).

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{sin x}{x} d x = π .

Написал я его неспроста: такой интеграл — непрерывный аналог ядра Дирихле, которое всплывёт, когда будем суммировать ряды Фурье.

Сходимость. Функция $\frac{s i n x}{x}$ чётная, так что $\int_{- \infty}^{+ \infty} = 2 \int_{0}^{+ \infty}$ (минус бесконечность здесь написана для красоты), и достаточно разобраться с $\int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n x}{x} d x$ . Интегрируем по частям, загнав синус под дифференциал ( $sin x d x = d (1 - cos x)$ ):

\int_{0}^{A} \frac{sin x}{x} d x = \frac{1 - cos x}{x}_{0}^{A} + \int_{0}^{A} \frac{1 - cos x}{x ^{2}} d x .

В нуле $\frac{1 - c o s x}{x} = \frac{2 s i n ^{2} ( x /2 )}{x} \sim \frac{x}{2} \to 0$ ; при $x = A \to \infty$ дробь $\frac{1 - c o s A}{A} \to 0$ . Значит,

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x} d x = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1 - cos x}{x ^{2}} d x,

а этот интеграл сходится абсолютно: подынтегральная функция неотрицательна, вблизи нуля ограничена ( $\to \frac{1}{2}$ ), а на бесконечности

\int_{B}^{C} \frac{1 - cos x}{x ^{2}} d x \leq \int_{B}^{C} \frac{2}{x ^{2}} d x \leq \frac{2}{B} \to 0

— критерий Коши выполнен. (Это по сути признак Дирихле для интегралов: интеграл от синуса ограничен, а $\frac{1}{x}$ монотонно убывает к нулю; отдельная теорема про такое есть в седьмом листке.)

Вычисление — дифференцирование по параметру. Введём параметр и обозначим

I (t) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t x} \frac{sin x}{x} d x, t \geq 0.

Наш интеграл — это $I (0)$ (точнее, предел $I (t)$ при $t \to 0$ ; строгую теорию интегралов с параметром обсудим позже, пока поверим, что всё хорошо). Пока стало только хуже, но зато появился параметр, по которому можно дифференцировать:

I^{'} (t) = - \int_{0}^{+ \infty} e^{- t x} sin x d x .

Этот интеграл считается двойным интегрированием по частям (загоняя $sin x d x = d (- cos x)$ и потом $cos x d x = d (sin x)$ ); знак меняется дважды, вылезает множитель $t^{2}$ , и получается

\int_{0}^{+ \infty} e^{- t x} sin x d x = \frac{1}{t ^{2} + 1}, откуда I^{'} (t) = - \frac{1}{t ^{2} + 1} .

Значит, $I (t) = C - arctg t$ . Константу найдём в удобной точке: при $t \to + \infty$ подынтегральная функция гасится экспонентой, так что $I (+ \infty) = 0$ , а $arctg (+ \infty) = \frac{π}{2}$ ; отсюда $C = \frac{π}{2}$ . Поэтому

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x} d x = I (0) = \frac{π}{2}, \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{sin x}{x} d x = π .

На комплексном анализе это же посчитают вычетами, а на фурье-анализе оно выпадет из формулы обращения — но ссылаться всё время на сторонние результаты нечестно, поэтому мы посчитали руками.

Признаки сходимости

Несобственные интегралы во многом ведут себя как ряды, и признаки сходимости у них похожие. Всюду ниже предполагается, что функцию можно интегрировать по любому подотрезку (кусочно непрерывна или лежит в том пространстве, что обсуждали в прошлый раз); отдельно это не оговаривается.

Теорема (Признак сравнения). Пусть $0 \leq f \leq g$ на полуинтервале с несобственным концом (скажем, $x \to a$ ). Тогда из сходимости $\int_{a}^{b} g (x) d x$ следует сходимость $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Доказательство. Рассмотрим функцию $F (α) = \int_{α}^{b} f (x) d x$ . Она неотрицательна, монотонна по $α$ (при уменьшении $α$ к $a$ не убывает) и ограничена сверху:

F (α) = \int_{α}^{b} f \leq \int_{α}^{b} g \leq \int_{a}^{b} g < \infty.

А монотонная ограниченная функция имеет предел при $α \to a$ — по тем же соображениям, что и для последовательностей: возьмите любую монотонную последовательность $α_{n} \to a$ , для неё предел есть, а для немонотонной сравните с монотонной.

Пока не хватает интегралов от не обязательно положительных функций. В отличие от рядов, к интегралам трудно применять бесконечные перестановки, но понятия абсолютной и условной сходимости остаются.

Теорема (Абсолютная сходимость). Если $\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ сходится, то $\int_{a}^{b} f (x) d x$ тоже сходится.

Доказательство. По критерию Коши. Для близких к особому концу $δ_{1}, δ_{2}$

\int_{δ_{1}}^{δ_{2}} f (x) d x \leq \int_{δ_{1}}^{δ_{2}} ∣ f (x) ∣ d x .

Раз $\int ∣ f ∣$ сходится, правая часть есть $o (1)$ , когда $δ_{1}, δ_{2} \to a$ ; значит, и левая часть $o (1)$ — критерий Коши для $\int f$ выполнен.

Интегральный признак

Раз интегралы считать мы более-менее умеем (через первообразную), это можно приспособить к проверке сходимости рядов.

Теорема (Интегральный признак). Пусть $f (x) \geq 0$ монотонна и интегрируема (в нашем смысле) на $[0, + \infty)$ . Тогда

n = 0 \sum \infty f (n) сходится ⟺ \int_{0}^{+ \infty} f (x) d x сходится .

На таком макроскопическом уровне — сходится или нет — ряды и интегралы для монотонных функций это в точности одно и то же. Без монотонности ничего не выйдет: возьмите $f (x) = sin^{2} (π x)$ — в целых точках она нулевая (ряд сходится), а интеграл расходится.

Доказательство. Пусть $f$ монотонно убывает (для возрастающей и разговора нет). Тогда для целого $n$

f (n) \leq \int_{n - 1}^{n} f (x) d x \leq f (n - 1),

потому что $f (n)$ — это интеграл постоянной функции $f (n)$ по отрезку длины $1$ , а она снизу доминируется, сверху доминирует нашу $f$ (представьте себе картинку — ступеньки под графиком и над ним).

Интеграл сходится $\Rightarrow$ ряд сходится. Хвост ряда оценивается сверху хвостом интеграла:

n > N \sum f (n) \leq \int_{N}^{+ \infty} f (x) d x N \to \infty 0.

Ряд сходится $\Rightarrow$ интеграл сходится. По признаку сравнения сходится $\sum_{n \geq 1} \int_{n - 1}^{n} f = \int_{0}^{N} f$ (частичные суммы — это ровно интеграл до целого $N$ ). Для произвольного $C \to \infty$

\int_{0}^{⌊ C ⌋} f \leq \int_{0}^{C} f \leq \int_{0}^{⌊ C ⌋ + 1} f,

а разница — это интеграл по отрезку длины $\leq 1$ , уехавшему на бесконечность; он стремится к нулю, потому что $f \to 0$ (иначе ряд бы расходился). Значит, и интеграл сходится.

TikZ diagram — Интегральный признак: ступеньки высоты $f (n)$ зажаты между графиком монотонной $f$ , поэтому ряд и интеграл сходятся одновременно.

Замечание (Конденсационный признак). В листках был конденсационный признак: для монотонной $a_{n}$ ряд $\sum a_{n}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится $\sum 2^{n} a_{2^{n}}$ . На уровне интегралов это просто замена переменной $x = 2^{t}$ : интеграл $\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x$ после подстановки превращается в $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (2^{t}) 2^{t} lo g 2 d t$ , откуда и берётся вес $2^{n}$ . Так же можно наштамповать сколько угодно других конденсационных признаков (например, с $2^{2^{k}}$ ) — не знаю зачем, но можно.

Дзета-функция через интеграл

Давайте извлечём из всего этого максимум пользы. Мы знаем: ряд $\sum \frac{1}{n ^{α}}$ сходится при $α > 1$ . Возьмём чуть испорченный, но всё ещё сходящийся по сравнению интеграл:

\int_{1}^{+ \infty} \frac{⌊ x ⌋}{x ^{α + 1}} d x (α > 1) .

Он сходится, потому что $0 \leq ⌊ x ⌋ \leq x$ . Разобьём на отрезки $[n, n + 1]$ , где $⌊ x ⌋ = n$ постоянна:

\int_{1}^{+ \infty} \frac{⌊ x ⌋}{x ^{α + 1}} d x = n = 1 \sum \infty n \int_{n}^{n + 1} \frac{d x}{x ^{α + 1}} = n = 1 \sum \infty n \cdot \frac{n ^{- α} - ( n + 1 ) ^{- α}}{α} .

При суммировании по частям каждое $n^{- α}$ входит с коэффициентом $n$ (из своего слагаемого) и $- (n - 1)$ (из предыдущего), в сумме коэффициент $1$ ; граничный член уходит. Поэтому

α \int_{1}^{+ \infty} \frac{⌊ x ⌋}{x ^{α + 1}} d x = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{α}} = ζ (α),

также известная как дзета-функция Римана. Красиво, но пока только для $α > 1$ . А теперь трюк: $⌊ x ⌋ = x - {x}$ , где дробная часть ${x} \in [0, 1)$ ограничена. Тогда

ζ (α) = α \int_{1}^{+ \infty} \frac{x}{x ^{α + 1}} d x - α \int_{1}^{+ \infty} \frac{{ x }}{x ^{α + 1}} d x = \frac{α}{α - 1} - α \int_{1}^{+ \infty} \frac{{ x }}{x ^{α + 1}} d x,

поскольку $\int_{1}^{+ \infty} x^{- α} d x = \frac{1}{α - 1}$ . Смысл в том, что оставшийся интеграл сходится уже при $α > 0$ (дробная часть ограничена), а на самом деле и при комплексных $α$ с $Re α > 0$ . То есть мы придали смысл выражению $ζ (α)$ на всём $α > 0$ , кроме $α = 1$ , где слагаемое $\frac{α}{α - 1}$ обращается в бесконечность (полюс). Так дзета-функцию можно продолжать за область сходимости; примерно так Эйлер, считая её в разных точках, угадал функциональное уравнение — как ему это удалось, я до сих пор понять не могу.

Замечание (Ещё один способ продолжить). Просуммируем только по чётным: $2^{- α} + 4^{- α} + 6^{- α} + \dots = 2^{- α} ζ (α)$ . Умножив на $2$ и вычтя из исходного ряда, получаем знакопеременный ряд:

(1 - 2^{1 - α}) ζ (α) = 1 - \frac{1}{2 ^{α}} + \frac{1}{3 ^{α}} - \dots

Правая часть сходится по признаку Лейбница при $α > 0$ . Заметьте, при $α = 1$ выражение осмысленно: слева $(1 - 2^{0}) = 0$ умножается на полюс $ζ$ , справа ряд сходится к $lo g 2$ — ноль на бесконечность сокращаются как надо. Удивительным образом это продолжение и предыдущее дают одну и ту же функцию (объясняется комплексным анализом: два раза хорошо продолжить и получить разное — жирно будет).

Дифференцирование последовательностей

Я хочу заделать дыру: на одной из лекций я доказывал дифференцируемость предела равномерно сходящейся последовательности, долго писал на доске и в какой-то момент понял, что говорю чепуху. Оказалось, не хватало ровно одного условия — сходимости последовательности хотя бы в одной точке.

Теорема (Теорема 2 — дифференцирование последовательности). Пусть $f_{n}$ непрерывно дифференцируемы на $[a, b]$ , последовательность $f_{n} (x_{0})$ сходится в некоторой точке $x_{0} \in [a, b]$ , а производные $f_{n}^{'}$ сходятся равномерно к некоторой $g$ . Тогда $f_{n}$ сходятся равномерно к некоторой $f$ , причём $f^{'} = g$ .

Без условия сходимости в точке ничего не выйдет: можно докидывать к $f_{n}$ большие константы, производные не заметят, а сами функции убегут куда угодно.

Доказательство. Возьмём $ε > 0$ и выберем $N$ так, что при $n, m > N$ выполнено сразу два:

f_{n} (x_{0}) - f_{m} (x_{0}) < \frac{ε}{2}, f_{n}^{'} (x) - f_{m}^{'} (x) < \frac{ε}{2 ( b - a )} для всех x

(можно — есть сходимость в точке и равномерная сходимость производных).

Ключевая оценка. Для любых $x, t$ по теореме Лагранжа

[f_{n} (x) - f_{m} (x)] - [f_{n} (t) - f_{m} (t)] = (f_{n} - f_{m})^{'} (ξ) \cdot ∣ x - t ∣ \leq \frac{ε}{2 ( b - a )} ∣ x - t ∣.

Равномерная сходимость $f_{n}$ . Для произвольного $x$

f_{n} (x) - f_{m} (x) \leq [f_{n} (x) - f_{m} (x)] - [f_{n} (x_{0}) - f_{m} (x_{0})] + f_{n} (x_{0}) - f_{m} (x_{0}) \leq \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .

Значит, $f_{n}$ равномерно фундаментальна, $f_{n} ⇉ f$ .

Производная. Зафиксируем $x$ и введём разностные отношения

φ_{n} (t) = \frac{f _{n} ( t ) - f _{n} ( x )}{t - x} (t \neq = x), φ_{n} (x) = f_{n}^{'} (x) .

Так как $f_{n} \in C^{1}$ , функции $φ_{n}$ непрерывны. Их разность в числителе — та же четверная разность, поэтому

φ_{n} (t) - φ_{m} (t) \leq \frac{ε}{2 ( b - a )} для всех t,

то есть $φ_{n} ⇉ Φ$ равномерно, и $Φ$ непрерывна. С другой стороны, поточечно $φ_{n} (t) \to \frac{f ( t ) - f ( x )}{t - x}$ (ведь $f_{n} \to f$ ). Так как предел можно переставлять (равномерный предел непрерывных непрерывен),

f^{'} (x) = t \to x lim Φ (t) = t \to x lim n lim φ_{n} (t) = n lim t \to x lim φ_{n} (t) = n lim f_{n}^{'} (x) = g (x) .

Дыра заделана; теперь ряды можно дифференцировать спокойно.

Нигде не дифференцируемые функции

Дифференцируемость — редкое свойство: у случайно взятой непрерывной функции вероятность быть дифференцируемой в случайной точке нулевая (множество функций, дифференцируемых хоть в одной точке, вообще нигде не плотно в пространстве непрерывных). Построить функцию, дифференцируемую нигде, — уже нужно постараться.

Первый пример — Вейерштрасс (1872):

n = 0 \sum \infty a^{n} cos (b^{n} π x), 0 < a < 1, b нечётное натуральное, ab > 1 + \frac{3 π}{2}

(наименьшее подходящее $b$ — семёрка). Позже Харди показал, что ограничение на $ab$ несущественно. Мы же схалявим и построим нигде не дифференцируемую функцию, не разбираясь в косинусах. Сначала простое наблюдение, тоже Вейерштрасса.

Теорема (Признак Вейерштрасса (-тест)). Пусть есть функции $f_{n}$ с $∥ f_{n} ∥_{\infty} \leq M_{n}$ , и ряд $\sum M_{n}$ сходится. Тогда $\sum f_{n} (x)$ сходится равномерно.

Доказательство. Очевидно: в каждой точке остаток ряда по модулю оценивается хвостом $\sum M_{n}$ , который мал. Вот и всё.

Теперь возьмём функцию-пилу $φ$ : на $[- 1, 1]$ положим $φ (x) = ∣ x ∣$ , а дальше продолжим по периодичности с периодом $2$ . Получается даже не совсем пила, а такой домик, повторённый с периодом $2$ . Про неё понятно, что она $1$ -липшицева: $∣ φ (s) - φ (t) ∣ \leq ∣ s - t ∣$ (на прямом участке равенство, на изломе даже меньше), и $0 \leq φ \leq 1$ .

Теорема (Нигде не дифференцируемая функция). Функция

f (x) = n = 0 \sum \infty (\frac{3}{4})^{n} φ (4^{n} x)

непрерывна и нигде не дифференцируема.

Идея: у пилы есть микроскопические зазубрины; растягивая её в $4^{n}$ раз и приглушая весом $(3/4)^{n}$ , мы навешиваем зазубрины всех масштабов, и получается лохматая функция.

Доказательство. Непрерывность. $φ$ ограничена, $\sum (3/4)^{n}$ сходится, поэтому по признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно — предел непрерывен.

Недифференцируемость. Зафиксируем $x \in R$ и натуральное $m$ . Положим

δ_{m} = \pm \frac{1}{2} \cdot 4^{- m},

выбрав знак так, чтобы между $4^{m} x$ и $4^{m} x + 4^{m} δ_{m} = 4^{m} x \pm \frac{1}{2}$ не было целого числа (так знак выбрать всегда можно: иначе на отрезке длины $\frac{1}{2}$ оказалось бы целое с двух сторон). Рассмотрим приращения

γ_{n} = \frac{φ ( 4 ^{n} ( x + δ _{m} ) ) - φ ( 4 ^{n} x )}{δ _{m}} .

$n > m$ : аргументы отличаются на $4^{n} δ_{m} = \pm \frac{1}{2} \cdot 4^{n - m}$ — чётное целое число; по периодичности $φ$ значения совпадают, $γ_{n} = 0$ . Зазубрины на мелких масштабах разглаживаются.
$n < m$ : по липшицевости $∣ γ_{n} ∣ \leq \frac{∣ 4 ^{n} δ _{m} ∣}{∣ δ _{m} ∣} = 4^{n}$ .
$n = m$ : аргументы отличаются ровно на $\pm \frac{1}{2}$ , и по выбору знака между ними нет целого — значит, $φ$ там линейна с наклоном $\pm 1$ , и $∣ γ_{m} ∣ = \frac{1/2}{∣ δ _{m} ∣} = 4^{m}$ в точности.

Смотрим на разностное отношение:

\frac{f ( x + δ _{m} ) - f ( x )}{δ _{m}} = n = 0 \sum m (\frac{3}{4})^{n} γ_{n} \geq (\frac{3}{4})^{m} ∣ γ_{m} ∣ - n = 0 \sum m - 1 (\frac{3}{4})^{n} ∣ γ_{n} ∣.

Одно большущее слагаемое $(\frac{3}{4})^{m} 4^{m} = 3^{m}$ , а остальные оцениваются суммой $\sum_{n = 0}^{m - 1} 3^{n} = \frac{3 ^{m} - 1}{2}$ :

\frac{f ( x + δ _{m} ) - f ( x )}{δ _{m}} \geq 3^{m} - \frac{3 ^{m} - 1}{2} = \frac{3 ^{m} + 1}{2} m \to \infty \infty.

Разностное отношение не только не сходится — оно растёт. Значит, $f$ не дифференцируема ни в одной точке. Как сюда встроить косинусы, обсудим, когда дойдём до тригонометрических систем.

Иррациональность $π$

Извлечём из интегралов серьёзную пользу.

Теорема (Теорема 3). Число $π$ иррационально.

Сначала абстрактно проинтегрируем, потом получим подозрительное соотношение. Возьмём произвольный многочлен $p$ и построим

F (x) = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} p^{(2 n)} (x)

— это конечная сумма (у достаточно высоких производных многочлена ноль). Заметим, что $F^{''} + F = p$ : при двукратном дифференцировании исчезает нулевое слагаемое $p$ , а все остальные меняют знак и сокращаются, оставляя $F^{''} = p - F$ . Тогда

(F^{'} (x) sin x - F (x) cos x)^{'} = (F^{''} + F) (x) sin x = p (x) sin x,

и мы научились интегрировать $p (x) sin x$ :

\int_{0}^{π} p (x) sin x d x = (F^{'} (x) sin x - F (x) cos x)_{0}^{π} = F (π) + F (0)

(синус зануляется на концах, а $cos π = - 1$ , $cos 0 = 1$ ).

Доказательство. Пусть $π = \frac{a}{b}$ с натуральными $a, b$ . Возьмём многочлен

p (x) = \frac{x ^{n} ( a - b x ) ^{n}}{n !} .

Он не очень-то похож на многочлен с рациональными коэффициентами, но $a - b x = b (π - x)$ , так что $p (x) = \frac{b ^{n} x ^{n} ( π - x ) ^{n}}{n !}$ положителен на $(0, π)$ и симметричен: $p (π - x) = p (x)$ .

Снизу. Интеграл положителен: $\int_{0}^{π} p (x) sin x d x > 0$ .

Сверху. Грубо: $x \leq π$ и $a - b x \leq a = bπ$ , поэтому $p (x) \leq \frac{b ^{n} π ^{2 n}}{n !}$ , и

0 < \int_{0}^{π} p (x) sin x d x \leq \frac{b ^{n} π ^{2 n}}{n !} \int_{0}^{π} sin x d x = \frac{2 b ^{n} π ^{2 n}}{n !} n \to \infty 0,

поскольку факториал бьёт экспоненту.

Целочисленность. Утверждаю, что $F (0) + F (π)$ — целое число. Производные $p^{(k)} (0)$ равны нулю при $k < n$ (многочлен начинается с $x^{n}$ ), а при $k \geq n$ целые: в числителе многочлен с целыми коэффициентами, при взятии $k$ -й производной от $x^{m}$ вылезает $m!$ , а $m! / n!$ целое при $m \geq n$ . Значит, $F (0) = \sum (- 1)^{n} p^{(2 n)} (0)$ целое. Из $p (π - x) = p (x)$ имеем $p^{(k)} (π) = (- 1)^{k} p^{(k)} (0)$ , тоже целое, поэтому и $F (π)$ целое.

Противоречие. Число $N$ в наших руках. При $n \to \infty$ выражение $\int_{0}^{π} p sin x d x$ стремится к нулю, оставаясь положительным; но оно равно целому $F (0) + F (π)$ . Положительное целое число не умеет стремиться к нулю — значит, для больших $n$ оно окажется строго между $0$ и $1$ , чего не бывает. Итак, $π$ иррационально.

Примерно так же (с небольшим знанием алгебраической теории чисел — что такое группа Галуа) доказывается и трансцендентность $π$ ; аналогичный аргумент для числа $e$ есть в восьмом листке.

Трансцендентные числа

Мы доказали иррациональность $π$ — это уже здорово, тем более что про многие известные числа до сих пор неизвестно, рациональны они или нет. Ряд без квадратов

1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}

иррационален — это мы, по существу, только что доказали. А вот про его аналог с квадратами в знаменателе — постоянную Каталана

k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{( 2 k + 1 ) ^{2}}

— иррациональность, по словам лектора, стала известна совсем недавно (это утверждение стоит проверить: в общедоступной литературе иррациональность постоянной Каталана — открытая проблема; см. lecture9-issues.md).

Определение (Трансцендентное число). Число $α \in R$ (или $C$ ) трансцендентно, если $p (α) \neq = 0$ для любого ненулевого многочлена $p$ с целыми коэффициентами. Иначе $α$ алгебраично.

Почти все числа трансцендентны: алгебраических счётное число (многочленов счётно). Поэтому, ткнув наугад — если это не вложенная башня квадратных корней и не корень явного многочлена, — вы с хорошей вероятностью попадёте в трансцендентное. Впервые существование трансцендентных чисел установил Лиувилль.

Теорема (Теорема Лиувилля). Пусть $α$ — вещественное алгебраическое число степени $n$ (минимальный зануляющий его многочлен имеет степень $n$ ). Тогда существует константа $C = C (α) > 0$ такая, что для любой дроби $\frac{a}{q}$

α - \frac{a}{q} \geq \frac{C}{q ^{n}} .

Константа обязана зависеть от $α$ : будь она общей, можно было бы домножить $α$ на триллион и получить противоречие.

Доказательство. Пусть $f (α) = 0$ , $f$ — минимальный многочлен степени $n$ (с целыми коэффициентами). У $f$ нет кратного корня: иначе $f$ и $f^{'}$ имели бы общий множитель, зануляющий $α$ , вопреки минимальности.

Можно считать $α - \frac{a}{q} \leq 1$ (иначе неравенство очевидно). Производная $f^{'}$ ограничена сверху на отрезке $[α - 1, α + 1]$ некоторой $M$ . Далее, $q^{n} f (\frac{a}{q})$ — целое число, и оно не ноль (иначе $\frac{a}{q}$ был бы корнем и многочлен приводим), поэтому $f (\frac{a}{q}) \geq \frac{1}{q ^{n}}$ . По теореме о среднем

f (\frac{a}{q}) = f (\frac{a}{q}) - f (α) = f^{'} (β) (\frac{a}{q} - α)

для некоторого $β$ , откуда

α - \frac{a}{q} = \frac{f ( a / q )}{f ^{'} ( β )} \geq \frac{1}{M q ^{n}} = \frac{C}{q ^{n}} .

Так можно понастроить сколько угодно трансцендентных чисел: например, $\sum_{k} 1 0^{- k!}$ гарантированно трансцендентно — оно слишком близко приближается своими десятичными обрезками. Числа с таким свойством (ни для какого $n$ неравенство Лиувилля не выполняется) называются лиувиллевыми. Почти все числа трансцендентны, но почти ни одно не лиувиллево — это очень специфическое свойство. Для почти всех чисел вместо $q^{n}$ можно писать $q^{2 + ε}$ , поэтому для «настоящих» констант вроде $π$ такой аргумент не проходит (более того, $π$ не лиувиллево).

Замечание (Насколько усиливаема теорема Лиувилля). Вершина теории диофантовых приближений — теорема Рота: показатель $n$ всегда можно заменить на $2 + ε$ , и никакое алгебраическое число не приближается рациональными точнее. За неё Рот получил премию Филдса. Можно ли убрать $ε$ — открыто; неизвестно даже, ставится ли просто $2$ для $α = 32$ . Для квадратичных иррациональностей двойка ставится и оптимальна; ни для одной кубической это неизвестно.

Дальше — обобщения на трансцендентность.

Теорема (Линдемана–Вейерштрасса). Пусть $α_{1}, \dots, α_{n}$ — различные алгебраические числа. Тогда $e^{α_{1}}, \dots, e^{α_{n}}$ линейно независимы над $\overline{Q}$ : линейная комбинация таких экспонент с алгебраическими коэффициентами равна нулю только тогда, когда все коэффициенты нулевые.

Отсюда сразу трансцендентность $e$ , а также $π$ : если бы $π$ было алгебраично, к паре $α_{1} = 0$ , $α_{2} = 2 π i$ применилась бы теорема, но $e^{2 π i} = 1 = e^{0}$ — противоречие.

Теорема (Гельфонда–Шнайдера — 7-я проблема Гильберта). Пусть $α$ алгебраично, $α \neq = 0, 1$ , а $β$ — иррациональное алгебраическое. Тогда $α^{β}$ трансцендентно.

Гильберт (1900) считал задачу безнадёжной — по его мнению, сложнее и Великой теоремы Ферма, и гипотезы Римана. Тем не менее Кузьмин (1930) доказал трансцендентность $2^{2}$ , а Гельфонд (1934) — общий случай; это оказалась одна из первых решённых проблем Гильберта. Следствие: $e^{π}$ трансцендентно, потому что

e^{π} = (e^{iπ})^{- i} = (- 1)^{- i},

а $- 1$ алгебраично и $\neq = 0, 1$ , показатель $- i$ иррационально алгебраичен — теорема Гельфонда–Шнайдера применима. Долго держалась фольклорная гипотеза об алгебраической независимости $π$ и $e^{π}$ ; в 1990-х её доказали (вместе с $Γ (1/4)$ в том же наборе).

Теорема (Бейкера, 1966). Пусть $λ_{1}, \dots, λ_{m}$ линейно независимы над $Q$ и таковы, что все $e^{λ_{i}}$ алгебраичны (то есть $λ_{i}$ — логарифмы алгебраических чисел). Тогда $1, λ_{1}, \dots, λ_{m}$ линейно независимы над $\overline{Q}$ .

Иными словами, единственные линейные соотношения между логарифмами алгебраических чисел — с рациональными коэффициентами, то есть мультипликативные тождества вроде $lo g 4 = 2 lo g 2$ или $lo g φ$ с $φ = \frac{1 + 5}{2}$ ; других нет. Бейкер (тоже премия Филдса) на самом деле доказал более сильный результат — оценку снизу на модуль линейной формы в логарифмах, из которой много всякого следует; в частности, он решил проблему десятого дискриминанта. Но это уже совсем другая история.

На этом на сегодня всё. Удачи с листком; встретимся в следующий раз.

Related works