Анализ-1. Лекция 8

Сегодня — обещанные в прошлый раз гильбертовы пространства (немного: определение, неравенство Коши–Буняковского–Шварца, $ℓ_{2}$ ), а потом начнём новую тему — интегралы. Дифференцировать мы уже худо-бедно научились; научимся интегрировать: интеграл Римана в двух словах, более поучительное определение через ступенчатые функции, формула Ньютона–Лейбница, интегрирование по частям и замена переменной, таблица интегралов, формула Тейлора с интегральным остатком — и под конец выясним, почему непрерывные функции со скалярным произведением $\int f g$ не образуют гильбертова пространства и какие интегралы вообще берутся в элементарных функциях.

Гильбертовы пространства и $ℓ_{2}$

Есть такая распространённая траектория: исследуя какие-нибудь объекты, можно двигаться ко всё более общим — они становятся всё более сложными и страшными, — а можно, наоборот, ко всё более специальным, у которых всё больше хороших свойств. Гильбертовы пространства — это такие пространства по отношению к банаховым: они банаховы, но очень-очень особенные.

Начнём с важного примера, ничего пока не определяя. Мы обсуждали $ℓ_{p}^{n}$ ; выберем специальное $p$ , а именно $p = 2$ . Чем оно примечательно?

$p = q$ : сопряжённый показатель ( $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ) совпадает с самим $p$ . В частности, пространство изометрично своему двойственному (это можно увидеть в листке).
Единичная сфера. В $ℓ_{1}$ это гипероктаэдр, в $ℓ_{\infty}$ — куб, а при $p = 2$ — настоящая сфера. У сферы очень большая группа автоморфизмов, в отличие от куба: линейное отображение, сохраняющее куб, обязано переводить вершины в вершины, поэтому там мало что может получиться.
Получается стандартная евклидова метрика.

И особенный этот случай не в смысле «плохой», а в смысле «хороший»: если рассмотреть бесконечномерные $L_{p}$ -пространства, то там есть два граничных особенных случая, $p = 1$ и $p = \infty$ , и они как раз плохие — пространство получается нерефлексивным. А $p = 2$ — наоборот.

Определение. $ℓ_{2}$ — пространство квадратично суммируемых последовательностей:

ℓ_{2} = {x = (x_{1}, x_{2}, \dots) n \sum ∣ x_{n} ∣^{2} < \infty} .

(Модуль нужен, если хотите комплекснозначные последовательности; у нас сегодня всё вещественное.)

Это векторное пространство: сумма двух квадратично суммируемых последовательностей квадратично суммируема, потому что $(a + b)^{2} \leq 2 a^{2} + 2 b^{2}$ — ряд из квадратов суммы мажорируется двумя сходящимися рядами.

Определение (Двойственное пространство). Для нормированного пространства $X$ положим

X^{*} = {f : X \to R ∣ f линейно и непрерывно}

(непрерывность эквивалентна ограниченности: $∣ f (x) ∣ \leq C ∥ x ∥$ ). Норма функционала — точная нижняя грань таких $C$ . Такое пространство всегда банахово.

Оказывается, $ℓ_{2}^{*} ≅ ℓ_{2}$ , причём изоморфизм канонический: всякий $y \in ℓ_{2}$ задаёт функционал

x ⟼ n \sum x_{n} y_{n},

и теорема заключается в том, что все непрерывные функционалы обязаны иметь такой вид. (Почему сумма сходится: $∣ ab ∣ \leq \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2})$ , так что при сходящихся $\sum x_{n}^{2}$ и $\sum y_{n}^{2}$ сходится и она.)

Систематизируется это явление так.

Определение (Предгильбертово и гильбертово пространство). Векторное пространство $H$ над $R$ предгильбертово, если на нём задано отображение $(\cdot, \cdot) : H \times H \to R$ (скалярное произведение) со свойствами:

билинейность: $(a x_{1} + b x_{2}, y) = a (x_{1}, y) + b (x_{2}, y)$ , и то же по второму аргументу (что по симметрии автоматически);
симметричность: $(x, y) = (y, x)$ ;
положительная определённость — самое важное, иначе ничего бы не было: $(x, x) > 0$ для любого $x \neq = 0$ .

Форма задаёт норму

∥ x ∥ = (x, x)

(положительность и однородность очевидны; неравенство треугольника — сейчас обсудим). Если $H$ полно относительно этой нормы, оно называется гильбертовым.

На $ℓ_{2}^{n}$ форма — это $\sum_{i \leq n} x_{i} y_{i}$ , на $ℓ_{2}$ — та самая $\sum_{n} x_{n} y_{n}$ . Я решил отдельно про это сказать, потому что чем больше народа знает, что такие объекты существуют, тем лучше: чем ни начнёшь заниматься нетривиальным, обязательно какое-нибудь гильбертово пространство образуется, практически неизбежно. (Может быть, это лично у меня такая ситуация, но я склонен обобщать свой опыт.)

Теорема (КБШ — неравенство Коши–Буняковского–Шварца). Пусть $H$ предгильбертово и $x, y \in H$ . Тогда

(x, y) \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥.

(На Западе это называется неравенством Коши–Шварца; западные коллеги, приезжая в Москву с докладами, иногда подчёркивают, что «из соображений местной политкорректности» будут говорить Коши–Буняковского–Шварца.)

Доказательство. Здесь очень здорово, что мы смогли сказать всё так абстрактно: у нас есть просто билинейная форма и больше ничего — инструментов немного, поэтому будем решать квадратное уравнение. Возьмём вещественное $t$ и напишем

0 \leq (x + t y, x + t y) = (x, x) + 2 t (x, y) + t^{2} (y, y) для всех t .

Если $y = 0$ , всё нулевое, кроме первого слагаемого, и проверять нечего. Если $y \neq = 0$ , справа стоит настоящий квадратный трёхчлен по $t$ , всюду неотрицательный, — значит, его дискриминант не больше нуля:

4 (x, y)^{2} - 4 (x, x) (y, y) \leq 0,

и это в точности КБШ. (Такое абстрактное — изначально его доказывали сначала для последовательностей, потом для интегралов и только потом в этой общности.)

Непосредственное следствие — неравенство треугольника для нашей нормы:

∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 (x, y) + ∥ y ∥^{2} \leq ∥ x ∥^{2} + 2∥ x ∥∥ y ∥ + ∥ y ∥^{2} = (∥ x ∥ + ∥ y ∥)^{2} .

Утверждение. $ℓ_{2}$ — гильбертово пространство.

Доказательство. Предгильбертовость мы поняли; вопрос — полнота. Набросок. Пусть $x^{(m)}$ — фундаментальная последовательность элементов $ℓ_{2}$ . Каждая координата $x_{n}^{(m)}$ фундаментальна в $R$ (её отклонения оцениваются нормой), поэтому есть покоординатный предел $x$ : каждая координата сходится к соответствующей координате. Осталось доказать, что этот предел лежит в $ℓ_{2}$ . Рассмотрим проекции $P_{n}$ — оставляем первые $n$ координат, дальше нули; проекция не увеличивает норму. Тогда

∥ P_{n} x ∥ = m lim ∥ P_{n} x^{(m)} ∥ \leq m lim ∥ x^{(m)} ∥ < \infty

(предел норм существует: последовательность фундаментальна, нормы фундаментальны в $R$ ). Значит, частичные суммы $\sum_{i \leq n} x_{i}^{2}$ ограничены одной константой при всех $n$ — а их предел и есть сумма квадратов координат $x$ . Итак, $x \in ℓ_{2}$ ; сходимость $x^{(m)} \to x$ по норме получается из тех же оценок, применённых к разностям. У $ℓ_{2}$ , как и положено, огроменная группа изометрий.

Интеграл Римана

Теперь опять немножко снизим уровень абстракции: поговорим про интегралы — по отрезку $[a, b]$ с конечными концами (несобственные — потом, когда ноябрь начнётся).

Как думать про интегралы? Меня в школе немножко учили физики. Они учили так: хочешь посчитать интеграл — можно не париться, а просто нарисовать график, аккуратно вырезать его из бумажки и взвесить; выясни, сколько весит один квадратик линованной бумаги, — вот тебе и интеграл. Но это совсем не строгий взгляд — мало ли какие бывают функции. Пойдём по степени увеличения правильности.

Определение (Интеграл Римана). Пусть $f : [a, b] \to R$ . Разобьём отрезок точками

a = x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n} = b

и в каждом отрезочке выберем по точке: $t_{i} \in [x_{i}, x_{i + 1}]$ . Интегральная сумма —

S (f, X, T) = i = 1 \sum n - 1 f (t_{i}) Δ_{i}, Δ_{i} = x_{i + 1} - x_{i},

а диаметр разбиения — $diam X = max_{i} Δ_{i}$ . Функция $f$ интегрируема по Риману, если существует число $S$ такое, что

S (f, X, T) = S + o (1) при diam X = o (1)

— когда диаметр стремится к нулю, все такие суммы становятся близки к одному конкретному числу. Это $S$ и называют интегралом $\int_{a}^{b} f (t) d t$ .

TikZ diagram — Разбиение отрезка с отмеченными точками $t_{i}$ для интегральной суммы.

Дальше классически положено мучиться и доказывать, что у непрерывной функции этот интеграл существует.

Теорема (без номера). Если $f$ непрерывна на $[a, b]$ , то $f$ интегрируема по Риману.

Доказательство. Набросок (я не претендую на то, что это будет нормальное доказательство, — потом я хочу определить интеграл по-другому; зачем же мы вводили нормированные пространства и равномерную сходимость). Определим верхние и нижние суммы: в качестве $t_{i}$ берём точку, где $f$ на отрезочке максимальна (соответственно минимальна), — получаются самая большая и самая маленькая возможные суммы для данного разбиения, зависящие уже только от разбиения: $\overline{S} (X)$ и $\underline{S} (X)$ . Затем верхний интеграл по Дарбу — инфимум всех $\overline{S} (X)$ , нижний — супремум всех $\underline{S} (X)$ ; функция интегрируема по Дарбу, если они совпадают. Осталось доказать, что для непрерывной $f$ они совпадают — и совпадают с интегралом Римана.

Это звучит как план, а делается дальше просто: если диаметр разбиения маленький, то — поскольку непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна — на каждом отрезочке максимум от минимума отличается очень мало. А для двух разных разбиений можно взять их общее измельчение: верхняя сумма от измельчения уменьшается, нижняя — увеличивается. Дальше сходимость доказывается напрямую.

Интеграл через ступенчатые функции

У меня в записях сказано, что то, что я только что произнёс, несколько непоучительно. Определим интеграл более поучительным способом. Он немножко похож на интеграл Лебега, но, поскольку никакой теории меры у нас пока нет, вместо простых функций будут ступенчатые — к счастью, это не сильно портит ситуацию.

Определение (Кусочно непрерывная функция). Функция $f$ на отрезке $I$ кусочно непрерывна, если существуют отрезки $I_{1}, \dots, I_{N} \subset I$ такие, что $I_{i} \cap I_{j}$ содержит не более одной точки, $⋃_{i} I_{i} = I$ , ограничение $f$ на внутренность каждого $I_{i}$ непрерывно, и в концах каждого отрезочка существуют односторонние пределы $lim_{x \to a_{i} \pm} f (x)$ . (Предел справа — это когда последовательностям в определении предела разрешено быть только больше $a_{i}$ .)

По-человечески: бьёте отрезок на кусочки, посередине разрешаете что угодно, а по краям запрещаете сильно расходиться. Например, $f (x) = \frac{1}{x}$ при $x \neq = 0$ , $f (0) = 0$ — не кусочно непрерывна: в нуле нет односторонних пределов, такое мы запрещаем.

Определение (Ступенчатая функция). $f$ кусочно постоянна (ступенчата), если ограничение на внутренность каждого $I_{i}$ — константа. На границах делайте что хотите — границы нам не важны; главное, чтобы кусочков было конечное число.

Введём пространство $P C (I)$ всех ступенчатых функций на $I$ ( $P C$ — piecewise constant; если где-нибудь возникает непонятная буква, это надо обязательно уточнять. Однажды я изучал вопрос, почему в теории чисел простое число, отличное от $p$ , обозначают $ℓ$ ; оказалось, Кронекеру захотелось что-то обозначить лямбдой, потом Гильберт скопировал — и что эта лямбда означала, теперь никто не знает.)

$P C (I)$ — векторное пространство: складывая две ступенчатые функции, возьмите разбиение, границы которого — объединение границ тех и других. (Если хотите быстро понять: у такой функции производная равна нулю всюду, кроме конечного числа точек.) Вложим его в пространство $B (I)$ ограниченных функций с нормой

∥ f ∥_{\infty} = x \in I sup ∣ f (x) ∣

— всякая ступенчатая функция ограничена, у неё вообще конечное число значений.

Пространство $P C (I)$ , конечно, очень и очень неполное — поэтому его следует замкнуть внутри $B (I)$ и посмотреть, что там внутри лежит.

Теорема (Приближение ступенчатыми). Замыкание $\overline{P C (I)}$ внутри $B (I)$ содержит все непрерывные функции. (На самом деле — по очевидным причинам — и все кусочно непрерывные: разбейте отрезок на кусочки и приблизьте на каждом.)

Доказательство. Непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна (компакт): для любого $ε > 0$ существует $δ$ такое, что $∣ x - y ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (y) ∣ < ε$ . Возьмём точки $a = x_{1} < \dots < x_{n} = b$ с $0 < x_{i + 1} - x_{i} \leq δ$ (что можно так разбить — ёжику понятно: поделите на триллион кусков). Построим ассоциированную ступенчатую функцию:

g (x) = f (x_{i}) при x \in [x_{i}, x_{i + 1}), g (b) = f (b) .

Она кусочно постоянна, и

∥ f - g ∥_{\infty} = x sup f (x) - f (x_{i}) \leq ε,

потому что $∣ x - x_{i} ∣ < δ$ . Всякую непрерывную функцию можно приблизить такой совсем глупой ступенчатой.

Зачем? Понятно, зачем: у ступенчатой функции определить интеграл ничего не стоит — она состоит из кусочков, а проинтегрировать кусочек со значением $c_{i}$ на $[a_{i}, a_{i + 1}]$ — это $c_{i} (a_{i + 1} - a_{i})$ ; интеграл всего — сумма таких кусков.

Определение (Интеграл ступенчатой функции). Для $f \in P C (I)$ с разбиением $x_{1} < \dots < x_{n}$

\int_{a}^{b} f (x) d x = i = 1 \sum n - 1 f (\frac{x _{i} + x _{i + 1}}{2}) (x_{i + 1} - x_{i})

(значение берём в середине — технически, чтобы не попасть на границу, где у нас нет никакого контроля).

Замечание 1 (это даже не достойно называться утверждением). Для ступенчатых $f, g$ :

линейность: $\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g$ ;
интеграл не зависит от выбора разбиения (добавьте лишнюю точку разбиения — формально запись другая, но число то же);
$\int_{a}^{b} f (x) d x \leq ∥ f ∥_{\infty} (b - a)$ — каждое слагаемое оцениваем, и всё.

То есть интеграл — непрерывный линейный функционал на пространстве ступенчатых функций. А непрерывная функция на метрическом пространстве единственным образом продолжается на пополнение (мы это даже рисовали в виде диаграммки), и пополнение внутри полного пространства — это замыкание. Явно: если ступенчатые $f_{n}$ равномерно сходятся к $f$ , объявляем

\int_{a}^{b} f (x) d x = n \to \infty lim \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x

— предел существует и не зависит от выбора приближающей последовательности, потому что интеграл оценивается сверху равномерной нормой.

Определение (Интеграл). Для функций из $\overline{P C (I)}$ — в частности, для непрерывных и кусочно непрерывных — интеграл определён как это продолжение. С чем я вас и поздравляю: теперь можно всякие интегралы брать.

Замечание 2. Интеграл линеен и ограничен (арифметика пределов; ограниченное продолжение ограниченного функционала). Далее, он монотонен: если $f \geq g$ , то $\int_{I} f \geq \int_{I} g$ . Достаточно понять, что интеграл неотрицательной функции неотрицателен: для ступенчатых это очевидно (ничего отрицательного не суммируем), а неотрицательную функцию можно приближать неотрицательными ступенчатыми — если вы зачем-то приближаете её чем-то отрицательным, просто зануляйте, приближение станет только лучше. Отсюда неравенство треугольника для интегралов:

\int_{I} f (x) d x \leq \int_{I} ∣ f (x) ∣ d x

— можно рассматривать его как неравенство треугольника для континуального числа слагаемых.

Замечание 3. Если $f_{n} \in \overline{P C (I)}$ и $f_{n} ⇉ f$ , то $\int f_{n} \to \int f$ : интеграл коммутирует с равномерной сходимостью. Это следует из конструкции и вообще ничего не стоит — интеграл просто непрерывен на этом пространстве.

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема (Ньютона–Лейбница). Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$ . Тогда

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

— единственная функция на этом отрезке такая, что $F^{'} (x) = f (x)$ для всех $x$ и $F (a) = 0$ .

Соглашения: $\int_{a}^{a} = 0$ (если вы интегрируете что-то разумное; если забросите туда дельта-функцию — тогда нужно обсуждать), а если оказалось $b < a$ , то $\int_{a}^{b} = - \int_{b}^{a}$ . Заметьте: теорема, в частности, даёт существование первообразной — априори совершенно не очевидно, почему у любой непрерывной функции есть функция с такой производной. (Интегрируемость по подотрезку — не проблема: умножьте приближающие ступенчатые функции на характеристическую функцию подотрезка.)

Доказательство. Практически ничего не нужно делать. По аддитивности интеграла ( $\int_{a}^{b} + \int_{b}^{c} = \int_{a}^{c}$ — верно на ступенчатых, значит, верно всегда)

F (x + h) - F (x) = \int_{x}^{x + h} f (t) d t .

По монотонности

h \cdot t \in [x, x + h] min f (t) \leq \int_{x}^{x + h} f (t) d t \leq h \cdot t \in [x, x + h] max f (t)

(интеграл константы — длина отрезка на константу). При $h \to 0$ минимум и максимум стремятся к одному и тому же — к $f (x)$ , по непрерывности. Поэтому

\frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} = f (x) + o (1) при h = o (1),

то есть $F^{'} = f$ . Единственность: у разности двух таких функций производная нуль и значение в $a$ нуль; по теореме Лагранжа разность значений в любых двух точках равна производной в промежуточной точке на длину — нуль. Вот и всё.

Определение (Первообразная). $F$ такая, что $F^{'} = f$ , называется первообразной для $f$ . Любые две первообразные на отрезке отличаются на константу; если $F$ — первообразная непрерывной $f$ , то

\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a) .

Неопределённый интеграл — множество всех первообразных: пишем $\int f (x) d x = F (x) + C$ , где $C$ — что угодно. Если интеграл неопределённый — про $+ C$ не забывайте; если определённый — никакого $+ C$ нет.

Замечание. Если функция живёт на несвязном множестве, констант может быть несколько разных — по одной на компоненту. Пример увидим прямо в таблице интегралов ( $\frac{1}{x}$ на $R ∖ {0}$ ).

Интегрирование по частям и замена переменной

Очень важно уметь интегрировать по частям. Я иногда говорю: если бы вы усвоили из этого курса что-нибудь одно и мне можно было бы выбирать что — вообще, конечно, было бы печально, если бы вы усвоили только одну вещь, — но если бы только одну, меня бы в целом устроило, если бы вы усвоили, что можно интегрировать по частям. Уж очень полезно.

Интегрирование по частям.

\int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x = f g_{a}^{b} - \int_{a}^{b} g^{'} (x) f (x) d x, f g_{a}^{b} = f (b) g (b) - f (a) g (a) .

Доказывается это мгновенно: нужно просто знать, чему равна производная произведения, и применить Ньютона–Лейбница. Совершенно банальное наблюдение, которое оказывается невероятно полезным в куче разных мест. Вообще, часто бывает: берёте самое глупое наблюдение, которое придёт в голову, и пытаетесь его всюду использовать — чем глупее наблюдение, тем полезнее. Пример: принцип Дирихле.

Замена переменной. Пусть $φ$ — возрастающая функция класса $C^{1}$ на $[a, b]$ (дифференцируемая с непрерывной производной), $f$ непрерывна. Тогда

\int_{φ (a)}^{φ (b)} f (x) d x = \int_{a}^{b} φ^{'} (x) f (φ (x)) d x .

Доказать можно, например, для кусочно постоянных $f$ и продолжить куда нужно; а можно — по формуле Ньютона–Лейбница и производной сложной функции. Запомнить легко: $d (φ (x)) = φ^{'} (x) d x$ . Кстати, выражению $d φ$ можно придать смысл не только для дифференцируемых $φ$ — в будущих листках мы, например, попробуем понять, что будет, если проинтегрировать по $d$ от целой части.

И минимальный пример, показывающий, что мы не занимаемся совсем ерундой:

\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}

— площадь треугольничка. Если вы что-то определили, следует немедленно проверить определение на вменяемость посредством самого глупого нетривиального примера (константы интегрируются по определению — это не считается). Согласуется с ожиданиями — значит, пока всё хорошо.

Таблица интегралов

Теперь нужно проинтегрировать как можно больше функций — давайте это делать вместе, возможно, даже хором. Таблица неопределённых интегралов:




$x^{α}$ ( $α \neq = - 1$ )


$a^{x}$ ( $a \neq = 1$ )





	$\frac{1}{2} lo g \frac{1 + x}{1 - x} + C$ («высокий логарифм»)
	$lo g x + x^{2} \pm 1 + C$ («длинный логарифм»)

Комментарии по строчкам.

$\frac{1}{x}$ . На $R ∖ {0}$ — несвязном множестве — констант две: вполне разумная первообразная — $lo g x + 100$ при $x > 0$ и $lo g (- x) - 1 0^{6}$ при $x < 0$ .
$a^{x}$ . Тривиальное следствие общего принципа: если научились интегрировать $f (x)$ , то $\int f (a x) d x = \frac{1}{a} F (a x) + C$ ; здесь в роли $a$ выступает $lo g a$ .
Если уж быть совсем дотошными, можно писать $\frac{x ^{α + 1} - 1}{α + 1}$ и $\frac{a ^{x} - 1}{l o g a}$ : тогда предельным переходом формулы становятся верны и при $α \to - 1$ , и при $a \to 1$ — из константы вынесли ещё одну константу, и всё начало иметь смысл.
$\frac{1}{s i n ^{2} x}$ . Разберёмся:

$\frac{1}{sin ^{2} x} = \frac{sin ^{2} x + cos ^{2} x}{sin ^{2} x} = \frac{g f ^{'} - f g ^{'}}{f ^{2}}, f = sin x, g = cos x$

( $g f^{'} = cos^{2}$ , $f g^{'} = - sin^{2}$ — сошлось), а это производная $- \frac{g}{f} = - ctg x$ . Я вижу, вы смеётесь на эту тему, но пару раз какие-нибудь символьные вещи нужно проинтегрировать — хотя бы на первом курсе.
$\frac{1}{c o s ^{2} x}$ . Быстрый способ: подставьте $\frac{π}{2} - x$ — интеграл перейдёт в минус интеграл с той же подстановкой, и из $- ctg$ получится $tg$ .
$arcsin$ . Хорошее место для общего принципа производной обратной функции: если $f (g (x)) = x$ , то по производной сложной функции $f^{'} (g (x)) g^{'} (x) = 1$ , то есть

$f^{'} (x) = \frac{1}{g ^{'} ( f ( x ) )}$

— производная обратной функции обратна к производной, но уже не в композиционном смысле, а в смысле $\frac{1}{x}$ , и в правильной точке. Проверим арксинус: производная синуса — косинус, значит, производная арксинуса — $\frac{1}{c o s ( a r c s i n x )} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ (косинус на области значений арксинуса положителен — так и договоримся).
Длинный логарифм. Как это понять, кроме прямой проверки? Обратная функция, ничего больше. Для $x^{2} + 1$ : объявим $x = sh t$ ; тогда $d x = ch t d t$ и

$\int \frac{d x}{x ^{2} + 1} = \int \frac{ch t d t}{ch t} = t + C = arsh x + C .$

Осталось выяснить, что длинный логарифм — это он и есть: посчитаем $sh$ от $lo g (x + x^{2} + 1)$ . Получится

$\frac{1}{2} ((x + x^{2} + 1) - (x + x^{2} + 1)^{- 1}),$

а обратное к $x + x^{2} + 1$ брать очень легко — сопряжённое здесь и есть обратное: $x^{2} + 1 - x$ . Итого $\frac{1}{2} ((x + x^{2} + 1) - (x^{2} + 1 - x)) = x$ . Ура.
$lo g x$ . Как это мы так догадались? Не забывайте, что можно интегрировать по частям. Никогда не забывайте, что можно интегрировать по частям, пожалуйста:

$\int lo g x d x = x lo g x - \int x d (lo g x) = x lo g x - \int d x = x lo g x - x + C .$

Формула Тейлора с интегральным остатком

Какая от всего этого польза? Научились считать площадь под графиком — ну и ладно; давайте извлечём аналитическую пользу. Мы доказывали формулу Тейлора как-то изощрённо: вычитали многочлен, чтобы производные занулились, и с этим игрались. Давайте без этого — возьмём просто функцию и будем брать от неё производные хитрым образом.

Начальный шаг: по Ньютону–Лейбницу

f (x) - f (a) = \int_{a}^{x} f^{'} (t) d t = - \int_{a}^{x} f^{'} (t) d (x - t)

(вместо $d t$ пишем $- d (x - t)$ — так получится формула, которую проще итерировать). Интегрируем по частям: граничный член при $t = x$ равен нулю (там $x - t = 0$ ), при $t = a$ — с минусом, который сокращается с нашим минусом:

f (x) - f (a) = f^{'} (a) (x - a) + \int_{a}^{x} (x - t) f^{''} (t) d t .

Чтобы всё было единообразно, заметим $d \frac{( x - t ) ^{2}}{2} = - (x - t) d t$ и продолжим итерировать — вот уже и факториалы появляются.

Теорема (Формула Тейлора с интегральным остатком). Для достаточно гладкой $f$

f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f ^{''} ( a )}{2 !} (x - a)^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n} + \frac{1}{n !} \int_{a}^{x} f^{(n + 1)} (t) (x - t)^{n} d t .

(В теореме нет ни одного слова, зато есть целая формула.)

Мы доказывали остаток в форме Лагранжа — $\frac{f ^{(n + 1)} ( c )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}$ . Здесь получится что-то такое же, но не совсем. Для этого — теорема о среднем значении для интегралов: если $f$ непрерывна, то

\int_{a}^{b} f (t) d t = (b - a) f (c) для некоторого c \in [a, b]

— это просто теорема о промежуточном значении, написанная для первообразных в чистом виде (по Лагранжу $\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a) = F^{'} (c) (b - a)$ ). Применяя её к интегральному остатку, получаем: существует $c$ между $a$ и $x$ такое, что остаток равен

\frac{1}{n !} f^{(n + 1)} (c) (x - c)^{n} (x - a)

— остаток в форме Коши. Не знаю, становится ли нам от этого легче, но тем не менее.

Замечание. Мы тут приближали интегралы суммами — а можно, наоборот, научиться приближать суммы интегралами. В листке я предлагаю при помощи интегралов понять, к чему стремится

\frac{1 ^{p} + 2 ^{p} + \dots + n ^{p}}{n ^{p + 1}} при n \to \infty.

Пожалуйста, без спойлеров.

Скалярное произведение из интеграла — и неполнота

Раз уж мы начали говорить про гильбертовы пространства: при помощи интеграла понятно, как непрерывные функции на отрезке превратить в предгильбертово пространство. Возьмите

(f, g) = \int_{I} f (x) g (x) d x .

Положительная определённость — по понятным причинам: если непрерывная функция не нуль, интеграл её квадрата строго положителен.

Пример (гильбертова матрица). Из таких определений немедленно очевидно, например, что симметрическая матрица с коэффициентами

a_{ij} = \frac{1}{i + j + 1}, i, j = 0, 1, \dots, n 1 \frac{1}{2} ⋮ \frac{1}{2} \frac{1}{3} \dots \dots ⋱

положительно определена: это в чистом виде матрица Грама базиса $1, x, x^{2}, \dots, x^{n}$ относительно скалярного произведения $\int_{0}^{1} f g d x$ (действительно, $\int_{0}^{1} x^{i + j} d x = \frac{1}{i + j + 1}$ ), а скалярное произведение положительно определено. Очень полезно думать про это в таких терминах.

Но насколько это предгильбертово пространство полно? Совсем не полно. Первая попытка (из зала): $x^{n}$ на $[0, 1]$ . Проверим фундаментальность честно:

x^{n} - x^{m}^{2} = \int_{0}^{1} (x^{2 n} - 2 x^{n + m} + x^{2 m}) d x = \frac{1}{2 n + 1} - \frac{2}{n + m + 1} + \frac{1}{2 m + 1} ⟶ 0.

Фундаментальна. Но контрпримера не получилось: $∥ x^{n} ∥^{2} = \frac{1}{2 n + 1} \to 0$ , то есть $x^{n}$ попросту сходится к нулю по этой норме — никакого противоречия с полнотой.

А вот настоящий пример. Возьмём отрезок $[0, 1]$ и точку $\frac{1}{2}$ (извините, любители симметрии вокруг нуля) и организуем функции $f_{n}$ : единичка на $[0, \frac{1}{2}]$ , затем резкий линейный спуск, так что к точке $\frac{1}{2} + 2^{- n}$ функция уже нуль — и дальше нуль. Это непрерывные функции, и последовательность фундаментальна: разность $f_{n} - f_{m}$ — «половинка шляпы» фиксированной высоты и убывающей ширины, её норма стремится к нулю. Но предела в нашем пространстве нет: по этой норме $f_{n}$ сходятся к разрывной ступеньке (единица до $\frac{1}{2}$ , нуль после), а она не непрерывна.

Мораль: если хотите, чтобы пространство было полным, норму надо подбирать с умом — либо брать пространство побольше. На непрерывных функциях так запросто полную норму, кроме $L_{\infty}$ (супремума), не ввести.

Какие интегралы берутся

Раз мы умеем интегрировать элементарные функции, возникает вопрос: что у нас вообще с интегралами — от чего они берутся? Производная элементарной функции элементарна; для интеграла никакой гарантии нет. На эту тему есть две идеологии. Одна: приятно иметь замкнутую форму, поэтому интегрировать сложнее, чем дифференцировать. Другая, противоположная: дифференцирование — операция очень локальная, и про производную сложной функции вы можете мало что знать (попробуйте на досуге продифференцировать функцию Бесселя по индексу — мало не покажется), а интегрирование — очень глобальная, очень устойчивая операция, и в ответе, как правило, получается что-нибудь разумное. Разве что очень неявное — но ничего страшного, неявных конструкций у нас было достаточно, и будут ещё.

Пример (и). Пример, который я не поместил в листок, — значит, можно спалить его на лекции:

\int_{0}^{1} \frac{x ^{4} ( 1 - x ) ^{4}}{1 + x ^{2}} d x = \frac{22}{7} - π .

Это один из способов понять, что $\frac{22}{7}$ — довольно неплохое приближение для $π$ : подынтегральная функция положительна, а $x (1 - x) \leq \frac{1}{4}$ , поэтому

0 < \frac{22}{7} - π < (\frac{1}{4})^{4} = \frac{1}{256} .

Когда строят хорошие рациональные приближения для непонятных трансцендентных констант, часто удобно записать интеграл, равный рациональному числу плюс ваша константа, — а про интеграл уже можно понять, какого он размера.

Рациональные функции интегрируются всегда. Пусть $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ — рациональная функция с вещественными коэффициентами. По основной теореме алгебры $Q$ раскладывается в произведение вещественных линейных и квадратичных множителей (давайте пока притворимся, что не умеем подставлять комплексные числа в логарифмы). Разложение на простейшие дроби сводит всё к двум типам:

$\frac{P ( x )}{( x - a ) ^{n}}$ : поделите $P$ на $x - a$ с остатком — всё сведётся к $\frac{const}{( x - a ) ^{k}}$ , что прекрасно интегрируется.
$\frac{P ( x )}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}}$ (общий квадратичный множитель $x^{2} + b x + a$ линейной заменой приводится к $x^{2} + 1$ ). Деля $P$ с остатком, сводим всё к двум вопросам:
- $\int \frac{x d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{k}}$ — объявите $x^{2}$ новой переменной, получится совершенно понятная вещь;
- $\int \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}}$ — подставьте $x = tg t$ : тогда $d x = \frac{d t}{c o s ^{2} t}$ , $x^{2} + 1 = \frac{1}{c o s ^{2} t}$ , и интеграл превращается в
  
  $\int cos^{2 n - 2} t d t,$
  
  а степень косинуса представляется в виде линейной комбинации косинусов кратных углов $cos k t$ (например, через $cos t = \frac{e ^{i t} + e ^{- i t}}{2}$ ) и интегрируется запросто.

И заключительный сюжет. Мы выяснили, что $\frac{1}{квадратичное}$ интегрировать понятно как. Дальше можно задаться вопросом, которым задавались великие классики: а что, если взять кубический многочлен и извлечь из него квадратный корень? Здесь вас ждёт сюрприз: интегралы вида

\int \frac{d x}{x ^{3} + \dots}

уже не берутся в элементарных функциях. При попытке понять, чему такой интеграл равен, появилась целая теория эллиптических функций, которая затем превратилась в теорию эллиптических кривых; тот факт, что эллиптическая кривая не является рациональной, — собственно, причина, почему не берётся этот интеграл.

Вот и всё на сегодня. Интегрируйте на здоровье.

Related works