Анализ-1. Лекция 7

Я получил несколько жалоб на то, что про $p$ -адические числа ничего не понятно. Поэтому сначала повторим их ещё раз — только несколько более правильно: аккуратно докажем, что элементы $Z_{p}$ — это ряды из цифр, и заново проговорим компактность. Потом посмотрим, насколько $Z_{p}$ не похоже на $R$ топологически (вполне несвязность), встретим канторовское множество и обнаружим, что это, оказывается, то же самое пространство. А во второй половине продолжим нормированные пространства: примеры $ℓ_{p}^{n}$ , операторы, эквивалентность норм, обещанная банаховость $C_{b} (X)$ , равномерная непрерывность и почленное дифференцирование.

Ещё раз про $Z_{p}$

Напомним. Всякое ненулевое рациональное число записывается в виде

x = p^{k} \frac{a}{b}, a, b не делятся на p,

и $p$ -адическая норма равна $∥ x ∥_{p} = p^{- k}$ : число, делящееся на большую степень $p$ , — маленькое. Пополнение $Q$ по этой норме — поле $Q_{p}$ , пополнение $Z$ — кольцо $Z_{p}$ .

В прошлый раз я объяснил — правда, видимо, очень скомканно, — что элементы $Z_{p}$ — это ряды, в которые мы подставили $p$ . Давайте теперь как следует.

Утверждение. Всякое $a \in Z_{p}$ имеет вид

a = n = 0 \sum \infty a_{n} p^{n}, a_{n} \in {0, 1, \dots, p - 1}

— это « $p$ -ичные записи, которые не останавливаются».

Доказательство. Пусть $a_{n} \to a$ , где $a_{n}$ — целые числа (по определению $Z_{p}$ как замыкания $Z$ ). Фундаментальность означает: $∥ a_{n} - a_{m} ∥_{p}$ мала при больших $n, m$ . Но для целых чисел малость $p$ -адической нормы разности — это в точности сравнимость:

∥ a_{n} - a_{m} ∥_{p} \leq p^{- k} ⟺ a_{n} \equiv a_{m} (mod p^{k}) .

Значит, для каждого $k$ остатки $a_{n} mod p^{k}$ начиная с некоторого момента перестают меняться — стабилизируются. Возьмём этот стабилизировавшийся остаток — целое число между $0$ и $p^{k} - 1$ — и запишем его $p$ -ичной записью:

α_{k} = a_{0} + a_{1} p + \dots + a_{k - 1} p^{k - 1} .

Тогда $∥ a_{n} - α_{k} ∥_{p} \to 0$ при $k, n \to \infty$ : для больших $n$ число $a_{n}$ даёт по модулю $p^{k}$ ровно остаток $α_{k}$ , разность делится на $p^{k}$ . В частности, последовательность $α_{k}$ сама фундаментальна и сходится к тому же $a$ .

Осталось заметить, что $α_{k + 1}$ отличается от $α_{k}$ на что-то, делящееся на $p^{k}$ . Действительно, остатки обязаны быть согласованы: если для больших $n$ число $a_{n}$ даёт остаток $α_{k}$ по модулю $p^{k}$ и остаток $α_{k + 1}$ по модулю $p^{k + 1}$ , то $α_{k + 1} \equiv α_{k} (mod p^{k})$ , то есть

α_{k + 1} = a_{0} + a_{1} p + \dots + a_{k - 1} p^{k - 1} + a_{k} p^{k}

— те же самые цифры и ещё одна новая. Значит, $α_{k}$ — это в точности частичные суммы ряда $\sum a_{n} p^{n}$ , и $a$ — его сумма.

Замечание. Мы знаем, что для перемножения двух рядов нужно написать свёртку — здесь это работает уже не буквально: свёртка цифр не обязана состоять из цифр. Если возвести $1 + p + p^{2} + \dots = \frac{1}{1 - p}$ в квадрат, то ответ-то понятен, но цифровое разложение квадрата выглядит немножко иначе, чем формальная свёртка.

Что ещё в прошлый раз было немножко криво сказано — компактность. Давайте проговорим её ещё раз, аккуратно.

Утверждение. $Z_{p}$ компактно.

Доказательство. Докажем секвенциальную компактность — для метрических пространств этого достаточно. Возьмём любую последовательность $a_{n} \in Z_{p}$ . Остатков по модулю $p$ конечное число, а последовательность бесконечная — значит, какой-то остаток $d_{0}$ встречается бесконечно часто.

Строим подпоследовательность. Первый член — какой попало, скажем $a_{n_{1}} = a_{1}$ . Дальше выкинем всё, что не сравнимо с $d_{0}$ по модулю $p$ (сравнимость по модулю $p$ в $Z_{p}$ определена прекрасно: смотрите на нулевую цифру бесконечной записи). Осталось бесконечно много членов вида $d_{0} + p \cdot (\dots)$ ; среди них какой-то остаток $d_{0} + p d_{1}$ по модулю $p^{2}$ встречается бесконечно часто. Берём следующий член $a_{n_{2}}$ из них, выкидываем всё, не сравнимое с $d_{0} + p d_{1}$ по модулю $p^{2}$ , и продолжаем процесс.

Получается подпоследовательность $a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \dots$ со свойством: при $l > k$

a_{n_{l}} \equiv t_{k} (mod p^{k}), t_{k} = d_{0} + d_{1} p + \dots + d_{k - 1} p^{k - 1}

— все хвостовые члены дают один и тот же фиксированный остаток. Тогда при $l, m > k$

a_{n_{l}} - a_{n_{m}}_{p} \leq p^{- k}

просто по построению. Это условие фундаментальности; значит, подпоследовательность сходится (в $Z_{p}$ : оно замкнуто в полном $Q_{p}$ ). Итак, у любой последовательности есть сходящаяся подпоследовательность — $Z_{p}$ секвенциально компактно, то есть компактно.

Пример. Для интереса посмотрим, что эта процедура делает с последовательностью $1, 2, 3, \dots$ Первый член — единица; выкидываем всё, не сравнимое с $1$ по модулю $p$ ; первый оставшийся новый член — $p + 1$ ; выкидываем всё, не сравнимое с $p + 1$ по модулю $p^{2}$ ; следующий — $p^{2} + p + 1$ , и так далее. Получилась последовательность частичных сумм ряда $\sum p^{n}$ , которая, как мы уже несколько раз обсуждали, сходится к $\frac{1}{1 - p}$ .

Вполне несвязные пространства

$p$ -адические числа получены из $Q$ той же канонической операцией, что и $R$ , — пополнением по норме, — а получилось нечто совершенно загадочное. Давайте эту загадочность посмотрим поближе. Мы знаем, что $R$ — связное топологическое пространство. Так вот, $Q_{p}$ — не просто несвязное; оно вполне несвязное.

Определение (Вполне несвязное пространство). Топологическое пространство $X$ вполне несвязно, если связны в нём только точки: любое подмножество $A \subset X$ , связное в индуцированной топологии, состоит не более чем из одного элемента.

В вещественных числах бывают довольно большие связные подмножества — а тут вообще никаких, кроме точек.

Утверждение. $Z_{p}$ вполне несвязно.

Доказательство. Пусть $A \subset Z_{p}$ связно и содержит две различные точки $a \neq = b$ . Построим два непересекающихся открытых множества, одно содержит $a$ , другое $b$ , а вместе они заметают всё, — это и будет противоречие со связностью.

Норма разности положительна: $∥ a - b ∥_{p} = p^{- k}$ для какого-то $k$ . (Кстати, как искать норму разности двух $p$ -адических чисел: разложите оба в ряды с цифрами и сравнивайте цифры; $k$ — это первое место, на котором цифры различаются.) Возьмём открытый шар

U = B_{p^{- k}} (a) = {c \in Z_{p} ∥ c - a ∥_{p} < p^{- k}} .

Он содержит $a$ и не содержит $b$ — открытый шар определяется строгим неравенством.

Ключевой факт: дополнение шара тоже открыто. Рассмотрим точки $a + n$ для $n = 0, 1, \dots, p^{k + 1} - 1$ и покажем, что

Z_{p} = n = 0 ⋃ p^{k + 1} - 1 B_{p^{- k}} (a + n) .

Действительно, пусть $c \in Z_{p}$ — какое угодно. Разность $c - a$ даёт какой-то остаток $r$ по модулю $p^{k + 1}$ , где $0 \leq r < p^{k + 1}$ ; тогда $c - a - r$ делится на $p^{k + 1}$ (в смысле $Z_{p}$ : поделив, получите целое $p$ -адическое), то есть

∥ c - (a + r) ∥_{p} \leq p^{- k - 1} < p^{- k},

и $c$ лежит в шаре с центром $a + r$ . При этом шары попарно не пересекаются: разности центров — ненулевые целые числа, по модулю меньшие $p^{k + 1}$ , поэтому они делятся не более чем на $p^{k}$ и их норма хотя бы $p^{- k}$ ; если бы у двух шаров была общая точка $c$ , сильное неравенство треугольника дало бы

∥ (a + n) - (a + m) ∥_{p} \leq max (∥ c - (a + n) ∥_{p}, ∥ c - (a + m) ∥_{p}) < p^{- k}

— противоречие.

Значит, дополнение $V = Z_{p} ∖ U$ — объединение остальных шаров — открыто. Множества $U$ и $V$ открыты, не пересекаются, $a \in U$ , $b \in V$ , и вместе они покрывают $A$ . Связности конец.

Фокус здесь в том, что в $Z_{p}$ огромное богатство множеств, которые одновременно открыты и замкнуты: все шары такие. Мало того — $Z_{p}$ разваливается в объединение непересекающихся шаров любого радиуса, какой ни возьми. И ещё занятно: $a + r$ , конечно, центр соответствующего шара, но и $c$ — тоже его центр. В ультраметрическом пространстве любая точка шара является его центром: если $∥ c - a ∥_{p} < ρ$ , то условия $∥ x - a ∥_{p} < ρ$ и $∥ x - c ∥_{p} < ρ$ равносильны по сильному неравенству треугольника.

Замечание. В частности, никакой вам теоремы о промежуточном значении. Что и понятно: например, функция $x \mapsto ∥ x ∥_{p}$ на $Z_{p}$ принимает вообще только значения $0, 1, p^{- 1}, p^{- 2}, \dots$ — никаких промежуточных значений там не наблюдается.

Канторовское множество

Можно было бы подумать, что произошло что-то совершенно противоестественное и мы в параллельной вселенной — в $R$ такого не бывает. В самом $R$ — конечно, не бывает: оно связно. А вот среди подмножеств $R$ — ещё как бывает.

Определение (Канторовское множество). Канторовское множество (классическое тернарное) — это

C = n = 0 ⋂ \infty C_{n} \subset [0, 1],

где $C_{0} = [0, 1]$ , а $C_{n + 1}$ получается из $C_{n}$ выкидыванием у каждого отрезка его средней (открытой) трети. Мне это легче нарисовать, чем определить:

C_{1} = [0, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, 1], C_{2} = [0, \frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, \frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9}, 1], \dots

На $n$ -м шаге $C_{n}$ — это $2^{n}$ непересекающихся замкнутых отрезков длины $3^{- n}$ , концы которых — троично-рациональные числа (знаменатель — степень тройки).

TikZ diagram — Первые шаги построения канторовского множества: у каждого отрезка выкидывается средняя треть.

Первый вопрос: а почему $C$ вообще не пустое? Простой ответ: концы отрезков мы никогда не выкидываем, поэтому граница любого кусочка любого $C_{n}$ — элемент $C$ . Но это пока лишь счётное количество точек, а на самом деле их целый континуум — у $C$ есть другая характеризация.

Утверждение. Число $c$ лежит в канторовском множестве тогда и только тогда, когда

c = i = 0 \sum \infty \frac{a _{i}}{3 ^{i + 1}}, a_{i} \in {0, 2}

— то есть когда $c$ можно разложить в троичную запись, в которой встречаются только нули и двойки. Как следствие, канторовское множество континуально: в нём столько же элементов, сколько бывает бесконечных наборов из нулей и двоек.

Что ещё можно сказать про канторовское множество?

Утверждение. $C$ вполне несвязно и нигде не плотно в отрезке.

Доказательство. Вполне несвязно. Аргумент примерно такой же, как для $Z_{p}$ . Пусть в подмножестве $C$ есть две различные точки. Отрезки разбиения $C_{n}$ имеют длину $3^{- n} \to 0$ , поэтому на каком-то шаге $n$ наши две точки окажутся в разных кусочках $C_{n}$ . Кусочки замкнуты и не пересекаются; объединение тех из них, что содержат первую точку и не содержат вторую, вместе с дополнением даёт разбиение на два непересекающихся относительно открытых куска — и связности снова конец. (Я потом объясню ещё одну причину, почему тут всё вполне несвязно.)

Определение (Нигде не плотное множество). Множество $C \subset X$ нигде не плотно, если для любого открытого $U$ существует открытое непустое $V \subset U$ такое, что $V \cap C = \emptyset$ : любое открытое множество содержит внутри себя открытое, вообще не пересекающееся с $C$ .

Замечание. Соблазнительное «внутри $C$ нет ни одного открытого подмножества» — не то определение: рациональные числа не содержат внутри себя никаких открытых подмножеств $R$ , но тем не менее всюду плотны. Нужно именно «дыры повсюду»: куда ни глянь — везде дыры.

Доказательство. Нигде не плотно. Возьмём открытое $U$ , внутри него — какой-нибудь интервальчик $I$ . Если $I$ уже не пересекается с $C$ — ура. Если пересекается, возьмём точку $c \in C \cap I$ и такое большое $n$ , что $3^{- n}$ меньше расстояния от $c$ до концов $I$ . Тогда кусочек разбиения $C_{n}$ , содержащий $c$ (отрезок длины $3^{- n}$ ), целиком лежит внутри $I$ . Но серединка этого кусочка — его средняя открытая треть — уже точно не пересекается с канторовским множеством: её мы выкинули на следующем шаге. Она и есть искомое $V$ . Победа.

И ещё одно замечание: канторовское множество, конечно же, замкнуто — оно пересечение замкнутых $C_{n}$ , а любое пересечение замкнутых замкнуто (дополнение до объединения открытых). В частности, канторовское множество — компакт.

$Z_{p}$ и канторовское множество

В действительности оказывается, что выполнено вот что.

Теорема. Для любого простого $p$ пространство $Z_{p}$ гомеоморфно канторовскому множеству $C$ .

То есть с топологической точки зрения целые $p$ -адические числа и канторовское множество неотличимы — вообще всегда, для любого $p$ . А вот метрически они, конечно, бывают очень разные. (Напомню: гомеоморфизм — это непрерывное биективное отображение, обратное к которому тоже непрерывно.)

Доказывать в общем виде я не буду, но для $p = 2$ построю гомеоморфизм явно, и устроен он очень глупо:

i = 0 \sum \infty a_{i} 2^{i} ⟼ i = 0 \sum \infty \frac{2 a _{i}}{3 ^{i + 1}}, a_{i} \in {0, 1} .

Цифровая запись двоично-адического числа переходит в троичную запись из нулей и двоек — биекция очевидна из двух предыдущих утверждений. Несложно проверить, что это действительно гомеоморфизм: близость в $Z_{2}$ — это совпадение первых $k$ цифр, и оно же в точности означает близость образов в $R$ . Это, кстати, и есть обещанная «другая причина» вполне несвязности $C$ : оно гомеоморфно $Z_{2}$ .

Вообще канторовское множество обладает замечательными свойствами — помимо ужасных, ещё и замечательными.

Теорема (Универсальность канторовского множества). Всякий метрический компакт является образом канторовского множества при некотором непрерывном отображении: для любого компактного метрического пространства $K$ существует непрерывная сюръекция $C \to K$ .

Замечание. Интуиция такая: берёте ваш метрический компакт и разбиваете его на два кусочка — ничего не говорю про эти кусочки, просто как-то разбиваем. Каждый кусочек снова бьём на два, и так далее, так, чтобы диаметры уменьшались. Этим кусочкам ставите в соответствие кусочки построения канторовского множества и устремляете всё к бесконечности. На самом деле аккуратное доказательство гораздо длиннее, чем то, что я сейчас наболтал. Для неметризуемых компактов утверждение уже неверно: возьмите какое-нибудь большое-большое пространство, например гиперконтинуальную степень отрезка, — там будут проблемы.

Нормированные и банаховы пространства: $ℓ_{p}^{n}$

Думаю, на этом можно остановиться с очень несвязными пространствами и заняться, наоборот, пространствами весьма связанными. В прошлый раз я успел только дать определения — напомним их.

Определение (Норма; банахово пространство). $X$ — векторное пространство над $R$ . Норма — отображение $∥ \cdot ∥ : X \to R_{\geq 0}$ такое, что:

$∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ (неравенство треугольника);
$∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣ \cdot ∥ x ∥$ для $λ \in R$ (однородность);
$∥ x ∥ > 0$ при $x \neq = 0$ .

Пространство с нормой нормированное; если оно к тому же полно относительно метрики $ρ (x, y) = ∥ x - y ∥$ , оно называется банаховым. (То, что это метрика, очевидно: неравенство треугольника — из первого свойства, симметрия — из второго, невырожденность — из третьего.)

Замечание. Если третье свойство не выполнено, пространство называется преднормированным. Его можно сделать нормированным, отфакторизовав по подпространству ${x : ∥ x ∥ = 0}$ — то, что это подпространство, более-менее очевидно.

Разберём несколько важных примеров, начиная с конечномерных. Самый очевидный конечномерный пример — $ℓ_{p}^{n}$ : нижний индекс $p$ — показатель степени, верхний $n$ — размерность. (Теперь $p$ означает не простое число, а вещественное из $[1, \infty]$ . Может быть и простым, если хотите.)

Определение. На $R^{n}$ при $1 \leq p < \infty$ положим

(x_{1}, \dots, x_{n})_{p} = (i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣^{p})^{1/ p},

а при $p = \infty$

(x_{1}, \dots, x_{n})_{\infty} = i max ∣ x_{i} ∣.

При $p = 2$ получается стандартное евклидово пространство. При $p = 1$ норма — просто сумма модулей координат (единичный шар — такая квадратная штуковина). Для $ℓ_{1}$ и $ℓ_{\infty}$ очевидно, что это нормы: неравенство треугольника не составляет никакого труда. Давайте обсудим, почему $ℓ_{p}^{n}$ — нормированное пространство при $p$ между единицей и бесконечностью. В листке я сформулировал и попросил вас доказать неравенство Гёльдера; не буду выдавать никаких спойлеров — просто буду им пользоваться.

Лемма (Неравенство Гёльдера — из листка). Пусть $x_{1}, \dots, x_{n}$ и $y_{1}, \dots, y_{n}$ — вещественные числа и $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ . Тогда

i = 1 \sum n ∣ x_{i} y_{i} ∣ \leq ∥ x ∥_{p} \cdot ∥ y ∥_{q} .

Если вы никогда этого не доказывали — пожалуйста, решите эту задачу: это очень-очень поучительно.

Теорема (Неравенство Минковского). $∥ x + y ∥_{p} \leq ∥ x ∥_{p} + ∥ y ∥_{p}$ — неравенство треугольника для $p$ -нормы.

Доказательство. Чтобы не таскать за собой корень, возведём в $p$ -ю степень и сделаем нетривиальный шаг — разложим $∣ x_{i} + y_{i} ∣^{p}$ на $∣ x_{i} + y_{i} ∣^{p - 1}$ и $∣ x_{i} + y_{i} ∣$ :

∥ x + y ∥_{p}^{p} = i \sum ∣ x_{i} + y_{i} ∣^{p} \leq i \sum ∣ x_{i} + y_{i} ∣^{p - 1} (∣ x_{i} ∣ + ∣ y_{i} ∣) .

Теперь возьмём две последовательности — $(∣ x_{i} + y_{i} ∣^{p - 1})_{i}$ и $(∣ x_{i} ∣)_{i}$ — и применим к ним неравенство Гёльдера; надо только определиться, куда подставлять $p$ , а куда $q$ : естественно, к первой $q$ , ко второй $p$ :

i \sum ∣ x_{i} + y_{i} ∣^{p - 1} ∣ x_{i} ∣ \leq ∥ x ∥_{p} \cdot (∣ x_{i} + y_{i} ∣^{p - 1})_{i}_{q} .

Про эту $q$ -норму нужно что-то понять, и это оказывается довольно быстро. Выясним, чему равно $q (p - 1)$ : из $\frac{1}{q} = 1 - \frac{1}{p} = \frac{p - 1}{p}$ получаем $q = \frac{p}{p - 1}$ , значит, $q (p - 1) = p$ . Поэтому

(∣ x_{i} + y_{i} ∣^{p - 1})_{i}_{q} = (i \sum ∣ x_{i} + y_{i} ∣^{q (p - 1)})^{1/ q} = (i \sum ∣ x_{i} + y_{i} ∣^{p})^{1/ q} = ∥ x + y ∥_{p}^{p / q} .

Применив то же самое ко второму слагаемому (с $∣ y_{i} ∣$ ), получаем

∥ x + y ∥_{p}^{p} \leq (∥ x ∥_{p} + ∥ y ∥_{p}) \cdot ∥ x + y ∥_{p}^{p / q} .

Осталось заметить, что $p - \frac{p}{q} = p (1 - \frac{1}{q}) = 1$ : делим — и всё получится. Ура!

Это очень важный пример нормированного пространства. Даже в теории банаховых пространств такие пространства всё время возникают, и с ними нужно уметь работать — особенно если вы занимаетесь локальной теорией («локальная» означает, что вы спускаетесь на конечномерный уровень, там что-то понимаете и дальше пытаетесь поднять обратно).

Морфизмы: непрерывные линейные операторы

Я поступил так, как не должен поступать математик: определил объекты и не определил стрелочки. Надо определить морфизмы между нормированными пространствами. У нас две структуры — векторное пространство и норма; значит, отображение $T : X \to Y$ должно быть линейным и непрерывным.

Замечание. Бывают две разных категории нормированных пространств: в одной морфизмы — просто линейные непрерывные отображения, в другой — сжимающие (с нормой не больше единицы). Это две существенно разных категории; изоморфизм во второй — изометрия.

Линейность понятна; давайте обсудим, как понять непрерывность.

Утверждение. Линейное отображение $T : X \to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено: существует константа $C$ , не зависящая от $x$ , такая, что

∥ T x ∥_{Y} \leq C ∥ x ∥_{X} для всех x \in X

— векторы не могут растягиваться в растущее число раз.

Доказательство. Непрерывность для метрических пространств означает: если точки близко, то образы останутся близко, — для любого $ε > 0$ существует $δ$ такое, что из $∥ x - y ∥ < δ$ следует $∥ T x - T y ∥ < ε$ . Но $T x - T y = T (x - y)$ по линейности, поэтому достаточно говорить про точку $0$ : если $∥ x ∥ < δ$ , то $∥ T x ∥ < ε$ .

Возьмём $ε = 1$ и соответствующее $δ$ . Из любого ненулевого вектора можно сделать вектор нормы меньше $δ$ :

\frac{δ}{2} \cdot \frac{x}{∥ x ∥} = \frac{δ}{2} < δ ⟹ T (\frac{δ}{2} \cdot \frac{x}{∥ x ∥}) < 1.

Воспользовавшись однородностью ещё раз, получаем $∥ T x ∥ \leq \frac{2}{δ} ∥ x ∥$ — непрерывный линейный оператор обязан быть ограниченным. Обратно: если $T$ ограничен, то $∥ T x - T y ∥ \leq C ∥ x - y ∥$ — он даже липшицев, и уж тем более непрерывен.

Эквивалентная формулировка ограниченности:

∥ T ∥ := ∥ x ∥ = 1 sup ∥ T x ∥ < \infty

— норма $T x$ на единичной сфере должна быть ограничена. Эта величина называется нормой оператора $T$ . Тем самым, если подумать, пространство всех непрерывных линейных отображений из $X$ в $Y$ тоже является нормированным пространством — и дальше вы можете продолжать это сколько угодно, как вы понимаете.

Эквивалентность норм в конечномерном случае

В каком-то смысле конечномерных нормированных пространств очень мало: любые два одинаковой размерности изоморфны в нашей категории. Сформулируем это аккуратно.

Определение (Эквивалентные нормы). Пусть $X$ — векторное пространство и $∥ \cdot ∥_{(1)}$ , $∥ \cdot ∥_{(2)}$ — две нормы на нём. Нормы эквивалентны, если существуют константы $C_{1}, C_{2} > 0$ такие, что для любого $x \in X$

C_{1} ∥ x ∥_{(1)} \leq ∥ x ∥_{(2)} \leq C_{2} ∥ x ∥_{(1)}

— оценка сверху и снизу.

Чему это эквивалентно: две нормы дают две топологии на $X$ , и условие говорит, что тождественное отображение между ними — гомеоморфизм. (Можете задаться вопросом: а если одна норма просто слабее другой? Это будет означать непрерывность тождественного отображения в одну сторону. В какую — подумайте.)

Зачем я это определил — а вот зачем; наконец-то можно что-нибудь назвать теоремой.

Теорема (Об эквивалентности норм). Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство. Тогда любые две нормы на $V$ эквивалентны.

То есть с топологической точки зрения в конечномерном случае не происходит ничего интересного. С метрической — происходит огромное количество; для этого как раз нужна вторая категория, где изоморфизмы — изометрии.

Доказательство. Вместо того чтобы брать две произвольные нормы, достаточно доказать, что каждая норма эквивалентна одной фиксированной — норме $ℓ_{1}$ . Установим изоморфизм $V ≅ R^{n}$ , пусть $e_{1}, \dots, e_{n}$ — базис, и пусть $∥ \cdot ∥$ — какая угодно норма; сравним её с $∥ x ∥_{ℓ_{1}} = \sum_{i} ∣ x_{i} ∣$ .

Оценка сверху — тривиальная, по неравенству треугольника:

∥ x ∥ = ∥ x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} ∥ \leq ∣ x_{1} ∣∥ e_{1} ∥ + \dots + ∣ x_{n} ∣∥ e_{n} ∥ \leq E \cdot ∥ x ∥_{ℓ_{1}},

где $E$ — наибольшая из норм базисных векторов. Пока выглядит так, как будто $ℓ_{1}$ -норма самая сильная.

Оценка снизу. Рассмотрим множество

S = {x ∥ x ∥_{ℓ_{1}} = 1} .

(Очень большое желание обозначить его $O$ , но обозначу $S$ — типа сфера. Такая немножко квадратная сфера, но что поделать: в размерности два это ромбик, в размерности три октаэдр, дальше — гипероктаэдры.) Это подмножество $R^{n}$ со стандартной евклидовой топологией: оно замкнуто — как прообраз замкнутой точки ${1}$ при непрерывном отображении $x \mapsto ∥ x ∥_{ℓ_{1}}$ — и, очевидно, ограничено. Следовательно, оно компакт.

Отображение $x \mapsto ∥ x ∥$ из $S$ в $R$ непрерывно: по уже доказанному значение нормы оценивается $ℓ_{1}$ -нормой, $∥ x ∥ - ∥ y ∥ \leq ∥ x - y ∥ \leq E ∥ x - y ∥_{ℓ_{1}}$ , — пошевелите вектор чуть-чуть, значение нормы тоже чуть-чуть пошевелится. При этом на $S$ норма не обращается в нуль (нулевого вектора там нет). Раз так, $x \mapsto \frac{1}{∥ x ∥}$ — тоже непрерывное отображение на компакте, значит, оно ограничено сверху, значит, норма ограничена снизу: существует $c > 0$ такое, что $∥ x ∥ \geq c$ для всех $x \in S$ .

Теперь однородность: для любого $x \neq = 0$ вектор $\frac{x}{∥ x ∥ _{ℓ_{1}}}$ лежит на $S$ , поэтому

\frac{x}{∥ x ∥ _{ℓ_{1}}} \geq c ⟹ ∥ x ∥ \geq c ∥ x ∥_{ℓ_{1}} .

Получилось неравенство в обратную сторону — значит, любые две нормы эквивалентны. Ура!

Замечание. Дальше возникают разные вопросы: возьмите $ℓ_{p}^{n}$ и $ℓ_{q}^{n}$ для одного $n$ и посмотрите на коэффициенты эквивалентности. При $n \to \infty$ эти коэффициенты не будут ограничены — там будет происходить что-то интересное. С конечномерными банаховыми пространствами мы по сути разобрались («там ничего нет, всё одинаковое» — но это только полуправда: в изометрической категории всё как раз очень здорово).

$C_{b} (X)$ и равномерная сходимость

Какие ещё бывают примеры банаховых пространств? Надо рассматривать бесконечномерные. Ещё один шаг в сторону обобщения — смотреть на функции как на точки. Пусть $X$ — топологическое пространство, какое хотите.

Определение (Пространство). $C_{b} (X, R)$ — пространство непрерывных ограниченных функций $f : X \to R$ (таких, что $∣ f (x) ∣$ меньше чего-нибудь для всех $x$ ) с нормой

∥ f ∥_{\infty} = x \in X sup ∣ f (x) ∣

— у нас ничего нет, значит, нужно взять то, что есть: супремум. Пишем $\infty$ , потому что это $ℓ_{\infty}$ -норма, как она есть. Если $X$ компактно, буковку $b$ можно убрать и рассматривать просто $C (X)$ ; если нет — извините.

Определение (Равномерная сходимость). $f_{n}$ сходятся равномерно к $f$ , если

∥ f_{n} - f ∥_{\infty} \to 0 при n \to \infty

— можно выбрать такое большое $n$ , что $f_{n} (x)$ и $f (x)$ отличаются очень мало сразу на всём $X$ . Когда сходимость равномерная, иногда пишут $f_{n} ⇉ f$ — две стрелочки, чтобы сказать, что это прямо ух какая сходимость.

Пример (пример, который не пример). Бывают функции, которые сходятся поточечно, а равномерно — нет. Возьмите $f_{n} (x) = x^{n}$ на отрезке $[0, 1]$ : они очень-очень маленькие почти везде, а потом в единичке подскакивают аж до единицы, и чем больше $n$ , тем острее пик. В пределе получается функция «нуль всюду, единица в единице» — разрывная. Это плохо: поточечный предел непрерывных функций разрывен, и никакой равномерной сходимости тут нет.

Теперь — обещанная в прошлый раз теорема.

Теорема (банахово). Для любого топологического пространства $X$ пространство $C_{b} (X, R)$ с нормой $∥ \cdot ∥_{\infty}$ банахово.

Доказательство. Возьмём последовательность непрерывных ограниченных функций $f_{n}$ , фундаментальную по этой норме, и проверим три вещи: она к чему-то сходится; сходится равномерно; и предел — непрерывная (и ограниченная) функция.

Поточечный предел существует. Фундаментальность означает: $∥ f_{n} - f_{m} ∥_{\infty} < ε$ при $n, m \geq N$ . Подставим в это неравенство какой-нибудь один $x$ : для любого $x \in X$

∣ f_{n} (x) - f_{m} (x) ∣ < ε при n, m \geq N

— числа $f_{n} (x)$ сами образуют фундаментальную последовательность в $R$ , а значит, куда-то сходятся. Положим $f (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x)$ — поточечный предел.

Сходимость равномерна. Возьмём то же неравенство $∣ f_{n} (x) - f_{m} (x) ∣ < ε$ и перейдём к пределу при $m \to \infty$ : получится $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \leq ε$ для всех $x$ сразу, то есть $∥ f_{n} - f ∥_{\infty} \leq ε$ при $n \geq N$ . Значит, $f_{n} ⇉ f$ .

Ограниченность автоматична: $sup ∣ f ∣ \leq ε + sup ∣ f_{N} ∣ < \infty$ из того же неравенства.

Непрерывность $f$ . Проверим, что прообраз любого открытого $U \subset R$ открыт. Пусть $x \in f^{- 1} (U)$ ; раз $U$ открыто и содержит $f (x)$ , оно содержит и какую-нибудь $ε$ -окрестность $B_{ε} (f (x))$ . Возьмём $n$ с

∥ f_{n} - f ∥_{\infty} < \frac{ε}{3}

(у нас будет неравенство четырёхугольника, поэтому делить нужно на три). Я утверждаю, что

f_{n}^{- 1} (B_{ε /3} (f_{n} (x))) \subset f^{- 1} (B_{ε} (f (x))) .

Действительно, если $∣ f_{n} (y) - f_{n} (x) ∣ < \frac{ε}{3}$ , то

∣ f (y) - f (x) ∣ \leq < ε /3 ∣ f (y) - f_{n} (y) ∣ + < ε /3 ∣ f_{n} (y) - f_{n} (x) ∣ + < ε /3 ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ε .

Множество слева — прообраз открытого шарика при непрерывной функции $f_{n}$ , то есть открытое множество, содержащее $x$ и лежащее в $f^{- 1} (U)$ . Значит, $f^{- 1} (U)$ вместе с каждой своей точкой содержит открытое множество — оно объединение таких множеств по всем своим точкам, то есть открыто. Тем самым $f$ непрерывна, и всё получилось.

Равномерная непрерывность

Помимо просто непрерывности можно добавлять всякие условия — мы уже знаем про дифференцируемость, гладкость; а можно смотреть более общие вещи. Раз есть понятие равномерной сходимости, естественно придумать равномерную непрерывность.

Определение (Равномерная непрерывность). Пусть $X$ и $Y$ — метрические пространства (два разных, каждое со своей метрикой). Отображение $f : X \to Y$ равномерно непрерывно, если для любого $ε > 0$ существует $δ > 0$ такое, что

ρ_{X} (x_{1}, x_{2}) < δ ⟹ ρ_{Y} (f (x_{1}), f (x_{2})) < ε .

В минус таких определений — есть некая симметрия, и $ε$ с $δ$ можно перепутать местами. Понятнее, на мой взгляд, такая запись в терминах о малых:

ρ_{Y} (f (x_{1}), f (x_{2})) = o (1) при ρ_{X} (x_{1}, x_{2}) \to 0

— когда расстояние между аргументами стремится к нулю, расстояние между значениями тоже стремится к нулю, равномерно по паре точек. Обыкновенная непрерывность: фиксируете $x_{1}$ и устремляете $x_{2}$ к нему, и $δ$ имеет право зависеть не только от $ε$ , но и от $x_{1}$ . Равномерная непрерывность — когда зависимости от $x_{1}$ нет.

Пример. Бывают функции непрерывные, но не равномерно: $f (x) = x^{2}$ на $R$ непрерывна, но не равномерно непрерывна — например, потому что у неё неограниченная производная: сдвиг на одно и то же $δ$ около больших $x$ меняет значение сколь угодно сильно.

Тогда можно ограничиться каким-нибудь классом пространств.

Теорема (Непрерывность на компакте равномерна). Пусть $X$ — компактное метрическое пространство, $Y$ — метрическое. Тогда всякая непрерывная $f : X \to Y$ равномерно непрерывна.

Доказательство. Придётся строить открытое покрытие — давайте этим займёмся. Зафиксируем $ε > 0$ и напишем

X = y \in Y ⋃ f^{- 1} (B_{ε /2} (y))

(эпсилоны дальше будут соотноситься, поэтому берём пополам). Это открытое покрытие: прообразы открытых шаров открыты по непрерывности, а покрытием оно является уже потому, что каждая точка $x$ попадает в прообраз шара вокруг $y = f (x)$ . По компактности существует конечное подпокрытие:

X = m = 1 ⋃ n f^{- 1} (B_{ε /2} (y_{m})) .

Мы в прошлый раз доказывали лемму о лебеговом числе — вот она и пригодилась: существует $δ > 0$ такое, что для любого $x \in X$ шар $B_{δ} (x)$ целиком лежит в каком-то одном $f^{- 1} (B_{ε /2} (y_{i}))$ .

Теперь смотрим, что это означает. Если $ρ_{X} (x, x^{'}) < δ$ , то есть $x^{'}$ лежит внутри $B_{δ} (x)$ , то обе точки $f (x)$ и $f (x^{'})$ лежат в одном шаре $B_{ε /2} (y_{i})$ , а тогда по неравенству треугольника

ρ_{Y} (f (x), f (x^{'})) < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .

Получена равномерная непрерывность.

Почленное дифференцирование

Когда вы решали листок номер два, вы все порывались продифференцировать геометрическую прогрессию почленно. Давайте разберёмся, почему так на самом деле можно.

Теорема (О почленном дифференцировании). Пусть $f_{n} : [a, b] \to R$ — непрерывно дифференцируемые функции, производные $f_{n}^{'}$ сходятся равномерно к некоторой $g$ , и хотя бы в одной точке $x_{0} \in [a, b]$ последовательность значений $f_{n} (x_{0})$ сходится. Тогда $f_{n}$ сходятся равномерно к некоторой $f$ , функция $f$ дифференцируема и $f^{'} = g$ .

Замечание. Условие в одной точке необходимо — без него на доске была написана дезинформация: прибавьте к $f_{n}$ растущие константы $c_{n}$ ; производные никуда не денутся и сойдутся куда надо, а сами функции не сойдутся никуда. Верно и такое дополнение: если $f_{n}$ равномерно ограничены, то условие можно добыть самим — выбрать по Больцано–Вейерштрассу подпоследовательность, вдоль которой $f_{n} (x_{0})$ сходится.

Доказательство. Шаг 1: $f_{n}$ сходятся равномерно. Возьмём $n$ и $m$ большие-пребольшие, так, чтобы $∥ f_{n}^{'} - f_{m}^{'} ∥_{\infty} < ε$ (производные равномерно фундаментальны, раз равномерно сходятся). Рассмотрим функцию $f_{n} - f_{m}$ и применим к ней теорему Лагранжа о конечных приращениях на отрезке от $x_{0}$ до $x$ :

(f_{n} (x) - f_{m} (x)) - (f_{n} (x_{0}) - f_{m} (x_{0})) = (f_{n}^{'} (ξ) - f_{m}^{'} (ξ)) (x - x_{0})

для какого-то $ξ$ между $x_{0}$ и $x$ . По модулю это не больше, чем $ε (b - a)$ , — сразу для всех $x$ . Вместе со сходимостью $f_{n} (x_{0})$ получаем: последовательность $f_{n}$ равномерно фундаментальна:

∣ f_{n} (x) - f_{m} (x) ∣ \leq ε (b - a) + ∣ f_{n} (x_{0}) - f_{m} (x_{0}) ∣.

По предыдущей теореме (пространство $C_{b}$ банахово) она равномерно сходится к некоторой непрерывной $f$ .

Шаг 2: $f^{'} = g$ . Заметим сразу: $g$ — равномерный предел непрерывных функций, значит, непрерывна, а по компактности отрезка — равномерно непрерывна (предыдущий раздел). Это нам и пригодится.

Для $x \neq = y$ рассмотрим разностные отношения

Φ_{n} (x, y) = \frac{f _{n} ( x ) - f _{n} ( y )}{x - y} .

По Лагранжу $Φ_{n} (x, y) = f_{n}^{'} (ξ)$ для какого-то $ξ$ между $x$ и $y$ . Оценим отклонение от $g (y)$ :

Φ_{n} (x, y) - g (y) \leq \leq ∥ f_{n}^{'} - g ∥_{\infty} f_{n}^{'} (ξ) - g (ξ) + равномерная непрерывность g (ξ) - g (y) .

Первая штучка стремится к нулю при $n \to \infty$ равномерно по всем парам $(x, y)$ ; вторая мала, как только $∣ x - y ∣$ мало (точка $ξ$ лежит между $x$ и $y$ , поэтому $∣ ξ - y ∣ \leq ∣ x - y ∣$ ), — тоже равномерно, независимо от того, где на отрезке сидят $x$ и $y$ .

С другой стороны, разность двух разностных отношений — снова конечное приращение, теперь функции $f_{n} - f_{m}$ :

Φ_{n} (x, y) - Φ_{m} (x, y) = (f_{n} - f_{m})^{'} (ξ^{'})

(тут есть хитрый момент: нужно написать функцию $f_{n} - f_{m}$ и взять её конечное приращение — это одно общее $ξ^{'}$ , а не два разных). Значит, $Φ_{n}$ равномерно фундаментальны по всем парам $x \neq = y$ и равномерно сходятся к своему поточечному пределу — а он обязан иметь вид

Φ (x, y) = \frac{f ( x ) - f ( y )}{x - y} .

Собираем всё вместе:

\frac{f ( x ) - f ( y )}{x - y} - g (y) \leq Φ (x, y) - Φ_{n} (x, y) + Φ_{n} (x, y) - g (y),

и обе части делаются сколь угодно малыми: сначала выберем $n$ , обслуживающее первое слагаемое и $∥ f_{n}^{'} - g ∥_{\infty}$ , затем $∣ x - y ∣$ достаточно малое. Значит, предел разностного отношения при $x \to y$ существует и равен $g (y)$ — то есть $f$ дифференцируема в $y$ и $f^{'} (y) = g (y)$ . Всё получилось.

Ещё нужно, конечно, поговорить про гильбертовы пространства — это такой специальный вид нормированных пространств, — но это уже в следующий раз. Ожидайте векторное пространство $ℓ_{2}$ , состоящее из всех последовательностей $(x_{1}, x_{2}, \dots)$ с $\sum x_{i}^{2} < \infty$ , разговор про гильбертовы пространства вообще и про то, при чём здесь неравенство Коши–Буняковского–Шварца.

Related works