Анализ-1. Лекция 5

Сегодня обсуждаем дифференцируемость — в прошлый раз производная была определена несколько вскользь в конце. Сегодня у нас взгляд назад: в прошлый раз были вещи из XX века, а теперь будут теоремы века примерно XVII.

Производная: напоминание

Определение (Дифференцируемость). Функция $f : (a, b) \to R$ дифференцируема в точке $c$ , если существует предел

f^{'} (c) = h \to 0 lim \frac{f ( c + h ) - f ( c )}{h},

называемый производной. Эквивалентно: в окрестности точки $c$ функция хорошо приближается аффинно-линейной,

f (c + h) = f (c) + h f^{'} (c) + o (∣ h ∣) (h \to 0) .

Кстати, формально определим и предел функции: $x \to c lim f (x) = A$ означает, что для любой последовательности $x_{n} \to c$ выполнено $f (x_{n}) \to A$ . Здесь важно, что $h$ стремится к нулю по проколотой окрестности ( $h \neq = 0$ ): буквально поделить на ноль мы не можем.

Общие свойства производной (обсуждались в прошлый раз):

производная константы — ноль;
$(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ ;
$(f g)^{'} = f^{'} g + g^{'} f$ ;
$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - g ^{'} f}{g ^{2}}$ (в точках, где $g \neq = 0$ );
если $f : (a, b) \to R$ дифференцируема в $c$ , а $h$ определена на интервале, содержащем $f (c)$ , и дифференцируема в $f (c)$ , то

$(h (f (x)))^{'}_{x = c} = h^{'} (f (c)) \cdot f^{'} (c) .$

Замечание (обозначения Лейбница). Производную удобно записывать как $f^{'} (x) = \frac{df}{d x}$ . Тогда цепное правило запоминается так:

\frac{d}{d x} h (f) = \frac{d h}{df} \cdot \frac{df}{d x}

— можно себе представить, что $df$ «сокращается». Удобное правило.

Если функция дифференцируема в точке, она, несомненно, в ней непрерывна: добавка $h f^{'} (c) + o (∣ h ∣)$ — это $o (1)$ .

Принцип Ферма

Теорема (Принцип Ферма). Пусть $f : (a, b) \to R$ дифференцируема (во всех точках интервала) и $c \in (a, b)$ — локальный экстремум: существует окрестность $U ∋ c$ такая, что $f (c) = u \in U min f (u)$ либо $f (c) = u \in U max f (u)$ . Тогда

f^{'} (c) = 0.

По названию можно восстановить, из какого века утверждение. Мы знаем, что функция на отрезке достигает максимума, но что с этим делать, пока не знали, — вот инструмент.

Доказательство. Неформально: если производная не ноль, то в окрестности точки функция приближается линейной функцией с ненулевым угловым коэффициентом — а у такой функции локального экстремума в этой точке не бывает.

Формально: пусть $f^{'} (c) \neq = 0$ . Из разложения

f (c + h) = f (c) + h f^{'} (c) + o (∣ h ∣)

следует, что существует $ε > 0$ такое, что при $∣ h ∣ < ε$

f (c + h) - f (c) - h f^{'} (c) < \frac{∣ h f ^{'} ( c ) ∣}{2} .

Но тогда $f (c + h) - f (c)$ имеет тот же знак, что и $h f^{'} (c)$ : разность лежит в окрестности числа $h f^{'} (c)$ , не задевающей ноль. А знак $h f^{'} (c)$ при смене знака $h$ меняется — значит, в любой окрестности $c$ есть точки, где $f$ больше $f (c)$ , и точки, где меньше. Ни максимума, ни минимума быть не может.

Пример. Возьмём $f (x) = x (1 - x)$ на отрезке $[0, 1]$ . Производная равна $1 - 2 x$ , поэтому максимум достигается в точке $x = \frac{1}{2}$ . И это действительно так. Пример совсем игрушечный, но тем же способом можно добиваться гораздо более замечательных результатов.

Классы гладкости

Если функция совсем хорошая, от её производной можно ожидать, что она тоже дифференцируема, — функция может быть дифференцируема несколько раз.

Определение (Классы и). Через $C^{r} (a, b)$ обозначаются $r$ раз дифференцируемые функции, у которых $r$ -я производная $f^{(r)}$ непрерывна. Через $C^{\infty} (a, b)$ — бесконечно дифференцируемые функции, они же гладкие. (Малые порядки производных пишем штрихами: $f^{'}$ , $f^{''}$ , $f^{'''}$ .)

Интервал берётся открытый, чтобы не мучиться с односторонними пределами в граничных точках.

Замечание. Физический смысл прозрачен: если точка бегает по прямой и в момент $t$ находится в $f (t)$ , то $f^{'} (t)$ — её моментальная скорость, вторая производная — ускорение, третья — рывок. Поскольку натуральных чисел бесконечно много, не следует ожидать, что для всех производных есть отдельные термины.

Касательная

Геометрический смысл производной. Нарисуем график $y = f (x)$ и возьмём точку $(c, f (c))$ . Проведём хорду через неё и близко стоящую точку $(c + h, f (c + h))$ : прямая $y = k x + b$ , проходящая через обе точки, имеет

k = \frac{f ( c + h ) - f ( c )}{h}, b = \frac{( c + h ) f ( c ) - c f ( c + h )}{h}

(напишите равенство для обеих точек и вычтите; со знаком в $b$ главное не напутать). Если функция дифференцируема, устремим $h$ к нулю — в пределе получится прямая с угловым коэффициентом $f^{'} (c)$ , проходящая через $(c, f (c))$ . Это касательная.

TikZ diagram — Хорда через $(c, f (c))$ и $(c + h, f (c + h))$ ; при $h \to 0$ она стремится к касательной с угловым коэффициентом $f^{'} (c)$ .

Дифференцируемость — геометрическое свойство: хорды при $h \to 0$ сходятся к какой-то прямой. Только не совсем: может получиться и вертикальная прямая, а это не очень хорошо. Например, у функции $y = x^{2/3}$ в нуле касательная вертикальна — и производной там нет (на уровне формул: в знаменателе вылезает ноль).

Теорема о среднем

Теорему о среднем можно формулировать по-разному; мы сформулируем её как утверждение про кривые на плоскости.

Определение (Параметризованная кривая). Параметризованная кривая в $R^{2}$ — это непрерывное отображение $γ$ из интервала в $R^{2}$ (непрерывность эквивалентна непрерывности обеих координат: $γ (t) = (f (t), g (t))$ ).

Почему именно «параметризованная»? Если смотреть только на образ, разные $γ$ дают одинаковые кривые: $(sin t, cos t)$ на $[0, 2 π)$ — единичная окружность, и $(sin 2 t, cos 2 t)$ — тоже.

От кривой хочется потребовать, чтобы она была хорошей — без изломов: пусть $f$ и $g$ дифференцируемы и не бывает $γ^{'} (t) = 0$ . Нулевая скорость соответствует излому: например, кривая $γ (t) = (t^{3}, t^{2})$ — это та самая $y = x^{2/3}$ с остриём в нуле, и у неё $γ^{'} (0) = (3 t^{2}, 2 t)_{t = 0} = 0$ . Вот это и запретим.

Теорема (О среднем). Пусть $γ : [a, b] \to R^{2}$ — кривая, дифференцируемая внутри, $γ^{'} (t) \neq = 0$ , и $γ (a) \neq = γ (b)$ . Тогда существует $c \in (a, b)$ такое, что вектор $γ^{'} (c)$ параллелен отрезку $γ (a) γ (b)$ .

Расшифруем: если $γ = (f, g)$ и $g (a) \neq = g (b)$ , то

\frac{f ^{'} ( c )}{g ^{'} ( c )} = \frac{f ( a ) - f ( b )}{g ( a ) - g ( b )}

(лишь бы $f^{'}$ и $g^{'}$ не обращались в нуль одновременно — а это запрещено условием $γ^{'} \neq = 0$ ). Но утверждение по сути своей геометрическое.

Доказательство. Рассмотрим функцию

D (c) = dist (γ (c), ℓ),

где $ℓ$ — прямая (не отрезок), проходящая через $γ (a)$ и $γ (b)$ : спроецируйте и посмотрите, что получится. Так как $γ$ непрерывно, точка $γ (c)$ непрерывно зависит от $c$ , значит, и расстояние до фиксированной прямой непрерывно. Функция $D$ неотрицательна и $D (a) = D (b) = 0$ , поэтому на отрезке $[a, b]$ есть точка $c$ , где $D$ максимальна. (Может случиться, что кривая — вся эта прямая; но тогда утверждение и так верно.)

Утверждается: касательная к кривой в точке $γ (c)$ параллельна $ℓ$ . Предположим, нет — между касательной и прямой есть угол $θ \neq = 0$ . Пошевелим точку: за «время» $h$ мы проползаем вдоль касательной расстояние $h ∣ γ^{'} (c) ∣ + o (∣ h ∣)$ , и проекция на направление, перпендикулярное $ℓ$ , меняется на это расстояние, умноженное на $sin θ$ :

D (c + h) = D (c) + h ∣ γ^{'} (c) ∣ sin θ + o (∣ h ∣)

(угол между касательной в близкой точке и прямой — это $θ + o (1)$ , непрерывная зависимость). Выберите знак $h$ так, чтобы добавка была положительной, — получится точка, где расстояние больше максимального. Противоречие. Значит, $θ = 0$ : касательная параллельна прямой.

Следствие (Теорема Лагранжа). Пусть $f : [a, b] \to R$ дифференцируема. Тогда существует $c \in (a, b)$ такое, что

f^{'} (c) = \frac{f ( a ) - f ( b )}{a - b} .

Доказательство. Возьмите в теореме о среднем кривую с координатами $f$ и $g (t) = t$ — получится в точности то, что написано.

Конечное приращение, поделённое на разность точек, — это значение производной где-то на интервале. В частности, если есть контроль за $f (a)$ и за производной, есть некоторый контроль и за $f (b)$ . (Теорема Лагранжа — это, видимо, уже XVIII век, а не XVII; мы осуществляем скачки в истории.)

Следствие (Теорема Ролля). Если $f : [a, b] \to R$ дифференцируема и $f (a) = f (b)$ , то существует $c$ с $f^{'} (c) = 0$ : функция, принимающая одинаковые значения на концах, где-то имеет нулевую производную.

Пример. Как ведёт себя $ln (1 + \frac{1}{n})$ ? Это разность логарифмов в точках $n + 1$ и $n$ , а производная логарифма — $\frac{1}{x}$ ; по теореме о среднем

ln (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n + θ} для некоторого θ \in (0, 1) .

Раскрывая скобочки: $\frac{1}{n + θ} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + θ / n} = \frac{1}{n} + O (\frac{1}{n ^{2}})$ .

Формула Тейлора

Аффинно-линейными функциями жизнь не ограничивается. Какими ещё интересными функциями можно приближать — такими, про которые мы верим, что что-то понимаем? Многочленами. От хорошей функции следует ожидать, что она ведёт себя как многочлен большой степени — или, формализуя, как степенной ряд

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots

хотя бы в окрестности точки. (Это ожидание, вообще говоря, не оправдывается: бывают ненулевые гладкие функции, у которых такое разложение — просто $0 + 0 + 0 + \dots$ ; об этом поговорим, но не сегодня — сегодня хочется быть оптимистом.)

Как добыть из разложения коэффициенты? Этому учат на алгебре с формальными степенными рядами: $f (0) = a_{0}$ , $f^{'} (0) = a_{1}$ , $f^{''} (0) = 2 a_{2}$ ; если продифференцировать $n$ раз, получится $n! a_{n} + (n + 1)! a_{n + 1} x + \dots$ Значит,

a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} .

И хотя не всякая функция раскладывается, для дифференцируемой функции такая процедура всё-таки даёт правильную асимптотику.

Теорема (Формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа). Пусть $f$ на интервале $(n + 1)$ раз дифференцируема (непрерывности последней производной не нужно), $a$ и $x$ — точки интервала. Тогда существует $ξ$ между $a$ и $x$ такое, что

f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \dots + \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n} + \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1} .

Замечание. Формулу Тейлора, как полагается в математике, доказал Грегори — Джеймс Грегори; Тейлор тут ни при чём, у него она появилась в некотором тексте значительно позже.

Следствие (Формула Тейлора с остатком Пеано).

f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \dots + \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n} + o (∣ x - a ∣^{n}) .

Доказательство. Будем ради интереса доказывать формулу Тейлора по индукции. Случай $n = 0$ — это в точности теорема Лагранжа. Пусть утверждение доказано для $n - 1$ ; докажем для $n$ .

Рассмотрим функцию

F (x) = f (x) - f (a) - f^{'} (a) (x - a) - \dots - \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n} .

Про неё мы знаем: во-первых,

F (a) = F^{'} (a) = \dots = F^{(n)} (a) = 0

— при дифференцировании степени $(x - a)$ понижаются на единичку, дошедшие до нулевой степени константы пропадают, и после $k$ дифференцирований остаётся $f^{(k)} (x) - f^{(k)} (a) - (что - то, делящееся на x - a)$ , что в точке $a$ равно нулю. Во-вторых,

F^{(n + 1)} = f^{(n + 1)},

потому что разность $f - F$ — многочлен степени не выше $n$ , и его $(n + 1)$ -я производная — ноль.

Достаточно доказать формулу для $F$ . Применим теорему о среднем к кривой с координатами $F (x)$ и $g (x) = (x - a)^{n + 1}$ : существует $c$ между $x$ и $a$ (в каком порядке они расположены — неважно) такое, что

\frac{F ( x )}{( x - a ) ^{n + 1}} = \frac{F ( x ) - F ( a )}{g ( x ) - g ( a )} = \frac{F ^{'} ( c )}{( n + 1 ) ( c - a ) ^{n}} .

Теперь возьмём $F^{'}$ : у неё все производные вплоть до порядка $n - 1$ в точке $a$ равны нулю, поэтому по предположению индукции (формула Тейлора с меньшим числом слагаемых)

\frac{F ^{'} ( c )}{( c - a ) ^{n}} = \frac{( F ^{'} ) ^{(n)} ( ξ )}{n !} = \frac{F ^{(n + 1)} ( ξ )}{n !}

для некоторого $ξ$ между $c$ и $a$ . Продолжая равенство,

\frac{F ( x )}{( x - a ) ^{n + 1}} = \frac{F ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} .

Точка $ξ$ лежит между $c$ и $a$ , а $c$ — между $x$ и $a$ ; значит, и $ξ$ между $x$ и $a$ . Доказательство окончено.

Примеры

Будем писать именно форму Лагранжа, чтобы видеть, какие получаются ограничения. Для многочленов формула — это просто переразложение по степеням $x - a$ (тоже очень полезно, но лекция не об этом).

Пример (пример 0: геометрическая прогрессия). Возьмём $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ при $x \in (0, 1)$ . Производные: $f^{'} (x) = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$ , дальше вылезает двойка, и вообще

f^{(n)} (x) = \frac{n !}{( 1 - x ) ^{n + 1}}

(следите за степенями аккуратно: здесь нулевая производная — степень первая; если не делать этого аккуратно, можно неожиданно прийти к какому-нибудь противоречию в математике — не делайте так). Значит, $f^{(n)} (0) / n! = 1$ , и формула Тейлора говорит:

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + \dots + x^{n} + \frac{x ^{n + 1}}{( 1 - ξ ) ^{n + 2}}, 0 < ξ < x .

Остаток, с одной стороны, больше $x^{n + 1}$ (что и так понятно: оставшееся разложение начинается с $x^{n + 1}$ ), а с другой — меньше $\frac{x ^{n + 1}}{( 1 - x ) ^{n + 2}}$ . Это согласуется с точным значением остатка — хвостом геометрической прогрессии

x^{n + 1} + x^{n + 2} + \dots = \frac{x ^{n + 1}}{1 - x} .

Пример (пример 1: экспонента). $f (x) = e^{x}$ — дифференцировать одно удовольствие, постоянно $e^{x}$ . Коэффициенты ряда Тейлора — $\frac{1}{n !}$ :

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + \frac{e ^{ξ} x ^{n + 1}}{( n + 1 )!}, ξ между 0 и x .

Если $n$ как следует побольше, чем $x$ (скажем, $n \geq 3 x$ ), это уже становится содержательным приближением. Для отрицательных $x$ ряд знакочередующийся, и формула говорит меньше, но остаток $O (\frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!})$ всё равно получается.

Замечание. В листке есть последняя задача — в некотором роде предостережение: там просят доказать, что предел

n \to \infty lim e^{- n} (1 + n + \frac{n ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{n ^{n}}{n !})

существует, но не сказано, чему он равен. Здесь $n$ в показателе и $n$ , на котором мы обрубаем ряд, — одно и то же, и поэтому проблема: предел, видимо, не единица. Настоятельно рекомендую посчитать это на компьютере и посмотреть; ответ не очень мистический, и, может быть, мы его прямо вычислим в задаче со звёздочкой.

Пример (пример 2: синус). Производные синуса цикличны с периодом четыре: косинус, минус синус, минус косинус, синус. В нуле: где синус — там ноль, где косинус — там $\pm 1$ :

f^{(n)} (0) = {0, (- 1)^{\frac{n - 1}{2}}, n чётно, n нечётно .

Ряд Тейлора:

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \frac{x ^{7}}{7 !} + \dots

— в отличие от ряда Лейбница $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}$ , такой же ряд с факториалами сходится прямо-таки к синусу единицы. Обрубим на $(2 n)$ -м месте:

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x ^{2 n - 1}}{( 2 n - 1 )!} + (- 1)^{n} \frac{cos ξ}{( 2 n + 1 )!} x^{2 n + 1} .

Это приближение получше, чем для экспоненты, потому что производные синуса ограничены; правда, и приближаем мы что-то довольно маленькое — так что зависит.

Замечание (произведение Эйлера и сумма обратных квадратов). Чем ещё примечателен синус: мы знаем все его нули — это $π k$ , $k \in Z$ . А что делают с многочленами, у которых известны корни? Раскладывают на множители. Если притвориться, что синус — прямо многочлен, следует ожидать разложения на множители типа $(x - π k)$ ; и действительно, верна формула

sin x = x n = 1 \prod \infty (1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2} n ^{2}}) .

Заметьте: она здесь совершенно не доказана — объяснено только, как в неё поверить. (Тем же рассуждением вы бы заключили, что $e^{x} \equiv 1$ , — у экспоненты нет нулей; поэтому так делать не надо. Но если очень хочется, то можно.) Именно так Эйлер понял, чему равна сумма обратных квадратов: раскрывая скобки,

x n \geq 1 \prod (1 - \frac{x ^{2}}{π ^{2} n ^{2}}) = x - x^{3} n = 1 \sum \infty \frac{1}{π ^{2} n ^{2}} + \dots,

а коэффициент при $x^{3}$ в ряде синуса равен $- \frac{1}{6}$ ; значит,

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6} .

Напрямую так делать, к сожалению, нельзя. Два самых простых известных мне доказательства (простых — не элементарных) — через формулу суммирования Пуассона и через комплексный анализ. Иногда можно пожертвовать элементарностью ради простоты.

Замечание (единственность коэффициентов и аналитичность). Если получилось приближение с точки зрения остаточного члена Пеано — $f (x) = многочлен + o (∣ x - a ∣^{n})$ , — то коэффициенты этого многочлена гарантированно являются тейлоровскими: такой ряд обязан совпадать с рядом Тейлора. Но совпадение рядов Тейлора у двух функций ещё не означает совпадения функций. Функции, которые прямо раскладываются в свой ряд, называются аналитическими; не всякая гладкая функция аналитична — анализ богат вложенными друг в друга различными классами функций.

Выпуклость

Линейная алгебра у вас уже происходит, так что все знают, что такое векторное пространство.

Определение (Выпуклое множество). Пусть $V$ — векторное пространство над $R$ и $K \subset V$ . Множество $K$ выпукло, если для любых $k_{1}, k_{2} \in K$ и любого $λ \in [0, 1]$

λ k_{1} + (1 - λ) k_{2} \in K

— весь отрезок между любыми двумя точками лежит в множестве.

Заметка

Резонный вопрос: можно ли заменить $R$ на $C$ и получить содержательное понятие? Если в векторном пространстве над $C$ потребовать то же самое для всех $λ$ с $∣ λ ∣ \leq 1$ , такое множество называется закруглённым — понятно почему: вместо отрезка уже целый кружочек. В качестве шутки обсуждался и кватернионный вариант — предлагалось называть такие множества «засференными».

Определение (Надграфик, подграфик, выпуклая функция). Пусть $f$ — функция на интервале $I$ . Надграфик $f$ — множество

{(x, y) ∣ x \in I, y \geq f (x)},

подграфик — то же с неравенством в другую сторону. Функция $f$ называется выпуклой, если выпукл её надграфик, и вогнутой, если выпукл подграфик. Очевидно, $f$ выпукла тогда и только тогда, когда $- f$ вогнута.

Например, надграфик $y = x^{2}$ — всё, что внутри параболы.

Утверждение (неравенство Йенсена; альтернативное определение выпуклости). Функция $f$ выпукла тогда и только тогда, когда для любых $λ_{i} \geq 0$ с $\sum_{i} λ_{i} = 1$ (сумма конечная) и любых точек $x_{i}$

i \sum λ_{i} f (x_{i}) \geq f (i \sum λ_{i} x_{i}) .

Сумма $\sum λ_{i} x_{i}$ с неотрицательными коэффициентами, дающими в сумме единицу, называется выпуклой комбинацией точек; неравенство говорит, что выпуклая комбинация значений не меньше значения в выпуклой комбинации.

Доказательство. Сначала заметим: в определении выпуклого множества совершенно не нужно, чтобы точек было две. Выпуклую комбинацию $n$ точек можно набрать последовательными комбинациями из двух: например, для трёх точек

λ_{1} k_{1} + λ_{2} k_{2} + λ_{3} k_{3} = (1 - λ_{3}) (\frac{λ _{1}}{1 - λ _{3}} k_{1} + \frac{λ _{2}}{1 - λ _{3}} k_{2}) + λ_{3} k_{3}

(если $1 - λ_{3} = 0$ — неинтересно), и так далее для любого конечного числа точек. Геометрически это наиболее понятно, но и на уровне формулок тоже.

Теперь возьмём точки $(x_{i}, f (x_{i}))$ — они по определению лежат в надграфике. Их выпуклая комбинация

(i \sum λ_{i} x_{i}, i \sum λ_{i} f (x_{i}))

лежит в надграфике тогда и только тогда, когда вторая координата не меньше значения $f$ в первой — а это и есть неравенство Йенсена. (Неравенство легко перепутать местами, когда есть два симметричных определения, — важно не перепутать.)

Пока это абстракция: сказано, что если нам хорошо, то нам хорошо. Нужен способ проверять выпуклость.

Теорема (Критерий выпуклости). Пусть $f$ на интервале дважды дифференцируема и $f^{''} \geq 0$ . Тогда $f$ выпукла.

Доказательство. Достаточно проверить неравенство Йенсена для двух точек. Пусть $x_{1}, x_{2}$ — точки интервала, $λ \in [0, 1]$ ; хотим

λ f (x_{1}) + (1 - λ) f (x_{2}) \geq f (λ x_{1} + (1 - λ) x_{2}) .

Рассмотрим функцию на отрезке $[0, 1]$ :

F (λ) = λ f (x_{1}) + (1 - λ) f (x_{2}) - f (λ x_{1} + (1 - λ) x_{2}) .

Она непрерывна ( $f$ дважды дифференцируема, значит, в частности, непрерывна), поэтому достигает минимума; хотим доказать, что значение в точке минимума неотрицательно. Заметим, что

F (0) = F (1) = 0,

поэтому если минимум достигается на границе — победа. Пусть минимум достигается в точке $μ \in (0, 1)$ ; тогда по принципу Ферма $F^{'} (μ) = 0$ :

f (x_{1}) - f (x_{2}) - (x_{1} - x_{2}) f^{'} (μ x_{1} + (1 - μ) x_{2}) = 0.

Обозначим $x_{3} = μ x_{1} + (1 - μ) x_{2}$ . Получилось (прямо как в теореме Лагранжа):

f^{'} (x_{3}) = \frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}}, и, решая линейное уравнение, μ = \frac{x _{3} - x _{2}}{x _{1} - x _{2}} .

Подставим $μ$ обратно:

F (μ) = f (x_{2}) + μ (f (x_{1}) - f (x_{2})) - f (x_{3}) = f (x_{2}) + f^{'} (x_{3}) (x_{3} - x_{2}) - f (x_{3}) .

Теперь напишем для точек $x_{2}$ и $x_{3}$ формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа при $n = 1$ :

f (x_{2}) = f (x_{3}) + f^{'} (x_{3}) (x_{2} - x_{3}) + \frac{f ^{''} ( x _{4} )}{2} (x_{2} - x_{3})^{2},

где $x_{4}$ — какая-то точка между $x_{2}$ и $x_{3}$ . Подставляя, видим, что всё сокращается, кроме

F (μ) = \frac{f ^{''} ( x _{4} )}{2} (x_{2} - x_{3})^{2} \geq 0 :

производная неотрицательна, квадрат неотрицателен. Конец.

Замечание. Это можно было доказывать и совершенно геометрически: весь надграфик выпуклой (в смысле $f^{''} \geq 0$ ) функции лежит выше любой касательной — проверяется вычислением с производными попроще.

Пример (неравенство Коши–Буняковского–Шварца). Возьмите самую простую выпуклую функцию — $x^{2}$ . Неравенство Йенсена говорит:

i \sum λ_{i} x_{i}^{2} \geq (i \sum λ_{i} x_{i})^{2} (λ_{i} \geq 0, \sum λ_{i} = 1) .

Если теперь подставить $λ_{i} = \frac{Y _{i}^{2}}{\sum _{j} Y _{j}^{2}}$ и $x_{i} = \frac{X _{i}}{Y _{i}}$ , после умножения на $(\sum_{j} Y_{j}^{2})^{2}$ получится обычная привычная КБШ:

(i \sum X_{i}^{2}) (i \sum Y_{i}^{2}) \geq (i \sum X_{i} Y_{i})^{2} .

Пример (неравенство о средних). Многие знают неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Без выпуклости его приходится брать штурмом — по индукции из $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq ab$ . А без воинственных методов: возьмите $f (x) = ln x$ . Тогда

f^{'} (x) = \frac{1}{x}, f^{''} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} < 0,

то есть логарифм — вогнутая функция, и неравенство Йенсена пишется в обратную сторону. Для положительных $x_{1}, \dots, x_{n}$ с коэффициентами $λ_{i} = \frac{1}{n}$ :

ln (\frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n}) \geq \frac{1}{n} i \sum ln x_{i} .

Взяв экспоненту от обеих частей:

\frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n} \geq n x_{1} \dots x_{n} .

Получается совершенно моментально.

В неравенстве Йенсена на самом деле не обязательны конечные комбинации — впоследствии увидим, что там можно писать и интегралы.

Ряды Тейлора логарифма и арктангенса

Мы пропустили ещё два содержательных примера с рядами Тейлора.

Пример (логарифм). Логарифм не надо раскладывать в нуле — а то мало не покажется; раскладывать надо в единице, то есть брать $ln (1 + x)$ . Производная — $\frac{1}{1 + x}$ , и дальше вылезает уже по-настоящему факториал:

(ln (1 + x))^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1} ( n - 1 )!}{( 1 + x ) ^{n}},

поэтому

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots

(остаток оцените, как хотите). На границе круга сходимости беда: при $x = - 1$ получается гармонический ряд, и он расходится.

Пример (арктангенс). Производная арктангенса — $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ (упражнение из прошлого раза); это геометрическая прогрессия, которую нужно почленно «проинтегрировать»:

arctg x = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots

Арктангенс прекрасно определён на всём $R$ — а ряд при $∣ x ∣ > 1$ совершенно не сходится: подставляете $x$ больше единицы — и каюк. Почему? Всё потому, что арктангенс плохо определён в точке $i$ : у $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ полюсы в $\pm i$ . Из-за проблем на границе комплексного круга сходимости у нас настают проблемы в вещественном мире.

Это общий симптом: бывает, что при вещественных $x$ у функции никаких проблем нет, а ряд всё равно не сходится.

Приложение: приближения Паде

Напоследок — короткое приложение для реального мира. Для начала на доске будет написана вообще ерунда:

9 π^{2} + 7 π^{3} - 2160 π + 6480.

Вбейте это в калькулятор — получится примерно ноль: дикая целочисленная комбинация степеней $π$ с огромными коэффициентами даёт какую-то мелочь. Смею утверждать, что это не случайность.

Рассмотрим рациональную функцию

f (x) = \frac{x - \frac{7}{60} x ^{3}}{1 + \frac{x ^{2}}{20}} .

Разложим её: знаменатель даёт знакопеременную геометрическую прогрессию

\frac{1}{1 + x ^{2} /20} = 1 - \frac{x ^{2}}{20} + \frac{x ^{4}}{400} + O (x^{6}),

и, раскрывая скобочки (не падайте в обморок):

f (x) = x - x^{3} (\frac{1}{20} + \frac{7}{60}) + x^{5} (\frac{1}{400} + \frac{7}{1200}) + O (x^{7}) = x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} + O (x^{7}) .

Это ряд для синуса! Оказывается, $f (x)$ приближает $sin x$ :

на отрезке $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ — с точностью до $5 \cdot 1 0^{- 3}$ ;
на отрезке $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ — с точностью до $4 \cdot 1 0^{- 5}$

(причём для положительных $x$ она синус чуть-чуть недооценивает). Если $x$ не очень большое и вы его знаете, подставьте его в эту рациональную функцию — и получите $sin x$ с отличной точностью.

Теперь подставим $x = \frac{π}{6}$ и скажем, что $f (\frac{π}{6}) \approx sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ . Пораскрывав скобочки, получите в точности то соотношение, с которого мы начали. Даже такие совпадения иногда бывают не случайными. Попутно получается неплохое рациональное приближение:

sin 1 \approx f (1) = \frac{1 - \frac{7}{60}}{1 + \frac{1}{20}} = \frac{53}{63} .

Замечание. Как найти такую функцию — понятно: пишете $\frac{x + a x ^{3}}{1 + b x ^{2}}$ и решаете уравнения на коэффициенты (а максимум разности на отрезке умеют считать хорошие программы типы Вольфрама: продифференцировать и найти нули — не фокус). Приближения рациональными функциями с ограниченными степенями числителя и знаменателя, дающие наибольшее количество правильных слагаемых ряда Тейлора, называются аппроксимациями Паде. Если вы хотите численно посчитать синус, от них большая польза.

На этой оптимистической ноте — всё: мы теперь умеем приближать всякие штуки более элементарными вещами. В следующий раз продолжим про топологические и метрические пространства, пополнение — и я надеюсь наконец поговорить про $p$ -адические числа, а то я их рекламирую уже четыре, даже пять лекций.

Related works