Анализ-1. Лекция 4

Сегодня — анализ с привкусом топологии: продолжаем разговор о непрерывных функциях. В прошлый раз непрерывность функции $f : R \to R$ была определена тремя эквивалентными способами: (а) функция дружит с пределами (из $x_{n} \to x$ следует $f (x_{n}) \to f (x)$ ); (б) $ε$ – $δ$ -определение; (в) прообраз открытого множества открыт. Естественно теперь поговорить немного про топологические и метрические пространства — недолго, чтобы не конкурировать с будущим курсом топологии.

Топологические пространства

Определение (Топологическое пространство). Топологическое пространство — это пара $(X, τ)$ , где $X$ — множество, а $τ \subset 2^{X}$ — семейство подмножеств (топология; множества $U \in τ$ называются открытыми), удовлетворяющее трём условиям:

$\emptyset \in τ$ и $X \in τ$ ;
для любого множества индексов $A$ и любых открытых $U_{α}$ , $α \in A$ ,

$α \in A ⋃ U_{α} \in τ$

— любое объединение открытых множеств открыто;
для любого конечного $A$

$α \in A ⋂ U_{α} \in τ$

— любое конечное пересечение открытых открыто.

Замечание. Почему в третьем условии нельзя разрешить бесконечные пересечения? Вспомним пример: $U \subset R$ открыто, если каждая точка лежит в $U$ вместе с интервальчиком; в частности, интервал — открытое множество. Но если пересечь счётное количество интервалов

(\frac{1}{2} - \frac{1}{n}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n}),

получится точка ${1/2}$ — и это проблема. А с произвольными объединениями всё хорошо: если точка лежит в объединении открытых множеств, то она лежит в каком-то из них — прямо вместе со своей окрестностью, а значит, и в объединении вместе с окрестностью.

Определение (Замкнутое множество). Дополнение до открытого множества называется замкнутым.

Топологию можно было бы определять и через замкнутые множества, поменяв местами требования конечности: любое пересечение замкнутых замкнуто, но лишь конечное объединение замкнутых замкнуто.

Предельные точки и замыкание

Если есть понятие открытости, можно определить предельную точку множества.

Определение (Предельная точка). Пусть $A \subset X$ и $x \in X$ . Точка $x$ — предельная точка множества $A$ , если для любого открытого $U$ с $x \in U$

(U ∖ {x}) \cap A \neq = \emptyset,

то есть любая окрестность точки $x$ пересекается с $A$ (не считая самой точки).

В случае $R$ это буквально означает, что существует последовательность точек множества $A$ , сходящаяся к $x$ : берите окрестности с $ε = 1/ n$ и выбирайте по точке из каждой.

Утверждение. Множество $A$ замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Доказательство. ( $\Rightarrow$ ) Пусть $A$ замкнуто. Тогда $X ∖ A$ открыто, и для любого $x \in / A$ множество $X ∖ A$ — открытое множество, содержащее $x$ и не содержащее точек $A$ . Значит, никакая точка вне $A$ не является предельной точкой $A$ — тавтологическим образом. Заметим, что здесь мы вообще ничего не использовали о природе открытых множеств.

( $\Leftarrow$ ) Пусть все предельные точки $A$ лежат в $A$ . Тогда для любого $x \in X ∖ A$ существует открытое $U_{x} ∋ x$ такое, что $U_{x} \cap A = \emptyset$ — иначе $x$ была бы предельной точкой. Но тогда

X ∖ A = x \in X ∖ A ⋃ U_{x} :

включение в одну сторону — потому что каждый $x$ лежит в своём $U_{x}$ , в другую — потому что каждое $U_{x}$ не пересекается с $A$ . Любое объединение открытых открыто, значит, $X ∖ A$ открыто и $A$ замкнуто.

Замечание. Множества бывают открытые, бывают замкнутые, бывают и такие и такие одновременно, а бывают ни такие ни такие. По-английски это ещё коварнее: open и closed звучат как строгая дихотомия. Поэтому всегда говорят: множество — это не дверь. (В связи с этим есть понятие «дверного пространства», в котором любое подмножество либо открыто, либо замкнуто.)

Определение (Замыкание). Замыкание $cl (A)$ (пишут также $\overline{A}$ , когда лень, — а лень будет по большей части) — это $A$ , объединённое со всеми своими предельными точками.

Утверждение. Замыкание замкнуто (иначе зачем его так называть). Более того, $cl (A)$ — наименьшее замкнутое множество, содержащее $A$ .

Доказательство. Пусть $x \in X ∖ cl (A)$ . Тогда $x$ — не предельная точка $A$ (и $x \in / A$ ), значит, существует открытое $U_{x} ∋ x$ с $U_{x} \cap A = \emptyset$ . В $U_{x}$ не может лежать и никакая предельная точка $A$ : для неё $U_{x}$ было бы открытой окрестностью, обязанной пересечься с $A$ . Итого $U_{x} \cap cl (A) = \emptyset$ , и дополнение к замыканию — объединение таких $U_{x}$ , то есть открыто. Минимальность легко видеть: любое замкнутое множество, содержащее $A$ , содержит и все предельные точки $A$ .

Пример. Замыкание $Q$ внутри $R$ (в стандартной топологии, естественно) — это всё $R$ .

Крайние случаи топологий

На любом множестве есть две самые очевидные топологии.

Определение (Дискретная и антидискретная топологии). Если $τ = 2^{X}$ (все множества открыты) — это дискретная топология. Если $τ = {\emptyset, X}$ — это антидискретная топология.

Про антидискретную топологию нужно думать так: всё множество слиплось в единый ком, и разлепить его обратно нельзя. Про дискретную — наоборот: все точки друг от друга далеко, как $Z$ внутри $R$ .

Непрерывные отображения и гомеоморфизмы

В любом курсе настаёт момент, когда лектор начинает рисовать на доске стрелочки. Это тот случай.

Определение (Непрерывное отображение). Отображение $f : X \to Y$ между топологическими пространствами непрерывно, если $f^{- 1} (U)$ открыто в $X$ для любого открытого $U \subset Y$ .

Из этого определения немедленно, тавтологическим образом, следует, что композиция непрерывных отображений непрерывна.

После того как понятно, какие бывают стрелочки между объектами, понятно и какие объекты следует считать одинаковыми (с топологической точки зрения).

Определение (Гомеоморфизм). Если $f : X \to Y$ — биекция, причём и $f$ , и $f^{- 1}$ непрерывны, то пространства $X$ и $Y$ называются гомеоморфными.

Пример. $R$ гомеоморфно интервальчику (мы даже строили такую биекцию — $x \mapsto x / (1 + ∣ x ∣)$ ; стандартно подойдёт и арктангенс), но не отрезочку — почему, увидим сегодня.

Метрические пространства

Определение (Метрическое пространство). Метрическое пространство — это пара $(X, ρ)$ , где $X$ — множество, а $ρ : X \times X \to R_{\geq 0}$ — расстояние между точками, причём:

$ρ (x, y) = 0 ⟺ x = y$ — если две точки слиплись, это одна и та же точка;
$ρ (x, y) = ρ (y, x)$ — симметричность;
$ρ (x, y) + ρ (y, z) \geq ρ (x, z)$ — неравенство треугольника: путь через промежуточную точку не короче прямого.

Заметка

Насчёт симметричности: есть шуточная задача, является ли московское метро метрическим пространством, — вопрос обсуждаемый, потому что ехать от одной станции до другой и в обратном направлении не всегда одинаково по времени.

Позже мы увидим метрические пространства с более жёсткой структурой — векторные пространства, где метрика будет нормой разности; в листке уже есть пример нормированного пространства ( $ℓ_{1}$ ).

Всякое метрическое пространство является и топологическим: топология задаётся абсолютно так же, как мы задавали её на $R$ .

Определение (Топология метрического пространства). $U \subset X$ открыто, если для любого $u \in U$ существует $ε > 0$ такое, что

B_{ε} (u) \subset U, где B_{ε} (u) = {x \in X ∣ ρ (x, u) < ε}

— открытый шар радиуса $ε$ с центром $u$ .

Интуиция про шары понятная — обычные шарики в трёхмерном пространстве. Единственное, не следует думать, что у шара ровно один центр: аксиомы не запрещают, чтобы $B_{ε} (u) = B_{ε} (v)$ при $u \neq = v$ . Простейший пример — дискретная метрика (расстояние $1$ между различными точками, $0$ — между совпадающими).

Раз есть топология — автоматически есть и непрерывные отображения. Для метрических пространств непрерывность $f : X \to Y$ эквивалентна привычной записи (важен порядок кванторов): для любого $x \in X$ и любого $ε > 0$ существует $δ > 0$ такое, что

ρ_{X} (x, y) < δ ⟹ ρ_{Y} (f (x), f (y)) < ε .

Это напрямую следует из определения топологии.

Стрелочки между метрическими пространствами можно определять и жёстче.

Определение (Липшицево отображение, изометрия). Отображение $f : X \to Y$ липшицево с константой $L$ , если

ρ_{Y} (f (x), f (y)) \leq L ρ_{X} (x, y),

то есть оно увеличивает расстояния не более чем в $L$ раз. Особо выделяются 1-липшицевы отображения; 1-липшицева биекция, обратная к которой тоже 1-липшицева, называется изометрией.

Изометричность — гораздо более сильное свойство, чем гомеоморфность.

Алгебра непрерывных функций

Мы кучу всего наболтали и ничего не доказали. Давайте что-нибудь докажем. На топологическом пространстве можно рассматривать все непрерывные функции.

Теорема (Алгебра). Пусть $X$ — топологическое пространство и

C (X, R) = {f : X \to R ∣ f непрерывна}

(обыкновенно $C (X)$ обозначает функции с комплексными значениями, но здесь притворимся, что значения вещественные). Тогда $C (X, R)$ — алгебра над $R$ : непрерывные функции образуют векторное пространство и их можно перемножать (всё поточечно: $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ и т. д.). Кроме того, если $0 \in / g (X)$ , то $f / g \in C (X, R)$ — на не обращающуюся в нуль функцию можно делить.

Доказательство. Раз уж мы наговорили абстракций, докажем это тоже абстрактно. Четыре замечания.

(а) Отображение $R \to R$ , $x \mapsto α x$ ( $α \in R$ ), непрерывно — оно даже $∣ α ∣$ -липшицево.

(б) Отображение $R \times R \to R$ , $(x, y) \mapsto x + y$ , непрерывно. Тут нужна топология на произведении. Метрику на произведении метрических пространств можно вводить по-разному; давайте, например, $ℓ_{1}$ -метрику:

ρ ((x, y), (x^{'}, y^{'})) = ρ (x, x^{'}) + ρ (y, y^{'}) .

Перемножив $R$ на себя много раз, получим $ℓ_{1}$ -метрику на векторах — сумму модулей разностей координат. Её называют манхэттенской: если ходить по решётке длинных прямых улиц, как ни иди, расстояние одинаковое. (Можно было взять максимум — $ℓ_{\infty}$ -метрику, или корень из суммы квадратов; более-менее все способы написать метрику на $R^{n}$ дают одну и ту же топологию. Как определить топологию на произведении топологических пространств — придумайте самостоятельно.) Теперь непрерывность сложения очевидна: если $∣ x - x^{'} ∣ < ε /2$ и $∣ y - y^{'} ∣ < ε /2$ , то $∣ x + y - x^{'} - y^{'} ∣ < ε$ . Конец.

(в) Отображение $(x, y) \mapsto x y$ тоже непрерывно — по тем же причинам. Единственное, сложение равномерно непрерывно, а умножение уже не очень (в знаменателе $δ$ появится что-то зависящее от точки), но это детали.

(г) Отображение $R ∖ {0} \to R$ , $x \mapsto 1/ x$ , непрерывно: у ненулевого $x$ и близкого к нему ненулевого $x^{'}$ обратные тоже близки.

Зачем сказаны все эти тривиальности? А затем, что для любых $f, g \in C (X, R)$ отображение

X ⟶ R \times R, x ⟼ (f (x), g (x)),

непрерывно (по нашему определению метрики на произведении). А из $R \times R$ можно непрерывно отправиться куда угодно: в сумму, в произведение, умножить на число — и даже в $f / g$ , только для деления нужно, чтобы пара попадала в $R \times (R ∖ {0})$ . Композиция непрерывных непрерывна — вот и всё.

Замечание. Из этого немедленно следует, что все вещественные многочлены — непрерывные функции на $R$ : тождественная функция непрерывна, а дальше алгебраическими операциями собирается любой многочлен. А рациональная функция непрерывна на $R$ без конечного множества точек: выколите её полюсы, и получится отличная непрерывная функция.

Замечание. С каждым топологическим пространством связана алгебра $C (X)$ . Более продвинутые аналитические результаты учат: если немного сузить класс рассматриваемых пространств и учесть на этой алгебре дополнительные структуры (норму и инволюцию — комплексное сопряжение, если брать коэффициенты в $C$ ), то алгебра будет более-менее однозначно определять пространство. Такой способ «поверить алгеброй гармонию» — но это уже другой разговор.

Компактность

Ещё одна пропущенная вещь: если у метрического пространства есть подмножество, на нём автоматически возникает структура метрического пространства — просто ограничьте $ρ$ на $Y \times Y$ . А если $X$ — топологическое пространство и $Y \subset X$ , то топологию на $Y$ естественно объявить так:

τ_{Y} = {U \cap Y ∣ U \in τ}

— все пересечения открытых множеств в $X$ с $Y$ . Как подмножества $X$ они могут и не быть открытыми, но в себе, как в топологическом пространстве, множество $Y$ обязано быть открытым — поэтому определять нужно именно так.

Компактность следует представлять себе так: пространство «не очень-то убегает на бесконечность» — не сказать, что ограниченное, но в общем не очень большое.

Определение (Компактность). Пространство $K$ компактно, если для любого семейства открытых множеств ${U_{α}}_{α \in A}$ с

α \in A ⋃ U_{α} = K

существует конечное $A^{'} \subset A$ такое, что уже $⋃_{α \in A^{'}} U_{α} = K$ . На человеческом языке: у любого открытого покрытия есть конечное подпокрытие.

Пример. $R$ некомпактно: покройте его окрестностями нуля $(- n, n)$ — конечного подпокрытия не выбрать; в этом смысле $R$ убегает на бесконечность. Интервал $(0, 1)$ на бесконечность вроде бы не убегает, но тоже некомпактен: его можно покрыть множествами $(\frac{1}{n}, 1)$ без конечного подпокрытия. Оно и понятно — $R$ и $(0, 1)$ гомеоморфны.

Теорема («Гейне–Борель»).

Если $f : K \to X$ непрерывно и $K$ — компакт, то $f (K)$ (с индуцированной топологией) — компакт.
Отрезок $[a, b]$ (конечный) компактен.

Название условно — в теорему свалено сразу несколько утверждений, и лектор признаётся, что будет иногда аисторичен.

Доказательство. Пункт 1. Покрыть $f (K)$ открытыми в индуцированной топологии — то же самое, что покрыть его открытыми множествами объемлющего $X$ . Пусть ${U_{α}}_{α \in A}$ — такое покрытие. Возьмём прообразы:

K = α \in A ⋃ f^{- 1} (U_{α})

— каждая точка $k \in K$ переходит в какое-то из $U_{α}$ , поэтому прообразы покрывают $K$ ; и они открыты по непрерывности. По компактности $K$ существует конечное $A^{'} \subset A$ с $K = ⋃_{α \in A^{'}} f^{- 1} (U_{α})$ . Применяя $f$ обратно, получаем

f (K) \subset α \in A^{'} ⋃ U_{α},

поскольку $f (f^{- 1} (U_{α})) \subset U_{α}$ . Конечное подпокрытие найдено.

Пункт 2 — классический анализ. Пусть ${U_{α}}$ — покрытие отрезка $[a, b]$ открытыми множествами (в $R$ ). Введём множество

C = {c \in [a, b] ∣ [a, c] покрывается конечным числом U_{α}} .

Наша цель — доказать, что $b \in C$ . (Иногда полезно во время доказательства озвучивать желание.)

$C$ непусто ( $a$ подходит: точка $a$ лежит в каком-то $U_{α}$ ) и ограничено сверху числом $b$ , значит, существует $b^{'} = sup C$ .

Шаг 1: $b^{'} \in C$ . Точка $b^{'}$ лежит в отрезке, значит, существует $β$ такое, что $b^{'} \in U_{β}$ ; множество $U_{β}$ открыто в $R$ , поэтому целый интервал $(b^{'} - ε, b^{'} + ε)$ лежит в $U_{β}$ для некоторого $ε > 0$ . Так как $b^{'}$ — точная верхняя грань $C$ , найдётся точка $c \in C$ строго между $b^{'} - ε$ и $b^{'}$ ; отрезок $[a, c]$ покрыт конечным набором $U_{α}$ . Добавим к этому набору $U_{β}$ — и он покроет весь $[a, b^{'}]$ . Значит, $b^{'} \in C$ .

Шаг 2: $b^{'} = b$ . Есть два варианта: либо $b^{'} = b$ , либо $b^{'} < b$ . Пусть $b^{'} < b$ . Интервал $(b^{'} - ε, b^{'} + ε)$ лежит в $U_{β}$ , поэтому точка $min (b^{'} + ε /2, b)$ тоже лежит в $C$ — тот же конечный набор с добавленным $U_{β}$ покрывает отрезок до неё. Но эта точка больше $b^{'}$ — противоречие с тем, что $b^{'}$ — верхняя грань. Значит, $b^{'} = b$ и $b \in C$ : отрезок компактен.

Заметка

Всегда проверяйте, что вы обсуждаете что-то содержательное. Есть байка: человек долго писал диссертацию про интересные свойства неких топологических пространств, а на защиту пришёл, кажется, Милнор — и за время защиты доказал, что все рассматриваемые пространства конечны. (Бывают, конечно, и содержательные конечные топологические пространства, но там, кажется, было совсем всё плохо.)

Теорема (Вейерштрасс). Пусть $K$ — компакт и $f : K \to R$ непрерывна. Тогда $f$ ограничена и достигает максимума.

Компактность здесь очень по делу: тождественная функция на интервале $(0, 1)$ совершенно не достигает ни максимума, ни минимума.

Доказательство. Ограниченность. $f (K)$ — компакт (образ компакта). У него есть открытое покрытие

f (K) \subset n = 1 ⋃ \infty {x ∣ ∣ x ∣ < n} .

Все эти множества открыты, значит, существует конечное подпокрытие; так как множества вложены друг в друга, существует $N$ такое, что $f (K) \subset {∣ x ∣ < N}$ . Функция ограничена. Конец.

Достижение максимума. Пусть

M = x \in K sup f (x)

— супремум существует, потому что множество значений ограничено. Предположим, максимум не достигается: $f (x) < M$ для всех $x$ . Тогда функция

g (x) = \frac{1}{M - f ( x )}

непрерывна — мы только что доказали, что можно делить на функцию, не обращающуюся в нуль. Раз непрерывна на компакте — значит, ограничена. А это неправда: по определению точной верхней грани для любого $ε > 0$ существует $x \in K$ с $M - ε < f (x) < M$ , и для такого $x$

g (x) > \frac{1}{ε} .

Противоречие: такая функция не может быть ограничена.

Это уже достаточно мощный результат: напишите какую угодно белиберду, лишь бы непрерывную, — на отрезке она прямо достигает максимума. Значит, всегда можно сказать «предположим, что $x$ — точка максимума» и посмотреть, что там происходит; без компактности так делать, конечно, нельзя.

Связность

Определение (Связное пространство). Пространство $X$ связно, если из того, что $X = U ⊔ V$ (то есть $X = U \cup V$ и $U \cap V = \emptyset$ ), где $U$ и $V$ открыты, следует, что $U$ или $V$ пусто. Иными словами: пространство нельзя разбить на два непустых открытых подмножества.

Пример. Это соответствует тому, что мы обсуждали при построении вещественных чисел: в $Q$ огромное количество дыр, поэтому разбить $Q$ на два непересекающихся открытых множества ничего не стоит — возьмите все рациональные числа, большие $2$ , и все меньшие. А в $R$ , как мы сейчас увидим, так нельзя — и это очень полезно.

Замечание. Связность тоже можно использовать для характеризации вещественных чисел: если я правильно помню, поле с топологией, согласованной со структурой поля, локально компактное и связное — это автоматически $R$ (локальная компактность означает, что у любой точки есть компактная окрестность: точку можно запихнуть в открытое множество, а его — в компактное).

Теорема (Связные подмножества). Связные подмножества $R$ — это в точности

[a, b], (a, b), [a, b), (a, b],

где $a$ и $b$ могут быть и бесконечными (тогда получаются лучи и всё $R$ ). Больше ничего связного не бывает.

Доказательство. Ничего другого не бывает. Пусть $X \subset R$ связно; для простоты пусть $a = in f X$ и $b = sup X$ конечны. Ключевой момент: если $x < y$ , обе точки лежат в $X$ , а какая-то точка $z$ между ними — нет, то можно написать

X = (X \cap (- \infty, z)) ⊔ (X \cap (z, + \infty)) .

Оба куска открыты в индуцированной топологии, не пересекаются, дают в объединении всё $X$ и непусты ( $x$ — в первом, $y$ — во втором). Это противоречит связности. Значит, вместе с любыми двумя точками $X$ содержит весь отрезок между ними.

Отсюда для маленьких $ε > 0$ отрезок $[a + ε, b - ε]$ лежит в $X$ (около граней найдутся точки $X$ ), то есть

(a, b) \subset X \subset [a, b],

и реализуется один из четырёх вариантов — в зависимости от того, принадлежат ли концы. Если же $X$ не ограничено с какого-то конца, рассуждение то же: например, если оно не ограничено ни сверху, ни снизу, возьмите большое-пребольшое отрицательное число и большое-пребольшое положительное — весь интервал между ними лежит в $X$ ; устремляя параметры, получите всё $R$ .

$R$ связно. Пусть $R = U ⊔ V$ , оба открыты и непусты. Не ограничивая общности, есть $u \in U$ и $v \in V$ с $u < v$ (иначе поменяйте $U$ и $V$ местами). Положим

W = sup {x ∣ [u, x] \subset U}

(множество непусто — $u$ подходит, и ограничено сверху числом $v$ ). Точка $W$ лежит либо в $U$ , либо в $V$ ; оба случая приводят к противоречию.

Если $W \in U$ : существует $ε > 0$ такое, что $(W - ε, W + ε) \subset U$ ; но тогда отрезочек можно увеличить за $W$ — противоречие с тем, что $W$ — верхняя грань.

Если $W \in V$ : снова есть $ε$ с $(W - ε, W + ε) \subset V$ ; но по определению супремума найдётся довольно длинный отрезок $[u, x]$ с $x$ , близким к $W$ , целиком лежащий в $U$ , — а он обязан пересечься с этой окрестностью. Противоречие.

Доказать связность отрезка, интервала, полуинтервала — понятно как (так же).

Следствие (Теорема о промежуточном значении). Пусть $f : X \to R$ непрерывна и $X$ связно. Тогда для любых $x, y \in X$ с $f (x) \leq f (y)$ и любого $C$ с

f (x) \leq C \leq f (y)

существует $z \in X$ такое, что $f (z) = C$ .

Это совершенно умозрительно очевидно: нарисуйте по горизонтали $X$ , по вертикали $R$ , кривую и две точечки — всё, что между ними, реализуется.

Доказательство. Достаточно доказать, что образ связного связен. Действительно, если $f (X) = U ⊔ V$ — разбиение на непустые открытые (в индуцированной топологии) множества, то

X = f^{- 1} (U) ⊔ f^{- 1} (V)

— разбиение $X$ на непустые открытые множества. Конец: образ связного связен. (Вот где использована непрерывность — иначе непонятно, почему образ связного связен.)

Значит, $f (X)$ — связное подмножество $R$ , а такие мы описали: вместе с любыми двумя точками $f (x)$ и $f (y)$ оно содержит весь отрезок $[f (x), f (y)]$ — в частности, точку $C$ .

TikZ diagram — Непрерывная функция на связном пространстве принимает все значения между $f (x)$ и $f (y)$ .

Следствие. Многочлен нечётной степени имеет вещественный корень: если $f \in R [x]$ и $de g f$ не делится на $2$ , то у $f$ есть корень в $R$ .

Доказательство. Считаем, что старший коэффициент — единичка. Подставьте большое-пребольшое положительное $x$ — значение будет большим положительным; подставьте большое-пребольшое отрицательное — значение будет большим отрицательным. Между ними где-то есть нолик — по теореме о промежуточном значении. Конец.

Следствие (со звёздочкой). $C$ алгебраически замкнуто.

Существует доказательство, которое опирается только на то, что у многочлена нечётной степени есть вещественный корень, плюс общие утверждения из теории Галуа (и теоремы Силова). За доказательством обращайтесь к своему лектору по алгебре.

Замечание. Основную теорему алгебры доказывают разными способами: есть доказательство при помощи векторных полей («про даму с собачкой»), есть через комплексный анализ (если у многочлена нет корней, то обратная к нему функция — ограниченная голоморфная, и поэтому проблемы), и есть вот это, через нечётную степень.

Элементарные функции

Мы уже целую лекцию говорим про непрерывные функции, а ни одной непрерывной функции, кроме тождественной, не увидели. Элементарные функции — это все функции, которые выглядят так, как будто с ними понятно, что происходит. А именно, есть конечный набор понятных функций:

степенная: $x \mapsto x^{r}$ , где $x > 0$ , $r \in R$ ;
показательная: $x \mapsto a^{x}$ , где $a > 0$ ;
логарифм: $x \mapsto lo g_{a} x$ , где $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $x > 0$ (не будем сегодня делить на ноль);
тригонометрические: $sin x$ , $cos x$ (хотя для определения он уже не нужен), $tg x$ , $ctg x$ и обратные тригонометрические.

С ними позволено делать что не попадя: брать композиции в каком угодно порядке, перемножать, делить (на то, что не ноль). Всё, что из этого получится, — элементарные функции.

Замечание. Если позволить комплексные числа, от тригонометрических функций можно вообще избавиться, а обратные к ним выразить через логарифмы — но тогда надо договариваться, какое именно значение брать. Хитро всё.

Как их определять? Например, $x^{r}$ : фиксируете $x$ , находите последовательность рациональных чисел, сходящуюся к $r$ , возводите $x$ во все эти рациональные степени ( $x^{p / q}$ — корень уравнения, это несложно) и переходите к пределу.

А что такое синус? Есть окружность, на окружности бывают углы, углы можно откладывать много раз. Чтобы определить угол в $x$ радиан, приближаете $\frac{x}{2 π}$ рациональными числами: угол в $\frac{2 π}{p}$ радиан — это тот, который, отложенный $p$ раз, даёт полный. Дальше по непрерывности (примерно как с дедекиндовыми сечениями) строится угол в $x$ радиан для любого вещественного $x$ — и победа: синус получился. Доказательство того, что этот процесс сойдётся, — упражнение (даже вне листков).

Кстати, существование точки окружности на данном расстоянии — уже теорема о промежуточном значении: функция «расстояние до нуля» на $R^{2}$ непрерывна, в центре она нуль, далеко за пределами окружности сильно больше единицы — значит, где-то она единичка.

Заметка

Про откладывание углов есть две задачи в контексте теории Галуа: нельзя произвольный угол разделить на три части — и угол в $1 9^{\circ}$ можно поделить на $19$ частей.

Замечательные пределы

Раз у нас есть элементарные функции, можно поговорить про замечательные пределы. Сегодня всё такое хорошее: сначала непрерывное, потом элементарное, теперь замечательное.

Теорема (Замечательные пределы).

1) x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1; 2) x \to 0 lim (1 + x)^{1/ x} = e .

Поясним, что означают эти записи: функция $\frac{s i n x}{x}$ определена везде вне нуля (мы делим на $x$ ), поэтому рассматриваем последовательности из проколотой окрестности нуля — $x_{n} \neq = 0$ , $x_{n} \to 0$ — и утверждаем, что значения функции на них стремятся к единице. То же самое про $e$ .

Доказательство. Первый предел. С синусом придётся помучиться больше, чем с экспонентой, — надо рисовать. Поскольку синус — нечётная функция, достаточно доказать, что предел справа ( $x_{n} > 0$ ) равен единице.

Отложим угол $x$ на единичной окружности с центром $O$ ; пусть $A$ — точка окружности на горизонтальной оси, $B$ — точка окружности под углом $x$ , $H$ — проекция $B$ на $O A$ , а $L$ — точка пересечения продолжения $O B$ с касательной к окружности в точке $A$ . Сравним три площади:

сектор $O A B$ : площадь пропорциональна углу в радианах (при $x = 2 π$ получилась бы площадь $π$ всего круга), то есть равна $\frac{x}{2}$ ;
треугольник $O A B$ : его высота — $B H = sin x$ , а основание $O A = 1$ , площадь $\frac{sin x}{2}$ ;
треугольник $O A L$ : катет $L A$ противолежит углу $x$ в прямоугольном треугольнике с прилежащим катетом $O A = 1$ , поэтому $L A = tg x$ и площадь равна $\frac{tg x}{2}$ .

Треугольник $O A B$ лежит внутри сектора, а сектор — внутри треугольника $O A L$ . Получается совершенно элементарное неравенство

sin x < x < tg x (0 < x < \frac{π}{2}) .

Из левой половины $\frac{sin x}{x} < 1$ , поэтому

x \to 0^{+} lim sup \frac{sin x}{x} \leq 1

(у любой такой последовательности верхний предел не больше единицы). С другой стороны, из правой половины $\frac{sin x}{x} > cos x$ , а $cos x \to 1$ при $x \to 0$ (что видно из той же картинки), поэтому

x \to 0^{+} lim inf \frac{sin x}{x} \geq 1.

Значит, оба предела равны — и равны единице. Ура.

Второй предел. Тут совсем всё просто. Пусть $x > 0$ маленькое; найдётся большое $n$ такое, что

\frac{1}{n + 1} \leq x \leq \frac{1}{n} .

Тогда

(1 + \frac{1}{n + 1})^{n} \leq (1 + x)^{1/ x} \leq (1 + \frac{1}{n})^{n + 1},

а обе крайние штучки стремятся к $e$ . Случай отрицательных $x$ обратите — сведите к положительному.

Замечание (следствия замечательных пределов).

$\frac{ln ( 1 + x )}{x} \to 1$ при $x \to 0$ — возьмите логарифм от второго предела.
$\frac{e ^{x} - 1}{x} \to 1$ — это мы и так знаем: $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots$ (такую формулу мы даже видели).
$\frac{arcsin x}{x} \to 1$ — из первого предела, примерно из тех же соображений.

Что из этого видно? Многие хорошие функции в нуле допускают хорошее приближение чем-то линейным:

sin x = x + o (x), e^{x} = 1 + x + o (x) .

А отсюда моментально следует, что

cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2}) :

по формуле двойного угла $1 - cos x = 2 sin^{2} \frac{x}{2}$ , и при $x \to 0$ это есть $2 (\frac{x}{2} + o (x))^{2} = \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ .

Производная

Многие приличные функции приближаются чем-то вида «константа плюс что-то линейное». Это соответствует тому, что они дифференцируемы.

Определение (Дифференцируемость и производная). Функция $f$ дифференцируема в точке $x$ , если

f (x + ε) = f (x) + δ ε + o (ε) (ε \to 0),

где $δ$ — фиксированное вещественное число. То есть при шевелении аргумента на $ε$ значение функции шевелится примерно на что-то кратное $ε$ : функцию локально можно хорошо приблизить аффинно-линейной. Тогда пишут $δ = f^{'} (x)$ и называют это производной. Иными словами, $f$ дифференцируема в $x$ , если существует предел

f^{'} (x) = ε \to 0 lim \frac{f ( x + ε ) - f ( x )}{ε} .

Замечание. Функцию $a x + b$ не хочется называть линейной — она буквально не является линейной: линейная функция должна переводить сумму в сумму. В школе учат, что она линейная, и, в общем, это огорчает. Правильно говорить — аффинная.

Изначально это придумывали из двух разных соображений: Ньютону была нужна физика (скорость — прекрасная с физической точки зрения вещь), а Лейбниц просто пытался придумать универсальный язык описания всего, как положено математику.

Правила дифференцирования

Сумма. $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ — тут ничего не поделать: это сумма пределов, и всё.

Правило Лейбница. Курьёзно названо в честь Лейбница, потому что он сначала придумал, что должно быть не так, а потом осознал, что был неправ (что очень правильно):

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'} .

Доказательство. Перемножим разложения

f (x + ε) = f (x) + ε f^{'} (x) + o (ε), g (x + ε) = g (x) + ε g^{'} (x) + o (ε) .

Получится $f (x) g (x)$ , как положено; затем кусочки крест-накрест — $ε (f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x))$ ; а произведение двух маленьких штуковин ( $ε^{2}$ и мельче) — это уже $o (ε)$ , на него можно забить. Итого

f (x + ε) g (x + ε) = f (x) g (x) + ε (f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)) + o (ε) .

Частное. Если $g$ дифференцируема и не обращается в нуль, то

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - g ^{'} f}{g ^{2}} .

Композиция (цепное правило). Если $g$ дифференцируема в точке $x$ , а $f$ — в точке $g (x)$ , то композиция дифференцируема и

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) .

Доказательство. Это несколько хитрее. Пишем

g (x + ε) = g (x) + ε g^{'} (x) + o (ε)

и подставляем этого чувака в $f$ : аргумент отличается от $g (x)$ на $h = ε g^{'} (x) + o (ε)$ , поэтому

f (g (x + ε)) = f (g (x)) + f^{'} (g (x)) \cdot h + o (h) = f (g (x)) + ε f^{'} (g (x)) g^{'} (x) + o (ε) .

Замечание. Цепное правило обобщается на многомерный случай: там производная — уже не число, а целая матрица, и будет произведение матриц. Но это сильно вперёд.

Производные элементарных функций

Давайте теперь хором:

(x^{r})^{'} = r x^{r - 1} .

(e^{x})^{'} = e^{x} — из замечательного предела : \frac{e ^{x + ε} - e ^{x}}{ε} = e^{x} \cdot \frac{e ^{ε} - 1}{ε} ⟶ e^{x} .

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}, потому что ln (x + ε) - ln x = ln (1 + \frac{ε}{x}) = \frac{ε}{x} + o (ε) .

(a^{x})^{'} = ln a \cdot a^{x}, так как a^{x} = e^{x l n a} (производная сложной функции) .

Замечание. Отсюда каноническое, можно сказать геометрическое, определение числа $e$ : это такое $a$ , что производная $a^{x}$ в нуле равна единичке. Кажется, одно из первых определений и было таким — хотя Бернулли буквально изучал $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ .

Синус и косинус.

sin (x + ε) = sin x cos ε + cos x sin ε = sin x (1 + O (ε^{2})) + cos x (ε + o (ε)) = sin x + ε cos x + o (ε),

поэтому $(sin x)^{'} = cos x$ (первое слагаемое стремится к $sin x$ даже квадратичным образом). А поскольку $cos x = sin (\frac{π}{2} - x)$ , по производной сложной функции

(cos x)^{'} = - cos (\frac{π}{2} - x) = - sin x .

Тангенс.

(tg x)^{'} = (\frac{sin x}{cos x})^{'} = \frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = 1 + tg^{2} x

— неожиданное место, в котором $sin^{2} + cos^{2}$ не хочется сокращать как единичку.

Арктангенс — ради прикола. Продифференцируем тождество $arctg (tg x) = x$ :

(tg x)^{'} \cdot arctg^{'} (tg x) = 1,

и, обозначив $y = tg x$ , получаем

arctg^{'} (y) = \frac{1}{1 + y ^{2}} .

Замечание. В частности, бывают трансцендентные функции, у которых производные совершенно алгебраические, даже рациональные. Это всё потому, что арктангенс на самом деле логарифм.

Мы чего-то надифференцировали; в следующий раз докажем про производные что-нибудь общее — как сегодня сделали с непрерывными функциями.

Related works