Топология–1. Лекция 6

В прошлый раз была обещана теорема $π_{1} (S^{1}) ≅ Z$ (из неё выводились отсутствие ретракции $D^{2} \to S^{1}$ и теорема Брауэра). Докажем её.

Теорема $π_{1} (S^{1}) ≅ Z$

Теорема. $π_{1} (S^{1}) ≅ Z$ .

Построим изоморфизм — отображение степени $de g : π_{1} (S^{1}) \to Z$ (от degree). Считаем $S^{1} \subset C$ единичной окружностью, отмеченная точка $x_{0} = 1$ . Элемент $π_{1} (S^{1})$ — петля $γ : [0, 2 π] \to S^{1}$ , $γ (0) = γ (2 π) = x_{0}$ . Неформально $de g γ$ — сколько раз $γ$ наматывается на окружность (против часовой стрелки).

Накрытие $exp$ и поднятие

Ключевой инструмент — поднятие отображения вдоль

exp : R \to S^{1}, exp (t) = e^{i t} = (cos t, sin t) .

Тогда $exp (2 π k) = x_{0}$ для всех $k \in Z$ , то есть $exp^{- 1} (x_{0}) = 2 π Z$ . Отображение сюръективно, но не инъективно.

Определение (Локальный гомеоморфизм (накрытие)). $exp$ — локальный гомеоморфизм: для любой точки $x \in S^{1}$ есть окрестность $U ∋ x$ , прообраз которой распадается в дизъюнктное объединение

exp^{- 1} (U) = i ⨆ U_{i}, U_{i} \subset R,

причём $exp ∣_{U_{i}} : U_{i} \to U$ — гомеоморфизм. (По сути, $exp$ локально обратима — это комплексный логарифм, многозначный глобально.)

TikZ diagram — Накрытие $exp : R \to S^{1}$ . Над окрестностью $U$ прообраз распадается в счётное число интервалов, каждый из которых $exp$ отображает на $U$ гомеоморфно.

Лемма (поднятие пути). Для любой петли $γ : [0, 2 π] \to S^{1}$ с $γ (0) = x_{0}$ существует (единственное) поднятие $γ : [0, 2 π] \to R$ с $γ (0) = 0$ и $exp \circ γ = γ$ (коммутативная диаграмма).

Доказательство. Строим $γ$ по шагам. Возле $γ (0) = x_{0}$ берём окрестность $V_{0}$ и тот её прообраз $W_{0}$ , что содержит $0$ ; на прообразе $Z_{0} = γ^{- 1} (V_{0})$ (связной компоненте, содержащей $0$ ) полагаем $γ = (exp ∣_{W_{0}})^{- 1} \circ γ$ — это поднятие, так как $exp ∣_{W_{0}}$ — гомеоморфизм. Дальше продолжаем индуктивно на пересекающиеся интервалы $Z_{1}, Z_{2}, \dots$ , каждый раз выбирая тот лист прообраза, который согласован с предыдущим шагом. В силу компактности отрезка хватает конечного числа шагов, и $γ$ определяется на всём $[0, 2 π]$ . Непрерывность — локальное свойство, поэтому $γ$ непрерывно.

Так как диаграмма коммутативна, $exp (γ (2 π)) = γ (2 π) = x_{0}$ , поэтому $γ (2 π) \in 2 π Z$ . Полагаем

de g γ = \frac{γ ( 2 π )}{2 π} \in Z .

Степень — изоморфизм

Введём канонические петли $ω_{m} (t) = e^{im t}$ — наматывание на окружность $m$ раз ( $ω_{0}$ — постоянная петля). Их поднятия $ω_{m} (t) = m t$ линейны: $ω_{m} (0) = 0$ , $ω_{m} (2 π) = 2 π m$ .

Лемма. Любая петля $γ$ гомотопна $ω_{m}$ , где $m = de g γ$ .

Доказательство. Поднятия $γ$ и $ω_{m}$ имеют общие концы ( $0$ и $2 π m$ ). Прямолинейная гомотопия поднятий

F (t, s) = (1 - s) ω_{m} (t) + s γ (t)

сохраняет концы; компонируя с $exp$ , получаем гомотопию $ω_{m} ≃ γ$ в $S^{1}$ .

Остаётся проверить, что $de g$ — корректно определённый изоморфизм.

Утверждение. $de g$ — корректно определённый гомоморфизм, биективный.

Доказательство.

Различие $ω_{m}$ : $ω_{m} \neq ≃ ω_{n}$ при $m \neq = n$ («дискретная непрерывность»): гомотопия — непрерывное семейство, а $de g$ принимает значения в дискретном $Z$ ; множества параметров со значением $m$ и со значением $n$ замкнуты, непусты и не пересекаются — это противоречит связности отрезка.
Корректность: если $γ ≃ γ^{'}$ , обе гомотопны единственному $ω_{m}$ , поэтому $de g γ = de g γ^{'}$ .
Гомоморфизм: $ω_{m} \cdot ω_{n} ≃ ω_{m + n}$ , поэтому $de g (γ \cdot γ^{'}) = de g γ + de g γ^{'}$ (группа $Z$ — по сложению).
Сюръективность: $de g ω_{m} = m$ для любого $m \in Z$ .
Инъективность: если $de g γ = 0$ , то $γ ≃ ω_{0}$ — постоянная петля, то есть $γ$ тривиальна в $π_{1}$ .

Следствия

Пример.

Упражнение: вывести основную теорему алгебры (у любого многочлена положительной степени над $C$ есть корень) из $π_{1} (S^{1}) ≅ Z$ .
$S^{1}$ не стягиваема (стягиваемое пространство имеет тривиальную $π_{1}$ , а здесь $π_{1} = Z \neq = 0$ ). Значит, нестягиваемые пространства существуют.
$π_{1} (цилиндр) = π_{1} (лента Мёбиуса) = Z$ : и цилиндр $S^{1} \times I$ , и лента Мёбиуса ретрагируются на серединную окружность, поэтому гомотопически эквивалентны $S^{1}$ .
Упражнение: существует ли ретракция ленты Мёбиуса на её граничную окружность?

Поверхности

Определение (Поверхность). Поверхность (без края) — компактное связное пространство $X$ , у которого каждая точка имеет открытую окрестность $U ≅ D_{откр}^{2}$ , причём замыкание $\overline{U} ≅ D^{2}$ (замкнутый диск), согласованно (ограничение гомеоморфизма $\overline{U}$ на внутренность — гомеоморфизм $U$ ).

Определение (Поверхность с краем). Компактное связное $X$ — поверхность с краем, если каждая точка имеет окрестность вида либо $U ≅ D^{2}$ , либо полудиск

U ≅ {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1, y \geq 0},

причём сама точка переходит в $0$ . Край $\partial X$ — множество точек второго типа (у которых есть окрестность-полудиск и нет окрестности-диска); можно показать, что эти типы различны, то есть край определён корректно.

Пример. Без края: $S^{2}$ , $RP^{2}$ , тор, бутылка Клейна (у $RP^{2}$ — потому что она локально гомеоморфна $S^{2}$ ). С краем: цилиндр, лента Мёбиуса.

Технические факты (без доказательства)

Дальше опираемся на два факта (доказательства технически сложны).

Факт 1. Любая поверхность (с краем или без) допускает триангуляцию — структуру симплициального комплекса.

Определение (Барицентрическое подразбиение). Для $2$ -мерного симплициального комплекса барицентрическое подразбиение делит каждый треугольник медианами на $6$ меньших.

Определение (PL-отображение и PL-гомеоморфизм). $f : X \to Y$ симплициальных комплексов называется кусочно-линейным (PL, piecewise linear), если после некоторого (итерированного барицентрического) подразбиения $X^{'}, Y^{'}$ индуцированное отображение $X^{'} \to Y^{'}$ симплициально. $X$ и $Y$ PL-гомеоморфны, если существуют взаимно обратные PL-отображения. (Барицентрическое подразбиение индуцирует PL-гомеоморфизм.)

Факт 2. Две триангулированные поверхности гомеоморфны $⟺$ они PL-гомеоморфны. (Размерность $2$ существенна.)

Эйлерова характеристика

Определение (Эйлерова характеристика). Для триангулированной поверхности $X$ :

χ (X) = V - E + F (вершины - рёбра + грани) .

Утверждение. $χ (X)$ не зависит от триангуляции (это инвариант поверхности).

Доказательство. По факту 2 две триангуляции связаны общим подразбиением, поэтому достаточно проверить инвариантность при барицентрическом подразбиении, а это сводится к одному треугольнику: было $V - E + F = 3 - 3 + 1 = 1$ , стало $7 - 12 + 6 = 1$ .

Пример. Считать удобно по самой экономной триангуляции. Для $S^{2}$ берём границу тетраэдра ( $V = 4$ , $E = 6$ , $F = 4$ ):

χ (S^{2}) = 4 - 6 + 4 = 2.

Аналогично $χ (тор) = 0$ , $χ (RP^{2}) = 1$ , $χ (цилиндр) = χ (лента Мёбиуса) = χ (бутылка Клейна) = 0$ , $χ (D^{2}) = 1$ .

Для $RP^{2}$ удобно «схитрить»: двулистное накрытие $S^{2} \to RP^{2}$ (отождествление противоположных граней, например, додекаэдра) симплициально, поэтому каждая клетка $RP^{2}$ покрыта двумя клетками $S^{2}$ , откуда $χ (RP^{2}) = \frac{1}{2} χ (S^{2}) = 1$ .

Связная сумма

Определение (Связная сумма). Для поверхностей $X, Y$ их связная сумма $X # Y$ : вырезаем по открытому диску из каждой и склеиваем по граничным окружностям:

X # Y = ((X ∖ D) ⊔ (Y ∖ D^{'})) / (\partial D \sim \partial D^{'}) .

Неформально — вклеиваем «цилиндр-трубку» между поверхностями.

Замечание. Определение корректно: поверхность связна, значит (как для открытых множеств $R^{n}$ ) линейно связна, поэтому любые два вырезаемых диска соединимы путём, а гомеоморфизм, переставляющий «дырки», показывает независимость от выбора диска.

Ориентируемость и классификация

Определение (Ориентируемость). Триангулированная поверхность ориентирована, если в каждом треугольнике выбрано направление обхода рёбер так, что на каждом общем ребре два соседних треугольника индуцируют противоположные направления. $X$ ориентируема, если ориентация существует. Тогда ориентаций ровно две (на связной $X$ ). Свойство не зависит от триангуляции (факт 2).

Пример. $S^{2}$ ориентируема; лента Мёбиуса — нет (для любой триангуляции обход приводит к противоречию).

Теорема (Классификация поверхностей). Пусть $X$ — компактная поверхность без края.

Если $X$ ориентируема, то $X ≅ S_{g}$ — сфера с $g$ ручками (связная сумма сферы с $g$ торами).
Если $X$ неориентируема, то $X ≅ N_{n}$ — связная сумма сферы с $n$ копиями $RP^{2}$ ( $n \geq 1$ ).

Все эти поверхности различны: $S_{g} \neq ≅ S_{g^{'}}$ при $g \neq = g^{'}$ и $N_{n} \neq ≅ N_{n^{'}}$ при $n \neq = n^{'}$ .

Замечание. Различие поверхностей доказывается через эйлерову характеристику (инвариант): ожидается

χ (S_{g}) = 2 - 2 g, χ (N_{n}) = 2 - n .

Точные формулы и доказательство классификации — в следующий раз.

Related works