Топология–1. Лекция 5

Напоминание: классы комплексов и симплициальные отображения

В прошлый раз: CW-комплексы $\supset$ регулярные CW-комплексы $\supset$ симплициальные комплексы. Например, отрезок с одной вершиной — CW, но не регулярный; с двумя вершинами — регулярный, но не симплициальный (две $1$ -клетки пересекаются по двум точкам, а это не подсимплекс); треугольник — симплициальный.

Определение (Симплициальное отображение). Отображение симплициальных комплексов $f : X \to Y$ называется симплициальным, если для любого симплекса $Δ$ образ $f (Δ)$ — симплекс, и ограничение $f ∣_{Δ}$ линейно (как ограничение линейного отображения объемлющих пространств), переводя симплекс на симплекс.

Замечание. Симплициальное отображение задаётся комбинаторно — образами вершин: достаточно указать, в какие вершины переходят вершины, и продолжить по линейности (единственным образом). Допускается склейка вершин (вплоть до отображения всего комплекса в точку).

Гомотопия отображений

Определение (Гомотопия). Непрерывные отображения $f, g : X \to Y$ называются гомотопными ( $f ≃ g$ ), если существует непрерывное отображение

F : X \times I \to Y, I = [0, 1],

такое, что $F (x, 0) = f (x)$ и $F (x, 1) = g (x)$ для всех $x$ .

TikZ diagram — Гомотопия $F : X \times I \to Y$ : нижняя грань цилиндра отображается как $f$ , верхняя — как $g$ .

Пример. Пусть $X$ произвольно, а $Y = R^{n}$ . Тогда любые $f, g : X \to R^{n}$ гомотопны — прямолинейной гомотопией

F (x, t) = (1 - t) f (x) + t g (x) .

Она непрерывна (сумма и произведение непрерывных). В частности, всякое отображение в $R^{n}$ гомотопно постоянному.

Утверждение. Гомотопность — отношение эквивалентности на множестве непрерывных отображений $X \to Y$ .

Доказательство. Рефлексивность: $F (x, t) = f (x)$ . Симметричность: если $F$ — гомотопия от $f$ к $g$ , то $F (x, 1 - t)$ — от $g$ к $f$ . Транзитивность: если $f ≃ g$ (гомотопия $F$ ) и $g ≃ h$ (гомотопия $G$ ), склеиваем «с удвоенной скоростью»:

H (x, t) = {F (x, 2 t), G (x, 2 t - 1), t \leq 1/2, t \geq 1/2.

На $t = 1/2$ обе формулы дают $g (x)$ , поэтому $H$ непрерывно (см. лемму о склейке).

Лемма (о склейке). Пусть $X = ⋃_{i = 1}^{n} X_{i}$ — покрытие конечным числом замкнутых подмножеств, $f : X \to Y$ , и каждое ограничение $f ∣_{X_{i}}$ непрерывно. Тогда $f$ непрерывно.

Доказательство. Для точки внутри какого-то $X_{i}$ непрерывность следует из непрерывности $f ∣_{X_{i}}$ . Для точки $x \in X_{i_{1}} \cap \dots \cap X_{i_{k}}$ берём окрестности из непрерывности каждого ограничения и пересекаем их (конечное пересечение открыто). На полученной окрестности отображение непрерывно. (Замкнутость нужна, чтобы вне $X_{i}$ точка имела окрестность, не пересекающую $X_{i}$ .)

Гомотопическая эквивалентность

Определение (Гомотопическая эквивалентность). Пространства $X$ и $Y$ гомотопически эквивалентны ( $X ≃ Y$ ), если существуют непрерывные $f : X \to Y$ и $g : Y \to X$ такие, что

g \circ f ≃ id_{X}, f \circ g ≃ id_{Y} .

Это ослабление гомеоморфизма (там требовалось $g f = id$ , здесь — лишь с точностью до гомотопии).

Замечание. Гомеоморфность влечёт гомотопическую эквивалентность; обратное неверно. Например, точка и $R^{n}$ ( $n > 0$ ) гомотопически эквивалентны (вложение $pt \to R^{n}$ и проекция $R^{n} \to pt$ : одна композиция — тождество точки, другая гомотопна $id_{R^{n}}$ , так как все отображения в $R^{n}$ гомотопны), но не гомеоморфны (нет биекции).

Утверждение. Гомотопическая эквивалентность — отношение эквивалентности.

Доказательство. Рефлексивность и симметричность очевидны. Для транзитивности нужна лемма ниже: гомотопные отображения остаются гомотопными после композиции. Если $f : X \to Y$ , $g : Y \to X$ и $f^{'} : Y \to Z$ , $g^{'} : Z \to Y$ — гомотопические эквивалентности, то $f^{'} f : X \to Z$ и $g g^{'} : Z \to X$ дают эквивалентность, поскольку, например,

(g g^{'}) (f^{'} f) = g (g^{'} f^{'}) f ≃ g \circ id_{Y} \circ f = g f ≃ id_{X} .

Лемма. Если $φ ≃ φ^{'}$ , то $ψ \circ φ ≃ ψ \circ φ^{'}$ и $φ \circ ρ ≃ φ^{'} \circ ρ$ для любых (подходящих) $ψ, ρ$ . (Гомотопию $φ ≃ φ^{'}$ компонируют с постоянным по $t$ отображением $ψ$ или $ρ$ .)

Стягиваемые пространства

Определение (Стягиваемость). $X$ стягиваемо, если $X ≃ pt$ . Равносильно: $id_{X}$ гомотопно постоянному отображению.

Пример.

$R^{n}$ стягиваемо.
Звёздчатое множество $U \subset R^{n}$ (для любой точки $x \in U$ отрезок $[0, x] \subset U$ ) стягиваемо: гомотопия $F (x, t) = (1 - t) x$ стягивает $U$ к началу координат, не выходя за пределы $U$ .
Две точки (дискретно) не стягиваемы: непрерывный образ связного отрезка связен, поэтому $id$ не гомотопно постоянному. (Связность необходима для стягиваемости.)

Пути, петли и фундаментальная группа

Работаем в категории пространств с отмеченной точкой $(X, x_{0})$ (морфизмы переводят отмеченную точку в отмеченную).

Определение (Петля и гомотопия путей). Петля в $(X, x_{0})$ — непрерывное $γ : [0, 1] \to X$ с $γ (0) = γ (1) = x_{0}$ . Две петли $γ, γ^{'}$ гомотопны (как пути), если существует гомотопия $Γ : [0, 1] \times [0, 1] \to X$ между ними, неподвижная на концах:

Γ (s, 0) = γ (s), Γ (s, 1) = γ^{'} (s), Γ (0, t) = Γ (1, t) = x_{0} \forall t .

Определение (Фундаментальная группа). $π_{1} (X, x_{0})$ — множество петель в $(X, x_{0})$ по отношению гомотопии путей. Операция — конкатенация: $γ \cdot γ^{'}$ проходит сначала $γ$ , затем $γ^{'}$ , каждую за удвоенное время:

(γ \cdot γ^{'}) (s) = {γ (2 s), γ^{'} (2 s - 1), s \leq 1/2, s \geq 1/2.

Утверждение. $π_{1} (X, x_{0})$ с операцией конкатенации — группа.

Доказательство. Корректность (независимость от представителей) следует из леммы о композиции гомотопий. Аксиомы доказываются гомотопиями-«картинками» (см. рисунок):

Ассоциативность $(γ γ^{'}) γ^{''} ≃ γ (γ^{'} γ^{''})$ — перепараметризация: слева отрезок делится как $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$ , справа как $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ ; гомотопия линейно сдвигает точки деления.
Единица $e$ — постоянная петля $e (s) = x_{0}$ ; $e γ ≃ γ ≃ γ e$ .
Обратный $γ^{- 1} (s) = γ (1 - s)$ ; $γ γ^{- 1} ≃ e$ (проходим $γ$ до момента $t$ , стоим, возвращаемся — «треугольная» гомотопия в точку $x_{0}$ ).

Замечание (явные формулы гомотопий). «Картинки» выше отвечают конкретным формулам (это и есть упражнение). Все гомотопии $H (s, t)$ неподвижны на концах ( $s = 0, 1 \mapsto x_{0}$ ).

Единица $e \cdot γ ≃ γ$ :

H (s, t) = ⎩ ⎨ ⎧ x_{0}, γ (\frac{2 s - ( 1 - t )}{1 + t}), s \leq \frac{1 - t}{2}, s \geq \frac{1 - t}{2} .

Обратный $γ \cdot γ^{- 1} ≃ e$ :

H (s, t) = {γ (2 s (1 - t)), γ (2 (1 - s) (1 - t)), s \leq \frac{1}{2}, s \geq \frac{1}{2} .

Ассоциативность $(γ γ^{'}) γ^{''} ≃ γ (γ^{'} γ^{''})$ :

H (s, t) = ⎩ ⎨ ⎧ γ (\frac{4 s}{1 + t}), γ^{'} (4 s - 1 - t), γ^{''} (\frac{4 s - 2 - t}{2 - t}), s \leq \frac{1 + t}{4}, \frac{1 + t}{4} \leq s \leq \frac{2 + t}{4}, s \geq \frac{2 + t}{4} .

Утверждение (независимость от точки). Если $X$ линейно связно, то $π_{1} (X, x_{0}) ≅ π_{1} (X, x_{1})$ (изоморфизм не канонический).

Доказательство. Пусть $p$ — путь из $x_{1}$ в $x_{0}$ . Сопряжение

φ : π_{1} (X, x_{0}) \to π_{1} (X, x_{1}), φ (γ) = p \cdot γ \cdot p^{- 1},

корректно (лемма о композиции) и является гомоморфизмом:

φ (γ γ^{'}) = p γ γ^{'} p^{- 1} ≃ (p γ p^{- 1}) (p γ^{'} p^{- 1}) = φ (γ) φ (γ^{'}),

поскольку $p^{- 1} p ≃ e$ . Обратный гомоморфизм — сопряжение в обратную сторону. Значит, $φ$ — изоморфизм.

Функториальность $π_{1}$

Утверждение. Непрерывное отображение $f : (X, x_{0}) \to (Y, y_{0})$ индуцирует гомоморфизм

f_{*} : π_{1} (X, x_{0}) \to π_{1} (Y, y_{0}), f_{*} [γ] = [f \circ γ] .

При этом $(g \circ f)_{*} = g_{*} \circ f_{*}$ и $(id)_{*} = id$ (то есть $π_{1}$ — функтор), а гомотопные отображения индуцируют один и тот же гомоморфизм.

Доказательство. Корректность и гомоморфность — снова лемма о композиции гомотопий: $f \circ (γ γ^{'}) = (f γ) (f γ^{'})$ . Согласованность с композицией следует из ассоциативности композиции отображений. Если $φ ≃ ψ$ (в категории с отмеченной точкой), то $φ_{*} = ψ_{*}$ , ведь $φ \circ γ ≃ ψ \circ γ$ .

Следствие. Гомотопически эквивалентные (с отмеченной точкой) пространства имеют изоморфные фундаментальные группы. В частности, стягиваемое пространство имеет тривиальную фундаментальную группу: $π_{1} (X) = e$ .

Доказательство. Если $f, g$ — гомотопическая эквивалентность, то $g_{*} f_{*} = (g f)_{*} = (id)_{*} = id$ и аналогично $f_{*} g_{*} = id$ , поэтому $f_{*}$ — изоморфизм.

Пример. $π_{1} (R^{n}) = e$ ; $π_{1} (pt) = e$ ; для любого $X$ конус $C X$ стягиваем, поэтому $π_{1} (C X) = e$ . (Пока мы умеем вычислять $π_{1}$ лишь там, где она тривиальна.)

Ретракты и приложения

Определение (Ретракт). Подпространство $Z \subset X$ называется ретрактом, если существует непрерывное $f : X \to Z$ с $f ∣_{Z} = id_{Z}$ ; такое $f$ называется ретракцией. (Пример: отрезок ретрагируется на точку.)

Главная цель ближайших лекций — следующая теорема (доказательство — в следующий раз); сейчас используем её как данность.

Теорема. $π_{1} (S^{1}) ≅ Z$ .

Следствие (нет ретракции диска на окружность). Не существует ретракции $D^{2} \to S^{1}$ (на граничную окружность).

Доказательство. Пусть $r : D^{2} \to S^{1}$ — ретракция, $i : S^{1} ↪ D^{2}$ — вложение. Тогда $r \circ i = id_{S^{1}}$ . Применяя функтор $π_{1}$ :

Z = π_{1} (S^{1}) i_{*} π_{1} (D^{2}) = e r_{*} π_{1} (S^{1}) = Z,

причём $r_{*} \circ i_{*} = (id)_{*} = id_{Z}$ . Но тождественное отображение $Z \to Z$ не может проходить через тривиальную группу — противоречие.

Теорема (Брауэр о неподвижной точке). Всякое непрерывное отображение $g : D^{2} \to D^{2}$ имеет неподвижную точку: существует $x$ с $g (x) = x$ .

Доказательство. Одномерный случай ( $g : [0, 1] \to [0, 1]$ ): функция $\tilde{g} (x) = g (x) - x$ удовлетворяет $\tilde{g} (0) \geq 0$ , $\tilde{g} (1) \leq 0$ , поэтому по теореме о промежуточном значении обращается в нуль — это и есть неподвижная точка.

Двумерный случай. Предположим, неподвижной точки нет: $g (x) \neq = x$ для всех $x$ . Тогда определим $f : D^{2} \to S^{1}$ : проведём луч из $g (x)$ через $x$ и возьмём точку $f (x)$ его пересечения с границей. Отображение корректно ( $x \neq = g (x)$ задаёт направление луча) и непрерывно; если $x \in S^{1}$ , то $f (x) = x$ , то есть $f$ — ретракция $D^{2} \to S^{1}$ . Это противоречит предыдущему следствию.

В следующий раз: доказательство теоремы $π_{1} (S^{1}) ≅ Z$ .